第18讲 相似多边形-2024年新九年级数学暑假提升讲义（北师大版 学习新知）

第18讲相似多边形模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解相似多边形和相似比的概念；2．会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形；3.掌握相似多边形的性质，能根据相似比进行相关的计算.知识点一、相似图形相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等；知识点二、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”知识点三、相似多边形相似多边形的性质：（1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似多边形的周长比等于相似比．（3）相似多边形的面积比等于相似比的平方．要点：用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况：（1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形；（2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形；（3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形.考点一：相似图形的判断例1．（23-24九年级下·全国·课后作业）下列图标中，不是相似图形的是（

）A．B． C． D．【答案】C【分析】本题考查相似图形，解题的关键是理解相似图形的定义．根据相似图形的定义判断即可．【详解】解：选项A，B，D是相似图形，选项C不是相似图形．故选：C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）下列多边形一定相似的是（

）A．两个等腰三角形 B．两个平行四边形C．两个正五边形 D．两个六边形【答案】C【分析】本题主要考查了相似图形的判定，掌握相似形的定义（如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形相似）是解题的关键．根据相似三角形的定义逐项判断即可．【详解】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A不正确；B、两个平行四边形对应角度及对应边都不一定成比例，所以不一定相似，故B不正确；C、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故C正确；D、两个正六边形相似，但是两个六边形并不一定相似，故D不正确．故选C．【变式1-2】（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）下面几对图形中，相似的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据相似图形的形状相同，进行判断即可．【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似，C选项中的两个图形形状相同，相似；故选：C．【变式1-3】（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（

）

A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁【答案】D【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可．【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形．故选D．考点二：相似多边形的性质及对应性例2.如图，四边形四边形，，．(1)___________；(2)求边的长度．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了相似多边形的性质；（1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得；（2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长．【详解】（1）解：∵四边形四边形，∴∴故答案为：（2）解：∵四边形四边形∴∵，∴解得：【变式2-1】（22-23九年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知矩形矩形，且它们的相似比是，已知，．求和的长．【答案】，【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题关键．根据相似多边形的性质求解即可得．【详解】解：∵矩形矩形，且它们的相似比是，，∵，，，解得，．【变式2-2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）如图，四边形四边形，，，，求x的值和的度数．

