材料力学电子教案

§1.6杆件变形的根本形式§1.1材料力学的任务材料力学主要研究固体材料的宏观力学性能，构件的应力、变形状态和破坏准那么，以解决杆件或类似杆件的物件的强度、刚度和稳定性等问题，为工程设计选用材料和构件尺寸提供依据。材料的力学性能：如材料的比例极限、屈服极限、强度极限、延伸率、断面收缩率、弹性模量、横向变形因数、硬度、冲击韧性、疲劳极限等各种设计指标。它们都需要用实验测定。构件的承载能力：强度、刚度、稳定性。构件：机械或设备，建筑物或结构物的每一组成局部。强度：构件抵抗破坏〔断裂或塑性变形〕的能力。所有的机械或结构物在运行或使用中，其构件都将受到一定的力作用，通常称为构件承受一定的载荷，但是对于构件所承受的载荷都有一定的限制，不允许过大，如果过大，构件就会发生断裂或产生塑性变形而使构件不能正常工作，称为失效或破坏，严重者将发生工程事故。如飞机坠毁、轮船漂浮、锅炉爆炸、曲轴断裂、桥梁折断、房屋坍塌、水闸被冲垮，轻者毁坏机械设备、停工停产、重者造成工程事故，人身伤亡，甚至带来严重灾难。工程中的事故屡见不鲜，有些触目惊心，惨不忍睹……因此必须研究受载构件抵抗破坏的能力——强度，进行强度计算，以保证构件有足够的强度。刚度——构件抵抗变形的能力。当构件受载时，其形状和尺寸都要发生变化，称为变形。工程中要求构件的变形不允许过大，如果过大构件就不能正常工作。如机床的齿轮轴，变形过大就会造成齿轮啮合不良，轴与轴承产生不均匀磨损，降低加工精度，产生噪音；再如吊车大梁变形过大，会使跑车出现爬坡，引起振动；铁路桥梁变形过大，会引起火车脱轨，翻车……因此必须研究构件抵抗变形的能力——刚度，进行刚度计算，以保证构件有足够的刚度。稳定性——构件保持原来平衡形态的能力。如细长的活塞杆或者连杆，当诸如此类的细长杆子受压时，工程中要求它们始终保持直线的平衡形态。可是假设受力过大，压力到达某一数值时，压杆将由直线平衡形态变成曲线平衡形态，这种现象称之为压杆的失稳。又如受均匀外压力的薄壁圆筒，当外压力到达某一数值时，它由原来的圆筒形的平衡变成椭圆形的平衡，此为薄圆筒的失稳。失稳往往是突然发生而造成严重的工程事故，如19世纪末，瑞士的孟希太因大桥，20世纪初加拿大的魁北克大桥都由于桥架受压弦杆失稳而突然使大桥坍塌。……因此必须研究构件保持原来形态能力——稳定性，进行稳定性计算，以保持构件有足够的稳定性。§1.2变形固体的根本假设刚体——假定受力时不发生变形的物体。适用于理论力学研究物体的外部效应——平衡和运动。变形固体——在外力作用下发生变形的物体。变形固体的实际组成及其性质是很复杂的，为了分析和简化计算将其抽象为理想模型，作如下根本假设：1)2)均匀性假设：认为固体内到处有相同的力学性能。3)各向同性假设：认为无论沿任何方向固体的力学性能都是相同的。各向同性材料：如钢、铜、玻璃等。各向异性材料：如材料、胶合板，某些人工合成材料、复合材料等。§1.3外力及其分类载荷——作用于构件上的主动力体积力——连续分布在物体内各点的力面积力——作用于物体外表上的力面分布力——连续分布于物体外表某一面积上的力线分布力——沿着物体某一轴线上分布的力集中力——假设作用面积远小于物体整体尺寸或线性分布长度远小于轴线长度静载荷——假设载荷从零开始缓慢增加到某值后保持不变或变化很小动载荷——随时间而变化的载荷冲击载荷——由于物体运动状态瞬时发生突然变化而引起的载荷交变载荷——随时间而发生周期性变化的载荷§1.4内力、截面法和应力的概念内力〔附加内力〕截面法为进行强度、刚度计算必须由的外力确定未知的内力，而内力为作用力和反作用力，对整体而言不出现，为此必须采用截面法，将内力暴露。截面法三步骤：切：欲求某一截面上的内力，即用一假想平面将物体分为两局部代：两局部之间的相互作用用力代替平：建立其中任一局部的平衡条件，求未知内力注：内力为连续分布力，用平衡方程，求其分布内力的合力上述步骤可以表达为：一截为二，去一留一，平衡求力 图1-1试求图示悬臂梁截面上的内力解：截面法切代平平衡条件：求得：(剪力、弯矩)应力因内力为分布力系，为研究内力在截面上的分布规律，引入内力集度的概念——上的平均集度，称为平均应力——应力单位：§1.5变形与应变变形——物体受力后形状和尺寸的改变1.线应变〔简称应变〕假设：固体受到约束无刚体位移，只有变形位移，假设有刚体位移，应从总位移中扣除。————2.切应变〔角应变〕原来相互正交的棱边的直角夹角的改变量称为切应变〔角应变〕——§1.6杆件变形的根本形式根本变形轴向拉伸或压缩剪切扭转弯曲组合变形：当杆件同时发生两种或两种以上根本变形时称为组合变形。第二章拉伸、压缩与剪切§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力§2.4材料拉伸时的力学性能§2.5材料压缩时的力学性能§2.7失效、平安因数和强度计算§2.8轴向拉伸或压缩时的变形§2.9轴向拉伸或压缩的应变能§2.10拉伸、压缩超静定问题§2.11温度应力和装配应力§2.12应力集中的概念§2.13剪切和挤压的实用计算§2.1轴向拉伸与压缩的概念和实例1．实例〔1〕液压传动中的活塞杆〔2〕内燃机的连杆〔3〕汽缸的联接螺栓〔4〕起吊重物用的钢索〔5〕千斤顶的螺杆〔6〕桁架的杆件2．概念及简图当杆件在其两端受到等值、反向、作用线与杆轴重合的一对力〔F，F〕作用时杆件将沿轴线方向发生伸长或缩短变形，此类变形称为拉伸或压缩。§2.2轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力1．内力〔1〕截面法暴露内力。因为外力与轴线重合，故分布内力系的合力作用线必然与轴线重合，假设设为，称为轴力。〔2〔3〕平衡方程2.多力杆的轴力与轴力图例2.1试作图示杆的轴力图解：1-12-23-3例2.2试作图示杆的轴力图解：A-A1-12-23-33．应力内力分布规律的研究F=F=,拉为正,压为负。4．轴向拉〔压〕渐变杆近似计算5．圣维南原理〔静力等效或局部效应〕实验证实：作用于弹性体某一局部区域上的外力系，可以用它的静力等效力系来代替，这种代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，而对较远处〔距离略大于外力分布区域〕其影响即可不计，这就是圣维南原理。圣维南原理的实用价值：它给简化计算带来方便。例如：图示杆件由于采用不同连接(铆接、焊接、铰接)而使杆件在连接处，传递力的方式就各不同，而使局部区域内的应力分布也各不相同，而且非常复杂。但是用静力等效力系替代后，假设得到相同的计算简图(如右图示)，那么应力计算就可采用相同的公式：6．正应力公式应用条件〔1〕外力〔或其合力〕通过横截面形心且沿杆件轴线作用。〔2〕适用于弹性及性范围。〔3〕适用于角°横截面连续变化的直杆。*〔4〕在外力作用点附近或杆件横截面突然变化处，应力分布不均匀，不能用此公式，稍远一些的横截面上仍然应用。例1．图示结构中AC、CD为刚性杆，①、②两杆的截面直径分别为：d1=10mm,d2=20mm,试求两杆内的应力。 解：①受力分析及受力图②由图〔b〕：kN③由图〔c〕：kN FN2=20kN kN④求应力(N/mm2)＝127MPaMPa§2.3直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力1．