2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省南阳二中高一（下）月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z=i2+2i1+i，则z的共轭复数A.12+32i B.122.若2弧度的圆心角所对的弧长为4，则这个圆心角所在的扇形的面积为(

)A.4 B.2 C.4π D.2π3.平面向量a,b满足a=(2,1)，|2b−a|=3A.3 B.10 C.11 4.若θ为第二象限角，且sinθ+cosθ=55，则cos2θA.43 B.−43 C.35.如图，在直角梯形

ABCD

中，AB//DC，AD⊥DC，AD=DC=2AB，E

为AD

的中点，若CA=λCE+μDB，则λ+μ的值为(

)A.65 B.85 C.2 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，将函数f(x)图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则A.g(x)=sin2x

B.g(x)=2sin(2x−π6)

C.g(x)=2sin2x7.设a=13cos1A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a8.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=6，D为BC的中点，点P在△ABC斜边BC的中线AD上，则PB⋅PC的取值范围为(

)A.[−10,0] B.[−6,0] C.[0,6] D.[0,10]二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的是(

)A.z⋅z−=|z|2，z∈C

B.i2024=−1

C.若|z|=1，z∈C，则|z−2|的最小值为1

D.若10.已知函数f(x)=sin(2ωx−π6A.f(x)的最小值是−3

B.若ω=1，则f(x)在[0,π3]上单调递减

C.若f(x)在[0,π3]上恰有3个零点，则ω11.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是(

)A.若A>B，则sinA>sinB

B.若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC可以是钝角三角形

C.若A=30°，b=4，a=23，则△ABC有两解

D.若(AB|AB12.如图，△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=b，且3(acosC+ccosA)=2bsinB，D是△ABC外一点，DC=1，DA=3，则下列说法正确的是(

)A.△ABC是等边三角形

B.若AC=23，则A，B，C，D四点共圆

C.四边形ABCD面积最大值为532+3

D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知a=(2,7),b=(x,−3)，且a与b夹角为钝角，则x的取值范围是

14.已知函数f(x)=sin2x−cosx+a，f(x)=0在区间(−π215.已知2sinβ−cosβ+2=0，sinα=2sin(α+β)，则tan(α+β)=______．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2A−sin2B+sin2C=sinAsinC，且△ABC的外接圆的半径为2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知复数z1=3−m2+(m−3)i,z2=μ+sinθ+(cosθ−3)i，其中i是虚数单位，m，μ，θ∈R．

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=3cos(π2−2x)−2cos2x+1．

(1)若α∈(0,π),f(α219.(本小题12分)

如图，在△OAB中，C是AB的中点，D是线段OB上靠近点O的四等分点，设OA=a，OB=b．

(1)若OA长为2，OB长为8，∠AOB=π3，求CD的长；

(2)若E是OC上一点，且OC=2OE，试判断20.(本小题12分)

在下面给出的三个条件：①2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cosCcosB=1，②2tanBtanA+tanB=bc，③3b=a(sinC+3cosC)中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

问题：在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a21.(本小题12分)

如图，四边形ABCD是一块边长为100cm的正方形铁皮，其中扇形AMPN的半径为90cm，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，P是弧MN上一点，∠PAB=θ，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一块边在BC与CD上的矩形铁皮，

(1)求出矩形铁皮PQCR面积S关于θ的表达式；

(2)试确定θ的值，使矩形铁皮PQCR面积最大，并求出这个最大面积．22.(本小题12分)

已知函数f(x)=cosx(sinx−3cosx)(x∈R)．

(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若f(B2)=−参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.D

7.D

8.A

9.ACD

10.AC

11.ACD

12.AC

13.{x|x<212且14.(−1,1]

15.1216.917.解：(1)∵z1为纯虚数，∴3−m2=0m−3≠0，∴m=−3．

(2)∵z1=z2，∴18.解：(1)由题意可得f(x)=3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，

又α∈(0,π),f(α2)=1，

所以f(α2)=2sin(α−π6)=1，

故sin(α−π6)=12，

因为α∈(0,π)，

所以α−π6∈(−π6,5π6)，

所以α−π6=π6，

故α=π3．

19.解：(1)由于OA=a,OB=b，且点C是AB的中点，

∴OC=OB+BC=OB+12BA=OB+12(OA−OB)=12(OA+OB)=12(a+b)，

|OC|=[12(a+b)20.解：选①：(1)因为2sin2C−B2+2cos2C+B2+2cosCcosB=1，

所以1−cos(C−B)+1+cos(C+B)+2cosCcosB=2+2cos(C+B)=2−2cosA=1，

所以cosA=12，因为C为三角形的内角，∴A=π3．

(2)∵a=13，b=3，∴由余弦定理a2=b2+c2−2bccosA，可得13=9+c2−2×3×c×12，

可得c2−3c−4=0，解得c=4或−1(舍去)，

∴S△ABC=12bcsinA=12×3×4×32=33．

选②：(1)∵2tanBtanA+tanB=bc，∴由正弦定理可得：2tanBtanA+tanB=sinBsinC，

可得：2×sinBcosBsinAcosA+sinBcosB=sinBsinC，

可得：2sinBcosBsinAcosB+sinBcosAcosAcosB=2sinBcosBsinCcosAcosB=2sinBcosAsinC=sinBsinC，

∵sinB≠0，sinC≠0，

∴解得21.解：(1)如图，作PH垂直AB于点H，

则AH=APcosθ=90cosθ，PH=APsinθ=90sinθ，

所以PQ=100−90cosθ，RP=100−90sinθ，

所以矩形铁皮PQCR面积S=(100−90sinθ)(100−90cosθ)=10000−9000(sinθ+cosθ)+8100sinθcosθ．

(2)令t=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)，

则sinθcosθ=t2−12，

因为θ