沪科版初中九年级数学上册专项素养巩固训练卷(二)抛物线背景下的线段、面积的最值问题练课件

专项素养巩固训练卷(二)抛物线背景下的线段、面积的最值问题(练题型)类型一线段的最值问题1.(2023四川资阳中考节选,24,★★☆)如图,直线y=

x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,抛物线y=-

x2+bx+c经过A、B两点.

(1)求抛物线的表达式;(2)点D是抛物线上位于第二象限内的点,过点D作x轴的平行线与直线AB交于点

C,求DC的长的最大值.

对应目标编号M9121002解析

(1)∵直线y=

x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点,∴A(-4,0),B(0,3),∵抛物线y=-

x2+bx+c经过A、B两点,∴

解得

∴y=-

x2-

x+3.(2)设D

,∵DC∥x轴,与直线AB交于点C,∴

x+3=-

m2-

m+3,解得x=-m2-3m,∴C

,∴DC=-m2-3m-m=-m2-4m=-(m+2)2+4,∴当m=-2时,DC的值最大,则DC的长的最大值为4.方法归纳

直接构造二次函数求线段最值当要求最值的线段平行于坐标轴时,常通过设点的坐标,表示出线段长,化简

后得到一个二次函数,利用二次函数的最值求出线段的最值.2.[最短距离问题](★★★)如图,已知抛物线y=-

(x-k)2+h经过点A(-1,0),且对称轴为直线x=

.

(1)求抛物线的表达式.(2)若C(m,m-1)是抛物线上位于第一象限内的点,D是线段AB上的一个动点(不与

A、B重合),过点D分别作DE∥BC交AC于E,DF∥AC交BC于F.①求点C的坐标.②求证:四边形DECF是矩形.③连接EF,线段EF的长是否存在最小值?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请

说明理由.对应目标编号M9121002解析

(1)∵抛物线y=-

(x-k)2+h经过点A(-1,0),且对称轴为直线x=

,∴

解得

∴y=-

+

=-

x2+

x+2,∴抛物线的表达式为y=-

x2+

x+2.(2)①把C(m,m-1)代入y=-

x2+

x+2,得m-1=-

m2+

m+2,解得m=3或m=-2,∵C是位于第一象限内的点,∴点C的坐标为(3,2).②证明:在y=-

x2+

x+2中,令y=0,得0=-

x2+

x+2,解得x=-1或x=4,∴A(-1,0)、B(4,0),∵C(3,2),∴AB2=(-1-4)2=25,AC2=(-1-3)2+(0-2)2=20,BC2=(4-3)2+(0-2)2=5,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,又∵DE∥BC,DF∥AC,∴四边形DECF是矩形.③线段EF的长存在最小值.连接CD,如图.

∵四边形DECF是矩形,∴EF=CD,当CD⊥AB时,CD的值最小,∵C(3,2),∴CD的最小值为2,∴EF的最小值是2.类型二线段和的最值问题3.[将军饮马模型](2023湖南张家界中考节选,23,★★☆)如图,在平面直角坐标

系中,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于

点C(0,6),点D为线段BC上的一动点.

(1)求二次函数的表达式;(2)如图,求△AOD周长的最小值.

对应目标编号M9121002解析

(1)由题意可设抛物线的表达式为y=a(x+2)(x-6),将(0,6)代入上式,得6=a(0+2)(0-6),解得a=-

.∴抛物线的表达式为y=-

(x+2)(x-6)=-

x2+2x+6.(2)如图,作点O关于直线BC的对称点E,连接EC、EB,∵B(6,0),C(0,6),∠BOC=90°,∴OB=OC=6,∵O、E关于直线BC对称,∴OC=CE=EB=OB,∴四边形OBEC为正方形,∴E(6,6),连接AE,交BC于点D,连接OD,由对称性可得DE=DO,此时DO+DA的值最小,为AE的长,易得AE=

=

=10,∵△AOD的周长为DA+DO+AO,AO=2,DA+DO的最小值为10,∴△AOD的周长的最小值为10+2=12.4.(2023宁夏中考,25,★★★)如图,抛物线y=ax2+bx+3(a≠

0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.已知点A的坐标是(-1,0),抛物线的对称轴是

直线x=1.