横截面上的正应力2．斜截面上的应力 讨论〔1〕、均为〔2〕当°时，、横截面上。当°时，、当°时，平行于轴线纵截面。§2.4材料拉伸时的力学性能，弹性极限，屈服极限，延伸率，断面收缩率ψ，弹性模量E，横向变形因数〔泊松比〕μ等。常温、静载下拉伸试验是确立材料力学性能的最根本试验。试验设备：万能材料试验机。标准试件以低碳钢〔含碳量低于0.3%的碳素钢〕为例介绍拉伸试验。一、低碳钢〔Q235〕拉伸时的力学性能〔1〕夹持试件〔2〕油压缓慢加载使试件受拉〔3〕记录F~ΔL测试数值〔4〕直至拉断，观察力与变形的全过程〔5〕绘制F~ΔL拉伸曲线〔自动绘图〕〔6〕去除尺寸影响作σ~ε曲线，根据曲线特征大致分为四个阶段研究材料力学性能。1．弹性阶段〔Ob〕此阶段的变形为弹性变形2．屈服阶段〔bc〕屈服现象：当应力超过b点后，应力先是下降后是微小波动，曲线出现接近水平线小锯齿形线段。即应力不再增加，但应变显著增加，此现象称为屈服。*观察测力度盘指针停走或后退。*观察试件外表可见大致与轴线成45°方向上有细线，称为滑移线。因为4545°方向滑动。*σs——屈服极限。〔下屈服点〕*屈服阶段主要产生塑性变形。*屈服极限为重要的强度指标。3．强化阶段〔ce〕*材料抵抗变形的能力又继续增加，即随着试件继续变形，外力也必须增大，此现象称为材料强化。*σb——强度极限，发生断裂时的应力4．局部变形阶段〔颈缩〕〔ef〕试件局部范围横向尺寸急剧缩小，称为颈缩。5．延伸率和断面收缩率试件拉断后，弹性变形消失，而塑性变形保存下来。延伸率：〔塑性应变〕l——原标距l1——拉断后标距长度塑性指标：δ>5%——塑性材料，钢、铜、铝δ<5%——脆性材料，铸铁、玻璃、陶瓷断面收缩率：ψA——试件原截面面积A1——拉断后颈缩处断面面积6．卸载定律及冷作硬化试件假设拉到强化阶段，如d点卸载，那么沿〔dd′〕直线变化，短期内再加载，仍然沿〔dd′〕直线上升，说明比例极限提高，而延伸率降低，这种现象称为冷作硬化现象。缺陷：由于初加工，冷作硬化，使零件变硬变脆，给机加工带来困难，为便于加工，需退火消除冷硬层。二、其他塑性材料拉伸时的力学性能其他塑性材料：中碳钢、高碳钢、合金钢、铝合金、青铜、黄铜。讨论①有明显的四个阶段Q345〔16Mn〕,Q235钢；无屈服阶段：黄铜〔H62〕；无屈服，无颈缩：高碳钢(T10A)②名义屈服极限σ0.2〔对无屈服阶段的材料〕通常以产生0.2%的塑性应变所对应的应力值作为名义屈服应力，作为屈服指标。③对各种碳素钢的比拟说明：随着含碳量的增加，屈服极限，强度极限提高，但延伸率降低，说明强度提高，塑性降低，如合金钢，工具钢等。④强度又高，塑性又好的材料，始终是材料科学研究的方向。如南京长江大桥，采用16Mn钢比采用A3钢节约本钱15％，解放牌汽车降低40％，寿命提高20％。20MPa大气压的大型尿素合成塔为高压容器采用18MnMoNb合金钢比采用碳钢节约60％。三、铸钢拉伸时的力学性能⑴较低应力下被拉断⑵无明显直线段，无屈服，无颈缩⑶延伸率低属脆性材料，<5%⑷弹性模量E随应力的大小而变化。因此以~ε曲线开始局部的割线斜率作为弹性模量，称为割线弹性模量，近似认为材料服从胡克定律σ=Eε⑸σb——强度极限为唯一强度指标⑹抗压不抗拉，不宜作抗拉件§2.5材料压缩时的力学性能低碳钢的压缩〔1〕压缩时的E、σs与拉伸时相同，但得不到σb。〔2〕抗拉抗压强度相同。二．铸铁的压缩〔1〕破坏断面与轴线成45°～55°角，说明铸铁不抗剪。〔2〕抗压强度比抗拉强度高4~5倍〔3〕铸铁坚硬、耐磨，易浇铸成型，有良好的吸振能力，故宜用作机身，机座，轴承座及缸体等受压物件。§2.7失效、平安因数和强度计算一．失效：工程中将构件不能正常工作称为失效。①脆性断裂 ①塑性变形②弹性变形过大 ②冲断〔冲击、撞击〕③疲劳 ③失稳④蠕变〔高温〕 ④腐蚀〔等等〕二．破坏准那么：就强度而言塑性材料：σ=σs脆性材料：σ=σb强度条件：σ≤[σ] σ——工作应力 [σ]——许用应力 〔塑性材料〕 〔脆性材料〕三．平安因数：〔1〕ns、nb称为平安因数，如一般机械制造中，在静载情况工作的构件：ns=1.2~2.5 nb=2.0~3.5〔2〕确定平安因数应考虑的主要因素〔P32〕①材料素质〔均匀程度、质地好坏、塑性、脆性〕②载荷情况〔静载、动载，估计准确度〕④零件重要性、工作条件、损坏后果、制造及维修难易。⑤设备机动性、自重的要求。⑥其它尚无考虑的因素。综合考虑后确定。四．强度条件 ①强度校核：强度计算 ②设计截面： ③确定许用载荷：例2.7.1F=130kNα=30°AC为钢杆：d=30mm [σ]s=160MPaBC为铝杆：d=40mm [σ]a=60MPa试校核结构的强度。解：〔1〕求各杆轴力FNAC，FNBCkN〔2〕求各杆应力N/mm2N/mm2MPa∴平安例2.7.2图示托架，：F=60kN，α=30°AC为圆钢杆[σ]s=160MPaBC为方木杆[σ]w=4MPa试求钢杆直径d，木杆截面边长b解：〔1〕求各杆轴力〔2〕设计截面AC杆： mmBC杆： mm例2.7.3滑轮结构AB为圆钢杆d=20mm，[σ]s=160MPaBC为方木杆a=60mm，[σ]w=12MPa试求此结构的许用载荷W解：〔1〕求各杆的轴力与W的关系 〔2〕分别按各杆强度条件确定WAB杆： ∴kNBC杆： ∴kN取[W]=21.6kN§2.8轴向拉伸或压缩时的变形1．轴向变形胡克定律：∴(胡克定律的另一种形式)EA——杆件抗拉〔或抗压〕刚度2．横向变形 试验证明：当应力不超过比例极限时，横向应变与纵向应变之比的绝对值是一个常数。 μ——横向变形因数〔泊松比〕为材料常数〔弹性常数〕∴με3．渐变杆轴力变化时变形计算微段伸长：杆件伸长：例1除梯杆、求总变形：A1=400mm2 l1=200mmA2=800mm2 l2=200mmE=200GPa 解：〔1〕求各段轴力并作轴力图〔2〕求各段变形及总变形mmmmmm例2求节点A的位移：F=10kNα=45°AB为钢杆E1=200GPaA1=100mm2l1=1000mmAC为松木杆E2=10GPaA2=4000mm2l2=707mm解：〔1〕求轴力kN(拉)kN(压)〔2〕轴向变形mmmm〔3〕A点位移mmmm∴mm∴mm例3结构如图CD为刚杆AB杆为钢杆，d=30mm，a=1m，E=210GPa〔1〕试验测得标距S=20mm内的伸长变形ΔS=14.3×10-3mm，试求F力为假设干。〔2〕假设AB杆的材料[σ]=160MPa，试求许用载荷[F]，及此时D点的位移D解：〔1〕求AB杆的轴力FN∵∴kN求载荷FkN〔2〕求[F]kNkN〔3〕求δD∵∴mm§2.9轴向拉伸或压缩的应变能1．变形能〔应变能〕固体受外功作用而变形，在变形过程中，外力所作的功转变为储存于固体内的能量，固体在外力作用下，因变形而储存能量称为变形能或应变能。变形能有弹性变形能与塑性变形能。当外力逐渐减小，变形逐渐减小，固体会释放出局部能量而作功，这局部能量为弹性变形能。2．