成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版)

例2：计算.………未定式，提取公因式解：原式===〔2〕对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算………未定式，分子分母同时除以n解：原式………无穷大倒数是无穷小例2：计算.………未定式，分子分母同除以解：原式==………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限〔1〕定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果=1，称与是等价无穷小，记作～.〔2〕定理：设、、、均为无穷小，又～，～，且存在那么=或〔3〕常用的等价无穷小代换：当时，～,～例1：当时，～2，～例2：极限===………用2等价代换例3：极限==………用等价代换Ⅱ、一、导数的在点处的导数记作：，或在区间〔a,b〕内的导数记作：，或二、求导公式〔必须熟记〕〔1〕〔C为常数〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕〔6〕〔7〕〔8〕例：1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四那么运算运算公式〔1〕〔2〕特别地〔为常数〕〔3〕例1：，求.解：===例2：，求和.解：===所以=〔注意：lne=1,ln1=0〕例3：，求.解：===1、方法一：例如的导数.〔1〕首先判断的.如由和这两个简单〔2〕用导数公式即=，=2乘积替代回去.∴=2=22、方法二〔直接求导法〕：。如果对导数公式从外往里求导.例1：，求.解：==·=·=例2：，求.解：==·=注意：复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：，或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：〔1〕二阶导数就是对一阶导数再求一次导〔2〕三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1：，求.解：∵=，∴=例2：，求.解：∵==，∴=2=4即=六、微分的求法：的导数.〔2〕再乘以即可.即.例1：，求.解：∵====∴=例2：，求.解：∵==∴=Ⅲ、一。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。，在区域D内对和对的偏导数记为：，，；，，在点处对和对的偏导数记为：，，；，，；2、偏导数的求法〔1〕对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.〔2〕对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.和代入即可.例1：，求和.解：=，=例2：， 求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：在点处全微分公式为：2、全微分求法：〔1〕、先求出两个一阶偏导数和.〔2〕、然后代入上述公式即可.例1：，求.解：∵=，=∴例2：，求.解：∵=，=∴四、〔1〕===……两次都对求偏导〔2〕===……先对求偏导，再对求偏导〔3〕====……先对求偏导，再对求偏导〔4〕===……两次都对求偏导共四种，它们都是求导次序〔写在前面的变量先求偏导〕.例1：，求，，和.解：∵=，=得=，=，=，=例2：，求，.解：∵=得=，=Ⅳ、一积分学一、：设，都有，那么称是例1：，因此是，是的导数.由于，可见例2：设，求.解：因为是=，所以===.得==〔注：〕二、不定积分〔一〕、定义：我们把的所有称为在区间I上的不定积分，记作：〔其中〕注意：常数C勿忘！〔二〕、不定积分的性质〈1〉〈2〉〔其中为常数〕〔三〕、根本积分公式〔和导数公式一样，必须熟记〕〈1〉〈2〉〔k为常数〕〈3〉〈4〉〈5〉〈6〉〈7〉〈8〉〈9〉例1：例2：〔利用换元法，设〕又如：〔四〕、不定积分的计算1、直接积分法。例1：===例2：2、凑微分法〔1〕适用前提：〔或相除〕是的情况，此时可以考虑用凑微分法。〔2〕凑微分法解法步骤〈1〉凑微分〈2〉换元〈3〉直接积分法〈4〉反换元例1：求不定积分解：原式==……〔1.凑微分〕将凑成=……〔2.换元〕将换元成=……〔3.直接积分法〕求出的不定积分=……〔4.反换元〕再用反换元例2：求不定积分解：原式=……〔1.凑微分〕将凑成=……〔2.换元〕将换元成=……〔3.直接积分法〕求出的不定积分=……〔4.反换元〕再用反换元例3：求不定积分解：原式=……〔1.凑微分〕将凑成=……〔2.换元〕将换元成=……〔3.直接积分法〕求出的不定积分=……〔4.反换元〕再用反换元注意：凑微分时要注意凑完微分后前后变量要统一！如果能熟练掌握换元过程，此时就可以不必写出中间变量，而直接进行积分。例4：==〔将凑成〕例5：==〔将凑成〕3、分部积分法〔考到概率为40℅左右，要了解的可参考重点解析“详细版〞〕三、不定积分〔一〕、定积分的定义：由曲边梯形的面积引出定义公式A=〔A为曲边梯形的面积〕其中为积分区间，为积分下限，为积分上限。用定积分所要注意的事项：1、因为定积分是曲边梯形的面积，因此定积分的值一定是一个常数，所以对定积分求导，导数值必为零。例：，2、当a=b时，=0因定积分上限b＞a，当b＜a时，=例：，〔二〕、定积分的计算1、变上限积分的计算〔1〕定义：积分上限为变量时的定积分称为变上限积分，变上限积分是上限记作〔2〕变上限积分的导数：……将代入到即可例1：设，那么.例2：2、牛顿—莱布尼茨公式〔1〕公式：如果在==〔2〕由公式可知：在上定积分，就是在的不定积分，就是例1：求定积分解：原式===例2：求定积分〔将凑成〕解：原式====例3：求定积