(1)直接写出点B的坐标;(2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标和PA+PC的最小值;(3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,连接BC交MN

于点Q,依题意补全图形,当MQ+

CQ的值最大时,求点M的坐标.

学科素养抽象能力对应目标编号M9121002解析

(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴是直线x=1,∴-

=1,∴b=-2a①.∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A,B两点,点A的坐标是(-1,0),∴a-b+3=0②.联立①②得

解得

∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+3,令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x=3或x=-1,∴点B的坐标为(3,0).(2)如图1,连接BC,线段BC与直线x=1的交点即为满足条件的点P,此时PA+PC的值最小,设直线CB的表达式为y=kx+b',把C(0,3)和B(3,0)代入,得

解得

∴直线CB的表达式为y=-x+3,当x=1时,y=2,∴P(1,2),∵OB=OC=3,∴在Rt△BOC中,BC=3

,∵点A,B关于直线x=1对称,∴PA=PB,∴PA+PC=PB+PC=BC=3

.

(3)补全图形如图2所示,由(1)知抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,由(2)知yBC=-x+3,设M(t,-t2+2t+3),则Q(t,-t+3),∴MQ=-t2+3t,过点Q作QD⊥OC,垂足为D,则△CDQ是等腰直角三角形,∴CQ=

t,∴MQ+

CQ=-t2+3t+2t=-t2+5t=-

+

,∴当t=

时,MQ+

CQ有最大值,此时点M的坐标为

.

类型三线段差的最值问题5.(2022湖南常德中考,25,★★★)如图,已知抛物线过点O(0,0),A(5,5),且它的对称轴为直线x=2,点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限.(1)求此抛物线的表达式;(2)当△OAB的面积为15时,求点B的坐标;(3)在(2)的条件下,P是抛物线上的动点,当PA-PB的值最大时,求点P的坐标以及

PA-PB的最大值.

对应目标编号M9121002解析

(1)∵抛物线过点O(0,0),它的对称轴为x=2,∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4,0),设抛物线的表达式为y=ax(x-4),把A(5,5)代入,得5a=5,解得a=1,∴y=x(x-4)=x2-4x,故此抛物线的表达式为y=x2-4x.(2)∵点B是抛物线对称轴上的一点,且点B在第一象限,∴设B(2,m)(m>0),设直线OA的表达式为y=kx,则5k=5,解得k=1,∴直线OA的表达式为y=x,如图1,设直线OA与抛物线对称轴交于点H,则H(2,2),∴BH=|m-2|,∵S△OAB=15,∴

×|m-2|×5=15,解得m=8或m=-4(舍).∴点B的坐标为(2,8).

(3)设直线AB的表达式为y=cx+d,把A(5,5),B(2,8)代入,得

解得

∴直线AB的表达式为y=-x+10,如图2,当PA-PB的值最大时,A、B、P在同一条直线上(点P不与点A重合),∵P是抛物线上的动点,∴当PA-PB的值最大时,点P为直线AB与抛物线的另一个交点,∴

解得

或

(舍去),∴P(-2,12),此时PA-PB=AB=

=3

.类型四面积的最值问题6.(2024安徽淮北月考,23,★★★)已知抛物线与x轴相交

于A,B两点,与y轴相交于点C(0,6),顶点为D(2,8).

(1)求此抛物线的表达式;(2)如图①,点P为抛物线对称轴(直线l)上的动点,求当|PB-PC|取得最小值时点P

的坐标;(3)如图②,在第一象限内,抛物线上有一动点M,求△BCM面积的最大值.

学科素养抽象能力对应目标编号M9121002解析

(1)∵抛物线的顶点为D(2,8),∴可设其表达式为y=a(x-2)2+8,代入点C(0,6),得a(0-2)2+8=6,解得a=-

,∴抛物线的表达式为y=-

(x-2)2+8.(2)当y=0时,-

(x-2)2+8=0,解得x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0),∵点P为抛物线对称轴上的动点,∴可设P(2,m),∴当PB=PC时,|PB-PC|取得最小值,为0,过点P作PE⊥y轴于点E(图略),则PC2=(6-m)2+22,PB2=m2+42,∴m2+42=(6-m)2+22,解得m=2,∴点P的坐标为(2,2).(3)如图,连接OM,设点M的横坐标为t,则