轴向拉〔压〕时的应变能线弹性应变能：〔三角形面积〕Vε胡克定律，那么3力〔σ〕位移单元体内应变能：dV——单元体的体积单位体积内的应变能：结论：Vε为应力—应变曲线〔σ-ε〕下的面积由胡克定律：σ=Eε，那么注：vε的单位为J/m3以比例极限σp例1利用功能原理求A点的垂直位移δ：F=10kNα=45°杆〔1〕为钢杆E1=200GPa，A1=100mm2，l1=1000mm杆〔2〕为木杆E2=10GPa，A2=4000mm2，l2=707mm解：〔1〕求轴力kNkN〔2〕求位移〔视作弹性杆系〕Vε=W1.18mm〔3〕此法只求杆系上只作用一个载荷，求载荷作用点处的位移。能量法求位移见下册13章。§2.10拉伸、压缩超静定问题超静定问题图示三杆桁架，①②二杆抗拉刚度相同，即E1A1=E2A2，F、α、l、E3、A3，试求三杆内力FN1、FN2、FN3。解：〔1〕静力平衡方程〔a〕 利用静力平衡方程，不能确定全部未知力的问题，称为超静定问题。此问题称一次静不定问题，未知力的数与独立平衡数目之差数称为超静定次数。超静定问题解法〔1〕建立足够的补充方程〔a〕静力学方面——平衡方程〔b〕几何学方面——变形协调条件〔c〕物理学方面——物理条件〔b〕〔c〕补充方程。〔2〕变形协调条件 〔b〕〔3〕物理条件 〔c〕式〔c〕代入式〔b〕∵l3=l l1=l/cosα，故 〔d〕式〔d〕为补充方程。联解式〔a〕与式〔d〕得例1AB为刚性杆，F、a、L。①②③杆抗拉压刚度相等。求：FN1、FN2、FN3解：一次静不定问题〔1〕平衡方程： 〔a〕 〔2〕变形协调条件 〔b〕 〔3〕物理条件 〔c〕 注意：受力图与变形图必须保持一致 式〔c〕代入式〔b〕得补充方程 〔d〕联解式〔a〕与式〔d〕得§2.11温度应力和装配应力一．温度应力温度变化将引起物体的膨胀或收缩。当温度变化时，静定结构可以自由变形，将不会在构件内引起内力。但对超静定结构，其变形及局部或全部受到约束，往往引起内力。这种由于温度变化而引起构件的应力称为热应力或温度应力。*〔温度均匀变化；温度非均匀变化〕例1高压蒸汽管道al、E、l、A、ΔT，求温度应力al一线膨胀系数。解：〔1〕平衡方程： 〔a〕〔2〕变形条件： 〔b〕〔3〕物理条件： 〔c〕式〔c〕代入式〔b〕 〔d〕联解〔a〕〔d〕得：应力： 二．装配应力静定结构，由于构件制造的微小误差，在装配时会引起结构几何形状的微小改变，而不会引起内力。但超静定结构，由于加工的微小误差，在装配时，将在结构内引起应力，这种应力称为装配应力。例2δ为很小量，A1=A2，l1=l2，E1=E2，E3，A3，l，α，求：σ1σ2,σ3解：〔1〕平衡方程〔a〕〔2〕变形协调条件 〔b〕〔3〕物理条件： 〔c〕式〔c〕代入式〔b〕得补充方程 〔d〕联解式〔a〕式〔d〕得应力例3钢杆①②③A=200mm2，l=1000mm，E=210GPa，δ=0.8mm，AC为刚性杆，求：装配后的FN1、FN2、FN3解：装配后的变形如图示〔1〕平衡方程 〔a〕〔2〕变形协调条件 〔b〕〔3〕物理条件： 〔c〕式〔c〕代入式〔b〕得补充方程 〔d〕联解式〔a〕式〔d〕得 FN1=5.33kN FN2=10.66kN FN3=5.33kN§2.12应力集中的概念1．概念等截面直杆受轴向拉伸或压缩时，横截面上的应力是均匀分布的。由于实际需要，有些零件必须有切口、切槽、油孔、螺纹、轴肩等，以致在这些部位上截面尺寸发生突然变化。实验结果和理论分析说明，在零件尺寸突然改变处的横截面上，应力并不是均匀分布的。2．应力集中——由于杆件外形突然变化，而引起局部应力急剧增大的现象，称为应力集中。3．理论应力集中因数σmax——最大应力σ——平均应力试验结果说明：截面尺寸改变得越急剧、角越尖，孔越小，应力集中的程度就越严重。因此，零件应尽量防止带尖角的孔和槽，对阶梯轴的过渡圆弧，半径应尽量大一些。4．材料对应力集中敏感性讨论§2.13剪切和挤压的实用计算剪切的实用计算〔1〕连接件：铆钉、销钉、螺栓、键等都是受剪构件。剪切：当在杆件某一截面处，在杆件两侧受到等值，反向、作用线平行且相距很近一对力作用时，将使杆件两局部沿这一截面〔剪切面〕发生相对错动的变形，这种变形称为剪切。〔2〕切应力假定切应力在剪切面上均匀分布，那么〔3〕强度条件强度计算：①校核②设计截面③确定许用载荷挤压的实用计算〔1〕挤压：在外力作用下，在连接件和被连接件之间，必须在接触面上相互压紧，这种现象称为挤压。〔2〕挤压应力F——挤压力Abs——挤压面面积假定挤压应力在挤压面上均匀分布。〔3〕挤压面面积：①挤压面为平面，面积为平面面积②挤压面为圆柱面，取直径面面积，所得平均应力与最大挤压应力大致接近。〔4〕强度条件：例1材料的剪切许用应力[τ]和拉伸的许用应力[σ]之间关系约为：[τ]=0.6[σ]，试求螺钉直径d和钉头高度h的合理比值。解：〔1〕拉伸强度条件为〔2〕剪切强度条件为FS=F故：例2车床的传动光杆装有平安联轴器，当超过一定载荷时，平安销即被剪断，平安销的材料为30#钢，剪切极限应力τu=360MPa，光杆可传递的最大力偶矩为Me=120N.m·，试求平安销的最大直径dmax。解：与冲床工作原理相同，属剪切删除强度计算的反向题Me=FSD (D=φ)剪断条件为：即：故：mmmm第三章扭转§3.1扭转的概念和实例§3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图§3.3纯剪切§3.4圆轴扭转时的应力§3.5圆轴扭转时的变形§3.6§3.7非圆截面杆扭转的概念§3.1扭转的概念和实例1．实例如：车床的光杆反响釜的搅拌轴汽车转向轴2．扭转：在杆件的两端作用等值，反向且作用面垂直于杆件轴线的一对力偶时，杆的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动，这种变形称为扭转变形。§3.2外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图1．Me、m、P之间的关系Me——外力偶矩〔N∙m〕n——转速〔r/min〕P——功率〔kW〕〔1kW=1000N∙m/s〕〔马力〕〔1马力=735.5W〕每秒钟内完成的功力或2．扭矩和扭矩图〔1〕截面法、平衡方程ΣMx=0 T-Me=0 T=Me〔2I或局部II〔3〕扭矩图例1主动轮A输入功率PA=50kW，从动轮输出功率PB=PC=15kW，PD=20kW，n=300r/min，试求扭矩图.解：〔1〕〔2〕求TΣMx=0T1+MeB=0 T1=-MeB=-477 T2-MeA+MeB=0 T2=1115N T3-MeD=0 T3=Med=63T例2主动轮与从动轮布置合理性的讨论主动轮一般应放在两个从动轮的中间，这样会使整个轴的扭矩图分布比拟均匀。这与主动轮放在从动轮的一边相比，整个轴的最大扭矩值会降低。如左图a：Tmax=50N·m右图b：Tmax=25N·m二者比拟图b安置合理。§3.3纯剪切在讨论扭转的应力和变形之前，对于切应力和切应变的规律以及二者关系的研究非常重要。1．薄壁圆筒扭转时的切应力连接件的剪切面上非但有切应力，而且有正应力，剪切面附近变形十分复杂。纯剪切是指截面上只有切应力而无正应力。纯剪切的典型例子薄壁圆筒的扭转。〔1〕观察变形及分析变形前纵线与圆周线形成方格。变形前方格左右两边相对错动，距离保持不变，圆周半径长度保持不变，这表示横截面上无正应力，只有切应力。由于切应变发生在纵截面，故横截面上的切应力与半径正交。对薄壁圆筒而言，切应力沿壁厚不变化。〔2〕力矩平衡ΣMx=02．