【答案】，．【分析】本题主要考查了相似多边形的性质．根据“相似多边的对应角相等，对应边成比例”，即可求解．【详解】解：∵，，，∴．∵四边形四边形，∴，，∴，∴．【变式2-3】（22-23九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，四边形∽四边形(1)的度数为_______，四边形与四边形的相似比为_______；(2)分别求边BC与边的长度．【答案】(1)；(2)，【分析】（1）根据相似得到对应角相等，再根据四边形内角和定理即可得到答案；（2）根据相似得到对应线段成比例即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形∽四边形，∴，，∴，相似比为：．（2）解：∵四边形∽四边形，∴，∴，．【点睛】本题考查相似图形的性质及四边形内角和定理，解题的关键是找准对应角对应边．考点三：相似多边形性质的应用例3.（23-24九年级下·全国·课后作业）在的矩形花坛四周修筑小路．(1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由；(2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由．【答案】(1)不相似，见解析(2)，见解析【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．（1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似；（2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案．【详解】（1）解：不相似，理由如下：如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似；设四周的小路的宽为x，∵，，∴，∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似；（2）解：当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似．理由如下：当矩形和矩形相似时，解得所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似．【变式3-1】（22-23九年级上·宁夏银川·期中）一个矩形的较短边长为2．(1)如图1，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求的长；(2)如图2，已知矩形的另一边长为4，剪去一个矩形后，余下的矩形与原矩形相似，求矩形的面积．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据题意可得，，根据相似多边形的性质得，据此代值计算即可；（2）根据相似多边形的性质得，然后利用比例性质求出，再利用矩形面积公式计算矩形的面积．【详解】（1）解：由题意得，，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，∴矩形与矩形相似，∴，∴，即，∴；（2）解：∵矩形与原矩形相似，∴，∵，，∴，∴矩形的面积．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比．【变式3-2】（22-23九年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形．(1)若原矩形的长，宽．问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由．(2)若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式．【答案】(1)不相似；证明过程见详解(2)【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式．【详解】（1）解：不相似．理由如下：∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵，即原矩形与每个小矩形的边不成比例，∴每个小矩形与原矩形不相似．（2）∵原矩形的长，宽，∴划分后小矩形的长为，宽为，又∵每个小矩形与原矩形相似，∴∴，即．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式．【变式3-3】（2022九年级上·浙江·专题练习）矩形纸片的边长为，动直线l分别交于E、F两点，且∶(1)若直线l是矩形的对称轴，且沿着直线l剪开后得的矩形与原矩形相似，试求的长？(2)若使，试探究：在边上是否存在点E，使剪刀沿着直线l剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况．若存在，请求出的值，并判断E点在边上位置的特殊性；若不存在，试说明理由．【答案】(1)(2)存在，或，E刚好是边的两个黄金分割点【分析】（1）先根据矩形矩形可得出两矩形的对应边成比例，再，把的值代入关系式即可得出x的值，进而可求出的值；（2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论．【详解】（1）解：∵矩形矩形，∴，又∵，可设，∴，解得：，∴；（2）解：假设存在矩形与矩形相似；则必与对应，必与对应，∴，∴，又∵∴∴，而，依据对称性考虑，必定存在当时，使矩形与矩形相似的情形，综上所述：当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中必存在与原矩形相似；且该两种情形中，E刚好是边的两个黄金分割点．【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．考点四：相似多边形性质的动态问题例4.（23-24九年级上·四川内江·期中）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去，则边的长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质“相似多边形对应边的比叫做相似比”，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，利用相似多边形的性质可发现规律，根据规律即可解决问题．【详解】∵四边形是矩形，∵按逆时针方向作矩形的相似矩形，∴矩形的边长和矩形的相似比为，∴矩形的对角线和矩形的对角线的比，∵矩形的对角线为，∴矩形的对角线，依此类推，矩形的对角线和矩形的对角线的比为，∴矩形的对角线，∴矩形的对角线，按此规律第个矩形的对角线故选：A．【变式4-1】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）四边形是一张矩形纸片，将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为．若矩形与原矩形相似，，则矩形的面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求得，进而根据矩形的面积等于矩形的面积减去2个正方形的面积，即可求解．【详解】解：，由折叠可得：，，∵矩形，∴，∴，设的长为x，则，∵矩形，∴，∵矩形与原矩形相似，∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去）∴，∴矩形的面积为故选：B．【点睛】本题考查矩形的折叠问题，相似多边形的性质，熟练掌握矩形的性质和相似多边形的性质是解题的关键．【变式4-2】（2023·安徽六安·模拟预测）将一张（）纸片，以它的一边为边长剪去一个菱形，将余下的平行四边形中，再以它的一边为边长剪去一个菱形，若剪去两个菱形后所剩下的平行四边形与原来相似，则的相邻两边与的比值是（

）A． B．C．或 D．或或【答案】C【分析】分两种情况进行讨论进而根据相似多边形的性质进行求解即可．【详解】如图，设．根据题意，，∴，∵，∴，∵剩下的平行四边形与原来相似，∴对应边成比例，分两种情况讨论：①，∴，设，分子分母同时除以，得：，解得：；②，∴，设，则：，解得：，两个答案都满足，综上：的相邻两边与的比值是或；故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的性质，相似多边形的性质．根据题意，正确的画出图形，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．【变式4-3】（2024·山东淄博·二模）如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形相似于矩形；…按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记，矩形的面积记作，…，则的值为．【答案】【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似多边形的性质，解题的关键是找出规律．根据已知和矩形的性质可分别求得，再利用相似多边形的性质可发现规律．【详解】四边形是矩形，，，按逆时针方向作矩形的相似矩形，矩形的边长和矩形的边长的比为，矩形的面积和矩形的面积的比，

