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文档简介
第=page11页,共=sectionpages11页2023-2024学年广东省揭阳市高二下学期教学质量测试数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若(1−i)z=3+i,则复数z在复平面内对应的点位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.为了得到函数y=sin(5x+π3)的图象,只要将函数A.向左平移π15个单位长度 B.向右平移π15个单位长度
C.向左平移π3个单位长度 D.3.设α,β,γ是三个不同的平面,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“α//β”是“l//m”的(
)A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.曲线f(x)=ex−3x2在点A.x+y+1=0 B.x+y−1=0 C.x−y−1=0 D.x−y+1=05.若直线l:x−y+m2−6=0平分圆x2+2mx+yA.−2 B.2 C.3 D.−2或36.《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列,小寒、立春、惊蛰日影长之和为31.5尺,前八个节气日影长之和为80尺,则小满日影长为(
)A.1.5尺 B.3.5尺 C.5.5尺 D.7.5尺7.已知函数fn(x)=xn+x+a,其中n∈N且n≥2,a<0且为常数.若对任意n∈N且n≥2,y=fn(x)A.(−1,0) B.(−1,−34) C.(−2,−8.已知A,B,C,D为球面上四点,M,N分别是AB,CD的中点,以MN为直径的球称为AB,CD的“伴随球”.若三棱锥A−BCD的四个顶点均在表面积为100π的球面上,它的两条棱AB,CD的长度分别为8和6,则AB,CD的伴随球的体积的取值范围是(
)A.[π4,343π3] B.[二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.已知平面向量a=(2,−3),b=(2,1),则(
)A.(a−2b)⊥b
B.a与b可作为一组基底向量
C.a与b夹角的余弦值为656510.已知函数f(x)=sin(x+π3A.f(x)的值域为[−2,2] B.f(x−π12)为偶函数
C.f(x−π1211.已知函数fx=lnxA.fx=lnx2x与gx=2lnxx的定义域不同
B.fx的单调递减区间为e,+∞
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中a=3,b=2,cos(A+B)=13,则c=
13.已知集合A={x∈N|log2(x−3)≤2},B={x|x−7x−4≤0}14.已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为E上且不与顶点重合的任意一点,I为△PF1F2的内心,O为坐标原点,记直线四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b−c)sin(1)求A;(2)若D为边AB的中点,且CD=1,求△ABC面积的最大值.16.(本小题15分)南方游客勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情,其中雪上运动深受游客的喜爱.某新闻媒体机构随机调查了男、女性游客各100名,统计结果如下表所示:对滑雪的喜爱情况性别合计男性游客女性游客喜欢滑雪603595不喜欢滑雪4065105合计100100200(1)依据小概率值α=0.001的独立性检验,能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联?(2)冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训,对四个滑雪基本动作(起步、滑行、转弯、制动)进行指导.据统计,每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为34,12,13,12,且四个滑雪基本动作是否达到优秀相互独立附:χ2=n(ad−bcα0.050.010.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)
如图,在四棱台ABCD−A1B1C1D1中,D1D⊥平面ABCD,AD//BC(1)记平面A1ADD1与平面B1BC(2)求平面A1ADD118.(本小题17分)
已知抛物线E:y2=2px(p>0)的准线为x=−12,焦点为F.A,B,(1)求E的方程;(2)若F为△ABC的重心,求|FA|+|FB|+|FC|的值;(3)过A,B两点分别作E的切线l1,l2,l1与l2相交于点D,若|AB|=419.(本小题17分)给定数列{an},若首项a1>0且a1≠1,对任意的n(1)已知数列{an}为“指数型数列”,若a1(2)已知数列{an}满足a1=12,an(3)若数列{an}是“指数型数列”,且a1=参考答案1.A
2.A
3.B
4.D
5.C
6.B
7.C
8.D
9.BC
10.ABD
11.AD
12.1713.5,6,7
14.1215.解:(1)因为(b−c)sinB=(a+c)(sinA−sinC),
所以由正弦定理可得(b−c)b=(a+c)(a−c),即b2−bc=a2−c2,则b2+c2−a2=bc,
由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=12,又A∈(0,π),所以A=π3;
(2)因为D是边AB的中点,即AD=12AB,所以16.解:(1)零假设为H0:游客是否喜欢滑雪与性别无关联.
由题可得χ2=200×(60×65−40×35)2100×100×95×105=5399≈12.531>10.828=x0.001.
所以依据小概率值α=0.001的独立性检验,我们推断H0不成立,即认为游客是否喜欢滑雪与性别有关联,此推断犯错误的概率不大于0.001.
(2)令事件Ai(i=1,2,3,4)分别表示滑雪初学者起步、滑行、转弯、制动达到优秀,
滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件17.证明:(1)因为AD//BC,AD⊂平面A1ADD1,BC⊄平面A1ADD1,
所以BC//平面A1ADD1,
又BC⊂平面B1BCC1,平面A1ADD1∩平面B1BCC1=l,
所以l//BC,
因为D1D⊥平面ABCD,
所以D1D⊥BC.
在△BCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=60∘,由余弦定理得,BD=BC2+CD2−2BC⋅CDcos∠BCD=
12+22−2×1×2cos60∘=3,
则CD2=BC2+BD2,得BC⊥BD.
又D1D∩BD=D,D1D,BD⊂平面B1BDD1,
所以BC⊥平面B1BDD1.
因为l//BC,
所以l⊥平面B1BDD1;
解:(2)在△BCD中,BC=1,CD=2,∠BCD=π3.
由余弦定理得,BD=3,则CD2=BC2+BD2,得BC⊥BD.
又AD//BC,则AD⊥BD.
因为D1D⊥平面ABCD,AD,BD⊂18.解:(1)因为抛物线E的准线为x=−12,
所以−p2=−12,所以p=1,
所以E的方程为y2=2x.
(2)依题意F(12,0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),
由F为△ABC的重心,即x1+x2+x3=32,
由抛物线定义得,|FA|+|FB|+|FC|=(x1+12)+(x2+12)+(x3+12)=3.
(3)显然,直线AB的斜率不为0,
可设直线AB的方程为x=my+n,A(x1,y1),B(x2,19.解:(1)解:因为数列{an}是“指数型数列”,
所以对于任意的n,m∈N∗,都有an+m=an⋅am.
因为a证明:由an=2且1a1+1=3
,所以数列1an(1a所以数列1an(3)因为数列an
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