切应力互等定理取出单元体如左图ΣFx=0 τ′=τ′ΣMz=0 τ′=τ在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，其方向都垂直于两平面交线，或共同指向或共同背离两平面交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。3．切应变剪切胡克定律上述单元体，属于纯剪切状态胡克定律：试验说明，当切应力不超过比例极限时，切应力与切应变成正比。τ=GγG——比例常数，材料的切变模量。单位GPa4．三个弹性常数之间的关系对各向同性材料5．剪切应变能对图示纯剪切单元体。右侧面上的剪力为τdydz。由于剪切变形，右侧面向下错动位移为rdx。假设切应力有一个增量dτ，切应变的相应增量为dγ，右侧面向下位移增量为dγdx。剪力τdydz在位移dγdx上完成的功力τdydz·dγdx。在切应力从零开始逐渐增加的过程中〔如到达可，那么相应的切应变到达r1〕右侧面上的剪力τdydz总共完成的功力。单元体内储存的剪切应变能力式中：dv=dxdydzvε=τ－r曲线下的面积。〔τdγ为阴影条面积〕当切应力不超过剪切比例极限的情况下。τ与γ的关系为斜直线〔为线弹性情况〕剪切胡克定律：τ=Gγ，那么§3.4圆轴扭转时的应力1．应力分布规律：几何学方面物理学方面静力学方面〔1〕变形几何关系①观察试验〔在小变形前提下〕a.圆周线大小、形状及相邻二圆周线之间的距离保持不变，仅绕轴线相对转过一个角度。b.在小变形前提下纵线仍为直线仅倾斜一微小角度，变形前外表的矩形方格，变形后错动成菱形。②平面假设：圆轴扭转变形前的平面横截面变形后仍保持平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻二截面间的距离保持不变。③结论：横截面上只有切应力而无正应力。④取dx一段轴讨论： 〔a〕讨论：a.为扭转角φ沿轴线x的变化率对给定截面上的各点而言，〔即x相同〕它是常量。b.横截面上任意点的切应变γP与该点到圆心的距离P成正比。〔任意半径圆周处的切应变均相等〕。〔2〕物理关系①剪切胡克定律 〔b〕②结论a.距圆心等距的圆周上各点处的切应力均相等。τP与半径垂直〔即各点处的圆周切线方向〕。b.切应力沿半径直线分布。〔3〕静力关系①内力为分布力系的合力〔截面对圆心O的板惯性矩〕 于是： 〔c〕式〔c〕代入式〔b〕得 〔d〕②讨论 〔e〕引入 〔抗扭截面系数〕那么 〔f〕2．IP、Wt计算公式〔1〕实心圆截面 dA=ρdθdρ〔2〕空心圆截面式中 α=d/D3．强度条件〔1〕强度计算①校核②设计截面 ③确定许用载荷Tmax≤[τ]Wt〔2〕讨论：对变截面杆、如阶梯杆、圆锥形杆，Wt不是常量，τmax并不一定发生在扭矩为Tmax的截面上，这要综合考虑T和Wt寻求最大值。4．强度计算举例Example1图示传动轴GivenMe1=895N·m Me2=538N·m Me3=2866N·mMe4=1075N·mMe5=358N·m [τ]=20MPaFind设计阶梯轴各段的直径DProceduresolution〔1〕求各段轴的扭矩，作出扭矩图〔2〕求各段轴的直径D∵∴ D23≥71.5mmD34≥71.5mmD45≥45mmExample2图示传动轴外力偶矩某度为mGivenM=500N·m/m D=30mm l=1000mm FindτmaxsolutionΣMx=0T(x)=mx扭矩沿轴线线性变化当x=0时，T=0当x=l时，Tmax=ml=500N·m∴Mpa§3.5圆轴扭转时的变形1．扭转角φ的计算讨论：〔1〕假设两截面之间T=const，GIP=const，那么GIP——圆轴的抗扭刚度〔2〕阶梯轴2．刚度条件消除轴的长度l的影响〔rad/m〕 ：单位长度的扭转角等直圆轴：刚度条件〔rad/m〕按照设计标准和习惯许用值的单位为，可从相应手册中查到。〔º〕/m3．刚度计算 ①刚度校核 ②设计截面： ③确定许用载荷Tmax注意：由刚度条件 G——切变模量或 式中需用牛顿米代入因为单位为〔º〕/mExample1图示钢轴GivenMe1=800N·m Me2=1200N·m Me3=400N·m l1=0.3m l2=0.7m G=82GPa[τ]=50MPa =0.25(º)/mFindDsolution〔1〕求扭矩，作出扭矩图〔2〕强度条件Tmax=800N·m〔m〕〔3〕刚度条件〔m〕取：D=70mm注意：用牛顿米统一单位方便，不易出错。§3.61．实例〔1〕车辆轮轴弹簧：缓冲减振〔2〕凸轮机构的压紧弹簧，内燃机的气阀弹簧〔控制机械运动〕。〔3〕弹簧秤〔4110层双子楼主楼417m，次楼415mm。为了抵御大西洋的狂风，顶部风压为4kPa，允许位移90cm，实测fmax=28cm，内外筒之间用桁架承当楼面载荷，在第7层一107层桁架下面放置减震器，吸收风力作用下大楼的变形能减震。2〔1〕螺旋角α<5〔2〕d<<D〔小曲率杆〕近似认为簧丝横截面与弹簧轴线位于同一平面内略去曲率影响，采用直杆扭转公式.3．弹簧丝横截面上的应力ΣFy=0 FS=FΣM0=0 内侧A点：假设那么<<1与1相比可省略。这相当于只考虑扭转，不计剪切。 〔近似公式〕考虑到切应力的非均匀分布及曲率的影响对上式修正。式中 ——曲度系数 弹簧指数4．簧丝的强度条件5．弹簧的变形〔1〕试验说明：在弹性范围内，静载压力F与λ成正比〔线弹性关系〕。当外力从零增加到最终值时，它作的功等于斜直线下的面积即：〔2〕簧丝的扭转的应变能簧丝横截面上距圆心为处的切应力弹簧的应变能为V——弹簧体积dA——簧丝横截面的微分面积dS_——沿簧丝轴的微分长度，n为有效圈数)根据功能原理，即W=Vε式中：是弹簧圈的平均半径。那么：C越大，那么λ越小，所示C代表弹簧抵抗变形的能力，称为弹簧刚度。C的单位为N/m或F=Cλ6Example1平安气阀阀盘的直径Do=60mm当蒸汽压力p=0.8MPa时，阀门行程为h=10mm，弹簧材料为60Mn钢，[τ]=400MPa，G=80GPa，簧圈平均直径D=50mm。Find：簧丝直径d和弹簧圈数nSolution：〔1〕弹簧受压力：(N)〔2〕簧丝直径d：由于曲度系数k未知，故应用试算法。先用近似公式估算。由公式(mm)考虑到修正，取d=9.8mm，然后校核：代入修正公式求故取d=9.8mm〔3〕弹簧圈数：由§3.7非圆截面杆扭转的概念一、实例①农业机械中有时采用方轴为传动轴②车床上的光杆有时采用方截面③曲轴的曲柄为矩形截面，承受扭矩二、非圆截面杆扭转与圆轴扭转的差异观察试验：非圆截面杆扭转变形后，截面周线为空间曲线，即截面发生翘曲成为曲面，圆轴扭转时的假设已不适用。三、非圆截面杆扭转的分类四、矩形截面杆扭转时的应力与变形1.切应力①切应力分布规律及切力流②最大切应力 〔长边中点〕 〔短边中点〕2.变形相对扭转角GIt=Ghb3——杆件的抗扭刚度3.系数：以上式中α、、均是与h/b比值有关的系数，列入表3.2中〔见P96〕。4.狭长矩形当时，截面成狭长矩形，这时 〔长边中点〕式中δ为短边长度。第四章弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例§4.2受弯杆件的简化§4.3剪力和弯矩§4.4剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系§4.6静定刚度及平面曲杆的弯曲内力§4.1弯曲的概念和实例1．