，，，故答案为：.一、单选题1．（2024·四川德阳·一模）下列说法正确的是（

）A．所有的矩形都是相似形 B．对应边成比例的两个多边形相似C．对应角相等的两个多边形相似 D．有一个角等于的两个等腰三角形相似【答案】D【分析】此题主要考查了相似图形的判定，对应角相等，对应边成比例的多边形相似，缺一不可．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．【详解】解：A、对应角都相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；B、对应边成比例，但对应角不一定相等，故此选项不符合题意；C、对应角相等，但对应边的比值不一定相等，故此选项不符合题意；D、有一个角等于的两个等腰三角形相似，此角度一定是顶角，即可得出两三角形相似，故此选项符合题意；故选：D．2．（23-24九年级上·贵州毕节·期末）如图四边形四边形，，，，则（

）

A．4 B．5 C．8 D．10【答案】D【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键．根据相似多边形的性质列出对应边成比例即可求解．【详解】解：四边形四边形，，，，，，．故选：．3．（2024·贵州·一模）如图，有两个形状相同、大小不等的“中国梦”图片，依据图中标注的数据，可得x的值为（

）A．15 B．12 C．10 D．8【答案】D【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似图形的对应线段的比相等．利用相似多边形的对应边的比相等，对应角相等分析．【详解】解：这两个图形两个形状相同，即两个图形相似，则对应线段的比相等，因而，．的值是．故选：D4．（23-24九年级下·河北保定·开学考试）如图，六边形六边形，相似比为，则下列结论正确的是（

）A．B．六边形的周长六边形的周长C．D．【答案】A【分析】本题考查相似多边形的性质．根据相似多边形的性质对各选项进行逐一分析是解决问题的关键．【详解】解：∵六边形六边形，相似比为，∴，即，故A正确；六边形的周长六边形的周长，故B错误；，故C错误；，即：，故D错误；故选：A．5．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可．【详解】解：在矩形中，设，则，，由翻折得，四边形是正方形，同理，四边形是正方形，，，矩形矩形，，即，解得：（负值舍去），经检验，是原方程的解，故选：C．二、填空题6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，四边形四边形，，，，则的度数为．【答案】【分析】本题考查了相似多边形的性质；根据相似多边形的对应角相等得出，再根据四边形内角和即可求解．【详解】解：∵四边形四边形，，∴，∴故答案为：．7．（2023九年级上·浙江·专题练习）如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是．【答案】【分析】本题主要考查了相似图形的相似比、勾股定理，设方格的边长为1，由勾股定理可得，，从而即可求解，掌握相似比的定义是解题的关键．【详解】解：设方格的边长为1，则，，五边形五边形，∴五边形与五边形的相似比是为，故答案为：．8．（23-24九年级上·浙江宁波·阶段练习）.已知矩形相似于矩形，且相似比为2，若，，那么矩形的周长是．【答案】【分析】本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．根据相似多边形周长的比等于相似比可求．【详解】解：∵矩形矩形，∴相似多边形的周长之比相似比，又∵矩形的周长为，∴矩形的周长为．故答案为：．9．（23-24九年级上·四川巴中·期末）如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则．【答案】【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】，设，则，，四边形与矩形相似，，则，解得，（不合题意舍去），经检验是原方程的解．故答案为：．10．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，．将矩形分成矩形和矩形．

（1）若矩形与矩形相似，则的长是；（2）若矩形与矩形相似（两矩形全等的情况除外），则的长是．【答案】2或8【分析】本题考查了矩形的性质，相似多边形的性质．根据相似写出比例关系是解题的关键．（1）由矩形的性质可知，，设，则，由矩形与矩形相似，分当时，当时，两种情况求出满足要求的解即可；（2）由矩形与矩形相似，可知，即，计算求出满足的解即可．【详解】（1）解：∵矩形，∴，，设，则，∵矩形与矩形相似，∴当时，即，解得（舍去）；当时，即，解得；综上，，故答案为：；（2）解：∵矩形与矩形相似，∴，即，整理得，，解得或，∴的值为2或8；故答案为：2或8．三、解答题11．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，四边形四边形．(1)，它们的相似比是；(2)求边，的长度．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据相似多边形的性质进行求解即可；（2）根据相似多边形的性质进行求解即可．【详解】（1）解：∵四边形四边形．∴，∴，∵