实例2．弯曲变形作用于杆件上的垂直于杆件的轴线，使原为直线的轴线变形后成为曲线，这种变形称为弯曲变形。3．梁——凡以弯曲变形为主的杆件，习惯上称为梁4．对称弯曲：§4.2受弯杆件的简化根据支座及载荷简化，最后可以得出梁的计算简图。计算简图以梁的轴线和支承来表示梁。l称为梁的跨度§4.3剪力和弯矩〔1〕求反力：〔2〕求内力〔截面法〕一般来说截面上有剪力FS和弯矩M〔为平衡〕 〔a〕 〔b〕〔3〕讨论一般说，在梁的截面上都有剪力FS和弯矩M，从式〔a〕式〔b〕可以看出，在数值上，剪力FS等于截面以左所有外力在梁轴线的垂线〔y轴〕上投影的代数和；弯矩M等于截面以左所有外力对截面形心取力矩的代数和，即：同理，取截面右侧局部为研究对象：〔4〕剪力FS和弯矩M无论取左侧，或者取右侧，所得同一截面上的剪力FS和弯矩MExample1试求图示梁D截面的FS、MSolution：〔1〕求反力〔2〕求剪力和弯矩〔设正法〕将截面上的剪力FS和弯距MFS所设方向与实际方向相反，截面上产生负剪力〕。Exemple2试求图示梁1-1，2-2截面上的剪力和弯矩Solution：①求反力：②求剪力和弯矩，1-1截面

2-2截面 Example3试求图示梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution①求反力：②求剪力和弯矩1-1截面：设FS1，M12-2截面：设FS2，M2〔设正法〕〔所设方向与实际方向相反，为负弯矩〕Example4试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution：根据前面剪力和弯矩的求代数和的规那么来求剪力和弯矩。1-1截面：2-2截面：Example5试求梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩Solution：〔取右侧〕1-1截面：2-2截面：§4.4剪力方程和弯矩方向，剪力图和弯矩图1．一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化，剪力和弯矩为截面位置坐标x2．列剪力方程和弯矩方程规那么〔1〔2〔3〔1〔2〔3Example1试作梁的梁剪力图和弯矩图Solution①求反力②列方程③绘图F(x)为x当x=0时， 当x=l时， M〔x〕为x当x=0时， M〔x〕=0当时， 当时， 当时， 当x=l时， M〔x〕=0④ Example2镗刀杆的计算简图，试作FS、M图Solution：①可以求反力，也可以不求反力②列方程FS(x)=F (0<x<l)M(x)=-F(l-x) (0<x≤l)③绘图FS(x)为常数，为水平线M(x)为x当x=0时 M(x)=-Fl当x=l时 M(x)=0④FSmax=F Example3齿轮轴计算简图，作FS、M图Solution①求反力②列FS、M方程，集中力F作用，分段列方程(AC) (0<x1<a) (0≤x1≤a)(CB) (0<x2<l) (0≤x2≤l)③绘图〔AC〕 常数为水平线M1〔x1〕为x1=点 当x1=0时，M1〔x1〕=0 当x1=a时，M1〔x1〕=〔CB〕 为水平M2〔x2〕为x=点 当x2=a时，M2〔x2〕= 当x2=l时，M2〔x2〕=0④Example4试作FS、M图Solution①求反力②列方程，分段列方程〔AC〕 (0<x1≤a) (0≤x1<a)〔CB〕 (a≤x2<l) (a<x2≤l)③绘图 常数、水平线M1〔x1〕为x 当x1=0时，M1〔x1〕=0 当x1=a时，M1〔x1〕=M2〔x2〕为x 当x2=a时，M2〔x2〕= 当x2=l时，M2〔x2〕=0§4.5载荷集度、剪力和弯矩间的关系1．引言〔1〕分段列方程十分麻烦。〔2〕q(x)、FS(x)、M(x)之间存在普遍的导数关系。〔3〕利用?导数关系?直接由载荷判定FS、M图形，绘制FS、M图。〔4〕检验FS、M图正确与否很方便。2．证明q(x)、FS(x)、M(x)间的关系证：〔1〕取坐标系如图，x以向右为正。〔2〕取微段〔微段上不能受集中力与集中力偶，只受分布载荷〕。〔3〕微段上的载荷集度q(x)视为均布，且规定q(x)↑为正eq\o\ac(○,+)，q(x)↓为负eq\o\ac(○,－)。〔4〕微段两侧横截面上的FS(x)，M(x)均设为正方向。〔5〕讨论微段平衡略去高阶微量3.利用导数关系绘制Fs、M图或者检验q图Fs图M图q=0(一段)水平线〔一段〕斜直线〔或水平线〕q<0↓水平线斜直线二次抛物线上凸q>0↑水平线斜直线二次抛物线下凸↓q=q(x)斜直线二次抛物线三次抛物线FS=0〔一段〕水平线FS=0〔一点〕有极值集中力作用截面突变集中力偶作用截面突变4．作Fs、M图程序procedure⑴一判：判断Fs、M图线形状⑵二算：算出控制截面Fs、M数值⑶三连线5．Example试用导数关系作图示外伸梁的Fs、M图Solution①求反力FA=3kN FB=7kN②判断曲线形状，二算三连线③确定E截面位置3-qx=0§4.6静定刚度及平面曲杆的弯曲内力1．静定刚架〔1〕举例：某些机器的机身或者机架的轴线是由几段直线组成的折线，如液压机机身、钻床确床架、轧钢机机架等。〔2〕刚节点：为上述的机架的每两局部在连接处夹角不变，即两局部在连接处不能有相对转动，这样连接称为刚节点。〔3〕刚架：各局部由刚节点连接的框架结构称为刚架。〔4〕静定刚架：外力和内力均可由平衡方程确定的刚架称为静定刚架。〔5〕超静定刚架：外力或内力不能由静力平衡方程全部确定下来的刚架，称为超静定刚架。〔6〕刚架的内力一般有轴力FN、剪力FS和弯矩M。〔7〕静定刚架弯矩图的绘制。弯矩图约定画在杆件受压一侧，即受压弯曲后的凹侧。受压受拉直接制定。Example1钻床床架计算简图，试作M图Solution①求反力②列方程〔AC〕M1(x1)=Fx1 〔0≤x1≤a〕〔CB〕M2(x2)=Fa 〔0≤x2≤2a〕③作图Example2试作图示刚架的弯矩图Solution①求反力②作弯矩图2．平面曲杆〔平面曲梁〕〔1〕平面曲杆：某些构件为活塞环、链环、拱等一般杆件都有一个纵对称面，其轴线为一平面曲线称为平面曲杆。〔2〕平面弯曲：当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。〔3〕内力一般有弯矩M，轴力FN，剪力FS〔4①轴力FN拉为正、压为负。②对考虑的一段曲杆内任一点，FS产生顺时针力矩为正、反之FS为负。③弯矩M使曲率增大为正、反之为负。Example5试作图示曲杆的弯矩图Solution①列方程②作弯矩图第五章弯曲应力§5.1纯弯曲§5.2纯弯曲时的正应力§5-3横力弯曲〔剪切弯曲〕时的正应力§5.4弯曲切应力§5.6提高弯曲强度的措施§5.1纯弯曲1.2．观察变形以矩形截面梁为例〔1〕变形前的直线、变形后成为曲线、，变形前的，变形后仍为直线、，然而却相对转过了一个角度，且仍与、曲线相垂直。〔2〕平面假设根据实验结果，可以假设变形前原为平面的梁的横截面变形后仍为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线，这就是弯曲变形的平面假设。〔3〕设想设想梁是由平行于轴线的众多纤维组成。在纯弯曲过程中各纤维之间互不挤压，只发生伸长和缩短变形。显然，凸边一侧的纤维发生伸长，凹边一侧的纤维缩短。由平面假设纤维由伸长变为缩短，连续变化，中间一定有一层纤维称既不伸长,也不缩短,这一层纤维为中性层。〔4〕中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴，由于整体变形的对称性，中性轴由与纵向对称面垂直。P139note：可以证明，中性轴为形心主轴。§5.2纯弯曲时的正应力1．正应力分布规律：①变形几何关系②物理关系③静力关系〔1〕变形几何关系取dx微段来研究，竖直对称轴为y轴，中性轴为z轴，距中性层为y的任一纤维的线应变。 〔a〕〔2〕物理关系因为纵向纤维之间无正应和，每一纤维都是单向拉伸或者单向压缩，当应力小于比例极限时，由胡克定律 〔b〕此式说明：任意纵向纤维的正应力与它到中性层的距离成正比。在横截面上，任意点的正应力与该点到中性轴的距离成正比。亦即沿截面高度，正应力按直线规律变化。〔3〕静力关系横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力学。这一力系可能简化为三个内力分量：横截面上的内力与截面左侧的外力必须平衡。在纯弯曲情况下，截面左侧的外力只有对z轴的力偶矩Me。由于内外力必须满足平衡方程，故：① 〔c〕式〔b〕代入式〔c〕 ∵ ∴ 结论：Z轴〔中性轴〕通过形心。② 〔d〕式〔b〕代入式〔d〕结论：y轴为对称轴，上式自然满足③ 〔e〕式〔b〕代入式〔e〕 〔f〕∵ ∴式〔f〕可写成 〔g〕式中为梁轴线变形后的曲率，EIZ称为梁的抗弯刚度。2．纯弯曲时梁的正应力计算公式由式〔g〕和式〔b〕中消去得讨论：〔1〕导出公式时用了矩形截面，但未涉及任何矩形的几何特性，因此，公式具有普遍性。〔2〕只要梁有一纵向对称面，且载荷作用于对称面内，公式都适用。〔3〕横截上任一点处的应力是拉应力还是压应力可直接判定，不需用y坐标的正负来判定。§5-3横力弯曲〔剪切弯曲〕时的正应力1．纯弯曲正应力公式推广应用于横力弯曲讨论：公式的适用条件〔1〕平面弯曲〔2〕纯弯曲或l/h≥5的横力弯曲〔σ，τ〕〔3〕应力小于比例极限。2．最大正应力 W——抗弯截面系数〔m3〕讨论：〔1〕等直梁而言σmax发生在最大弯矩断面，距中性轴最远处ymax。〔2〕对于变截面梁不应只注意最大弯矩Mmax截面，而应综合考虑弯矩和抗弯截面系数WZ两个因素。3．强度条件〔1〕对抗拉抗压强度相同的材料，只要即可〔2〕对抗拉抗压强度不等的材料〔如铸铁〕那么应同时满足：4．强度计算〔1〕强度校核〔2〕设计截面尺寸：〔3〕确定许用载荷：Example1空气泵操作杆，右端受力F1=8.5kN，1-1、2-2截面相同，均为h/b=3的矩形，假设[σ]=50MPa，试选用1-1、2-2截面尺寸。Solution①求F2kN②求截面弯矩M1=8.5×(0.72-0.08)=5.44kN·mM2=16.1×(0.38-0.08)=4.38kN·m故：kN·m③设计截面mm3∵ mm3mm∴ h=125mm§5.4弯曲切应力切应力的分布规律与梁的横截面形状有关，因此以梁的横截面形状不同分别加以讨论。1．矩形截面梁〔1〕切应力的分布规律当h>b时，按上述假设得到的解答与精确解相比有足够的准确度。〔2〕切应力沿截面高度的变化规律①从梁中取出dx段，而微段上无载荷作用。②截面上的σ和τ的分布如图③研究微块的平衡 〔a〕式中：为离中性轴为y的横线以下面积对中性轴之静矩。 〔b〕考虑到微块顶面上相切的内力系的合力 〔c〕〔d〕式〔a〕、〔b〕、〔c〕代入式〔d〕 〔e〕 〔d〕∵ ∴ 〔f〕由切应力互等定理，横截面上pq线处切应力为 〔g〕这就是矩形截面梁弯曲切应力计算公式。④讨论：a.横力弯曲下梁的纵向纤维层之间存在切应力b.矩形截面如图or ∴说明切应力τ沿截面高度按抛物线规律变化。c. 当时，τ=0 当y=0时，d.考虑到2．工字形截面梁〔1〕计算说明：截面上剪力FS的95～97%由腹板承当，故只考虑腹板上的切应力分布规律，而腹板是一个狭长矩形，矩形截面切应力两个假设均适用〔τ方向与FS式中：以y=0，代入上式得∵b0<<b∴τmax≈τmin于是近似认为〔2〕翼缘中切应力分布比拟复杂，且数量很小，无实际意义，不予讨论。〔3〕工字梁翼缘的全部面都距中性轴较远，每一点的正应力都很大，所以工字梁的最大特点是，用翼缘承当大局部弯矩，腹板承当大局部剪力。3．圆形及圆环形截面梁〔1〕——阴影面积对中性轴的静矩b——为弦AB的长度在中性轴上 b=2R〔2〕圆环形截面4．弯曲切应力的强度校核〔1〕强度条件最大切应力发生于中性轴处，故——中性轴以上或以下截面面积对中性轴之静矩〔2〕细长梁而言，强度控制因素，通常是弯曲正应力，一般只按正应力强度条件进行强度计算，不需要对弯曲切应力进行强度校核。〔3〕只在下述情况下，才进行弯曲切应力强度校核：①梁的跨度较短。②在梁的支座附近作用较大的载荷，以致梁的弯矩较小，而剪力颇大。③铆接或焊接的工字梁，如腹板较薄而截面高度颇大，以致厚度与高度的比值小于型钢的相应比值，这时对腹板进行切应力校核。④经焊接，铆接或胶而成的梁，对焊缝、铆钉或胶合面一般进行剪切计算。§5.6提高弯曲强度的措施弯曲正应力为控制梁的主要因素。由梁的强度条件：合理安排梁的受力情况，降低Mmax。采用合理截面形状，提高WZ1．合理安排梁的受力情况，降低Mmax〔1〕合理布置梁的支座〔2〕合理布置载荷①载荷置于合理位置②将集中力分为较小的集中力③将集中力分为分布力2．梁的合理截面，提高WZ由强度条件得可见WZ越大，梁承受的弯矩就越大。矩形截面梁竖放：，由A=bh，用来衡量截面形状的合理性和经济性。平放：，由A=bh显然：因为h>b，故K1>K2，所以，矩形截面梁竖放比平放要好。〔2〕截面合理性，经济性用比值来评价，引入，K值越大截面越合理。3．等强度梁的设计〔1〕等截面梁是按最大弯矩设计〔2〕等强度梁是按变截面设计等强度梁为变截面梁各横截面上的最大正应力σmax都相等，且等于许用应力[σ]。4．举例Example图示受集中力作用的简支梁，假设设计成等强度梁，截面为矩形。设h=const，而b=b(x)Solution〔1〕即： ∴ 〔2〕讨论①b(x)为x当②当x=0时，b=0。这显然不能满足剪切条件。必须根据截面上中性轴处的最大切应力来论最小的宽度bmin。③根据即： 故： 〔3〕叠板弹簧梁的构成将厚度为h的钢，切割成bmin的钢板条，当然钢板条长度不同叠起来，构成叠板梁如图示。〔4〕鱼腹梁的设计设： 即：又： 故： 鱼腹梁形成。第六章弯曲变形§6.1工程中的弯曲变形问题§6.2挠曲线的微分方程§6.3用积分法求弯曲变形§6.4用叠加法求弯曲变形§6.5简单超静定梁§6.6提高弯曲刚度的一些措施§6.1工程中的弯曲变形问题实例①车床主轴：变形过大，会使齿轮啮合不良，轴与轴承产生非均匀磨损，产生噪声，降低寿命，影响加工精度。②吊车梁：变形过大会出现小车爬坡现象，引起振动。2.研究变形目的①建立刚度条件，解决刚度问题②建立变形协调条件，解决超静定问题③为振动计算奠定根底。§6.2挠曲线的微分方程1.概念以简支梁为例，以变形前的轴线为x轴，垂直向上为y轴，xoy平面为梁的纵向对称面。①挠曲线：在对称弯曲情况下，变形后梁的轴线为xoy平面内的一条曲线，此曲线称为挠曲线。②挠度：梁的任一截面形心的竖直位移称为挠度。③挠曲线的方程式：w=f(x)④转角：弯曲变形中，梁的横截面对其原来位置转过的角度θ，称为截面转角。根据平面假设，梁的横截面变形前，垂直于轴线，变形后垂直于挠曲线。故⑤挠度w和转角θ是度量弯曲变形的两个根本量。挠曲线的曲率表示式：①纯弯曲：②横力弯曲：细长梁，忽略Fs影响。3.挠曲线的曲率表达式①纯弯曲：〔a〕②横力弯曲：对细长梁而言，忽略剪力Fs的影响〔b〕③高等数学中对曲率的定义及表达式于是式〔a〕转化为〔c〕在我们选定的坐标系内，假设弯矩M为正，那么挠曲线向下凸，〔如以下图〕，随着弧长S的增加，θ也是增加的，即正增量对应的c〕可写成〔d〕 注意到代入式〔d〕及：〔e〕此为挠曲线的微分方程，适用于弯曲变形的任意情况，它是非线性的。在小变形的情况下，梁的挠度w一般都远小于跨度，挠曲线w=f(x)是一非常平坦的曲线，转角θ也是一个非常小的角度，于是〔f〕式〔e〕中，于是式〔e〕可写成〔g〕此式为挠曲线的近似微分方程。§6.3用积分法求弯曲变形挠曲线的近似微分方程对等直梁而言，EI为常量，于是上式可写成积分可得转角方程，再积分可得挠曲线方程式中C、D为积分常数，可由边界条件及连续条件确定。2.边界条件：在挠曲线的某些点上，挠度或转角有时是的这类条件称为边界条件。3.连续条件：挠曲线是一条光滑连续的曲线，在挠曲线的任一点上有唯一确定的挠度和转角这就是连续条件。4.刚度条件：Example1.EI=constFind.wmax、θmaxSolution.①列弯矩方程：(0≤x＜l)②列微分方程及积分③求积分常数边界条件：当x=l时，=θ=0，w=0④转角方程及挠度方程：⑤求θA,wA将x=0代入以上二式Example2.内燃机的凸轮轴或齿轮轴计算简图，试求转角方程及挠度方程，wmax、θmax。Solution①求反力：②列弯矩方程：〔AC〕(0≤x1≤a)〔CB〕(a≤x2≤l)③列微分方程及积分〔AC〕〔CB〕④求积分常数边界条件：当x1=0时，w1=0当x2=l时，w2=0连续条件：当x1=x2=a时，w11=w12，w1=w2 D1=D2=0⑤转角方程及挠度方程〔AC〕〔CB〕⑥最大挠度wmax，最大转角θmax当x1=0时，当x2=l时，假设a＞b，那么,θmax＞θB假设a＜b，那么最大挠度wmax当时,w为极值,所以应首先确定为零的截面位置。假设在式〔ax1=a，可求的假设a＞b，那么θC为正值。可见从截面A到截面Cθ=0的截面必然在〔ACa〕等于零：x0即为挠度为最大值的截面横坐标。以x0代入式〔b〕的最大挠度当F作用于中点时，即，最大挠度发生在中点。极端情况，当F无限接近右支座时，b2<<l2，b2可以省略，于是可见即是在这种极端情况下，最大挠度仍然发生在跨度中点附近，也就是最大挠度总在靠近跨度中点。所以可以用跨度中点的挠度近似代替最大挠度，因此，在式〔b求出跨度中点挠度为：即是在极端情况下，b→0时⑦误差分析：用代替wmax所引起的误差⑧结论可见在简支梁中，只要挠曲线无拐点，总可用跨度中点的挠度代替最大挠度不会引起很大误差。§6.4用叠加法求弯曲变形1.积分法②缺点：积分法比拟麻烦。叠加法①在小变形，线弹性前提下〔材料服从胡克定律〕，挠度与转角均与载荷成线性关系。因此，当梁上有多个载荷作用时，可以分别求出每一载荷单独引起的变形，把所得变形叠加即为这些载荷共同作用时的变形，这就是弯曲变形的叠加法。②为了便于工程计算，把简单根本载荷作用下梁的挠曲线方程，最大挠度，最大转角计算公式编入手册，以便查用。P188-1Example1Given：Find：θA,θB,wCSolution：查表P190Example2.Find:：θA,θB,wC,wDSolution：查表P189-190Example3.Find:：θA,θB,wC,wDSolution：查表P188-189Example4.Find：θA,wASolution：查表P188 以代替以上二式中的F，以x代替a，然后积分第八章组合变形§8.1组合变形和叠加原理§8.2拉伸或压缩与弯曲的组合§8.4扭转与弯曲的组合变形§8.1组合变形和叠加原理1.根本变形：拉伸压缩、剪切、扭转、弯曲.2.组合变形：物件同时发生两种或两种以上根本变形情况称为组合变形。3.举例4.〔简化叠加〕①载荷的简化和分解，把物件上的外力转化成几组静力等效载荷，其中每一组载荷对应着一种根本变形。②分别计算每一根本变形各自引起的内力，应力应变和位移，然后将所得结果叠加。③叠加法建立在叠加原理的根底上：即材料服从胡克定律，在小变形前提下力与变形成线形关系。§8.2拉伸或压缩与弯曲的组合1.工程实例2.注意：对受压弯组合的杆件，只适用于杆件抗弯钢度较大的情况，才能用叠加法去计算，否那么只能按只能按纵横弯曲问题来计算。 Example1.试对发动机阀门机物气的杆A进行强度校核。凸轮压力F=1.6KN,尺寸如图，材料为合金钢，Solution:li力F向杆件轴线简化Example2.压力机框架如图示，材料为灰铸铁HT15-33,试校核定主的强度。Solution(立柱的拉弯组合)截面的几何性质②横截面I-I的内力F③强度校核§8.4扭转与弯曲的组合变形1．以圆轴为例①在危险截面： ②危险点处应力③危险点属于二向应力状态∴④危险点属应力复杂状态，必须用强度理论建立强度条件，对塑性材料，可采用第三或第四强度理论。即： 或： 即： 讨论：上述公式为一般公式，虽然有圆轴为例推导而得到，但适用用于轴，非圆轴的扭、弯，拉〔压〕组合。只要应力状态如图示均可用。⑤圆轴扭弯组合的简化计算式中可以校核，也可以设计截面尺寸。Example图示传动轴，传递功率p=7.5kw,轴的转速n=100r/min,AB为皮带轮，A轮上的皮带为水平，B轮上的皮带为铅直，假设两轮的直径为600mm，那么，F2=1500N，轴材料的许用应力试按第三强度理论计算轴的直径。Solution:①外力计算：②载荷简化及计算简图FczFcz=3.6kNFDzFCD=1.8kNFcyFcy=1.2kNFDyFDy=6.52kN③作弯矩图，扭矩图，确定危险截面B截面： ∵ ∴ 第九章压杆稳定§9.1压杆稳定的概念§9.2两端铰支细长压杆的临界压力§9.3其它支座条件下细长压杆的临界压力§9.4欧拉公式的适用范围，经验公式§9.5压杆的稳定校核§9.6提高压杆稳定性的措施1.引言强度——构件抵抗破坏〔塑性变形或断裂〕之能力①刚度——构件抵抗变形的能力稳定性——构件保持原有平衡形态的能力稳定状态②平衡不稳定状态随意状态③失稳：构件从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的现象称为失稳。2．实例①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。3．稳定研究开展简史早在18得到应用。19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。例如：19世纪末，瑞士的?孟希太因?大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定理论。从此稳定问题才在工程中得到高度重视。§9.1压杆稳定的概念1．工程实例〔1〕内燃机配气机构中的握杆，当推动摇臂翻开气阀时就受压力作用。〔2〕磨床液压装置的活塞杆，当驱开工作台移动时受到压力作用。〔3〕空气压缩机，蒸汽机的连杆。〔4〕桁架结构的某些杆件。〔5〕建筑物中的柱。2．压杆分类3．压杆失稳：压杆由直线形状的稳定平衡而过渡到曲线平衡称为失稳或者屈曲。4．两端铰支细长压杆稳定性讨论5．临界压力：当压力到达临界值时，压杆将由直线平衡形态转变为曲线平衡形态。可以认为，使压杆保持微小弯曲平衡的最小压力即为临界压力。§9.2两端铰支细长压杆的临界压力1．设两端为球铰的细长压杆处于微弯平衡。选取坐标系如图示。距原点为x的任意截面的挠度为w，弯矩的绝对值为Fw，假设取压力F的绝对值，那么w为正时，M为负，w为负时，M为正，即M与wM=-Fw∴ 引入 那么 微分方程的通解为w=Asinkx+BcoskxA、B为积分常数，由边界条件确定。当 x=0时，w=0，那么B=0当 x=c时，w=0，那么Asinkl=0讨论：〔1〕显然A≠0，假设A=0，那么w=0，杆始终为直线，这与微弯假设前提矛盾。〔2〕故只有sinkl=0，于是kl=0，π,2π,3π……或kl=nπ〔n=0,1,2……〕故 由 那么由此可见，使曲线保持平衡时，压力为出现多值。使压杆保持微弯平衡时的最小压力即为临各压力。取n=1，那么两端铰支细长压杆的欧拉公式。2．对公式的讨论由解：W=Asinkx 那么 sin当n=1时，sin〔一个半波正弦曲线〕 当n=2时，sin〔2个半波正弦曲线〕 当n=3时，sin〔3个半波正弦曲线〕 当……当在高阶临界压力下，压杆变民成2个、3个……半波正弦曲线，其形式是稳定的，只有当中间有约束时，才能转为稳定。3．积分常数A为压杆中点的挠度由 sin当 时 w=A§9.3其它支座条件下细长压杆的临界压力1．根据实际压杆端部约束可简化为〔1〕两端铰支〔2〕一端固定，一端自由〔3〕两端固定〔4〕一端固定，一端铰支2．临界压力统一形式〔欧拉公式〕式中μ——长度因数；μl——相当长度3．实际压杆约束简化及μ可查标准。§9.4欧拉公式的适用范围经验公式1．细长压杆临界压力欧拉公式临界压力： ∵ I=I2A=i2Ai截面惯性半径或 引入 ——柔度或细长比那么 欧拉公式λ称为柔度或长细比，另一个无量钢量，集中反映了压杆的长度、约束条件、截面尺寸、形状对临界应力的影响。2．以柔度λ将压杆分类〔1〕细长杆〔大柔度杆〕〔2〕中长杆〔中柔杆〕〔3〕短杆〔小柔杆〕注意：欧拉公式仅适用细长杆临界压力和临界应力计算。①细长杆〔大柔度杆〕欧拉公式导出利用弯曲变形的微分方程，而材料服从胡克定律是微分方程的根底，因此即： 那么 此时压杆称为细长杆或大柔度杆。这就是欧拉公式的适用范围。注意：λ1——称为第一界限柔度，由公式可知它与材料性质有关。即不同的材料λ1不同。②中长杆〔中柔度杆〕假设λ<λ1，临界应力σcr会大于材料的比例极限，欧拉公式已不能适用。属于超过比例极限σp的压杆稳定问题。一般采用经验公式:直线公式和抛物线公式。直线公式：σcr=a－bλ式中a、b为与材料有关的常数P301-302。根据： 或即 或故 或 或那么 λ≥λ2可用经验公式 λ2≤λ≤λ1称为中柔杆。③小柔度杆〔短粗杆〕λ<λ2④临界应力总图综上所述，临界应力σcr随压杆柔度λ而不同，即不同的柔度，临界应力σcr应按相应的公式来计算。临界应力σcr随柔度λ变的图线称为临界应力总图。杆件性质适用范围计算公式计算公式大柔杆λ≥λ1中柔杆λ2≤λ≤λ1小柔杆λ≤λ2⑤临界压力Fcr=σcrANote：失稳是考虑杆的整体变形，局部削弱〔如螺钉孔等〕对整体变形影响很小，计算A、I时可忽略削弱的尺寸。§9.5压杆的稳定校核稳定条件：n——工作平安因数nst——稳定平安因数。nst一般高于强度平安因数，因为压杆的初曲率，压力偏心，材料不均匀和支座缺陷都严重影响压杆稳定。Examplel试计算临界压力Fcr图示结构，AB为圆杆d=80mm，A端固定，B端球铰，BC为方截面杆，边长为a=80mm两端为球铰，假设AB、BC各自独立变形，互不相影响，两杆材料均为Q235钢。E=206GPa σp=200MPa σs=235MPaSolution〔1〕AB杆：一端固定，一端铰支μ=0.7λ>λ1为大柔杆，采用欧拉公式〔2〕BC杆，两端铰支，μ=1λ1=101 λ2>λ>λ1为中柔杆，采用直线公式〔3〕比拟之后知，Fcr=924kNExample2一搓丝机连杆，尺寸如图材料为45E=210GPa，σp=240MPa，σs=400MPa，连杆受轴向压力F=120KN，假设取稳定平安因数nst=3，试校核连杆的稳定性。Noto：柱形铰连杆，连两个相互正交的平面内其约束性质是不同的。在摆动平面xoy内，连杆两端简化为铰支；在xoz平面内，连杆两端简化为固定。Solution：〔1〕在xoy平面内，两端为铰支绕Z弯曲，μ=1〔2〕在xoz平面内，两端简化为固定，绕y轴弯曲μ=0.5mm〔3〕讨论：因为λy>λz所以在xoz平面内连杆较易失稳。绕y轴易失稳。〔4〕由45查P301表9.2a=461MPa b=2.568MPa∵λz>λy>λ1故为中柔度杆采用直线公式MPakN满足稳定要求。第十章动载荷§10.1概述1.动载荷——随时间发生显著变化的载荷或者由于物件运动速度发生显著变化而使物件受载，均称为动载荷。2.动应力——物件由动载荷引起的应力称为动应力。3.实例4.胡克定律的有效性实验说明：只要动应力不超过材料的比例极限，胡克定律仍适用于动载荷下应力与变形的计算，弹性模量与静载荷下的数值相同。5.动应力问题§10.2动静法的应用静止或匀速直线运动2．牛顿第二定律〔匀加速直线运动〕引入 动载荷因数那么 3.达郎伯原理及动静法对作加速度运动的质点系，如假想地在每一个质点上加上惯性力，那么质点系上的原力系与惯性力学组成平衡力系。这样就可把动力学问题在形式上作为静力学问题来处理，这样就是动静法。4．强度条件：由于动荷因数Kd中已经包括了动载荷的影响，所以为静载下的许用应力。Example1.图示起重机的重力为W1=20kN，装在由两根N0.32a工字钢组成的梁上。今用绳索起吊W2=60kN的重物，假设在第一秒内匀加速上升2.5m,求绳子拉力及梁内最大的应力。〔考虑梁的自重〕Solution1.①重物的加速度为a∵ ∴ ②绳子的拉力kN③梁的集中载荷及自重力查表P409.N032a工字钢，理论重量为q′=52.717kNq′=52.717kg/m计算载荷集度q=(52.717)×2=1033N/m抗弯截面系数④梁的最大弯矩：kN·m⑤最大应力：Example2.求匀速旋转圆环中的动应力。设角速度为ω，横截面面积为Aρ，〔单位体积的质量kg/m3〕，环的平均直线为D，厚度为δ，〔〕，忽略轮幅影响。Analysis:①圆环中线各点的向心加速为②沿圆环中线的惯心力集度③用动静法研究半环的平衡2F2FNd=qdDFNd=④圆环中的动应力式中v=⑤强度条件：为保证圆环的强度，必须限制旋转速度。Example3.在AB轴的B端有一个质量很大的飞轮，与飞轮相比轴的质量可以忽略不计，轴的另一端装有