沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(七)解双直角三角形应用的四种模型课件

专项素养综合全练(七)

解双直角三角形应用的四种模型模型一“背靠背”型1.(2022湖北襄阳中考)位于岘山的革命烈士纪念塔是襄阳市

的标志性建筑,是为纪念“襄樊战役”中牺牲的革命烈士及

第一、第二次国内革命战争时期为襄阳的解放事业献身的

革命烈士而兴建的,某校数学兴趣小组利用无人机测量烈士

塔的高度.如图,无人机在点A处测得烈士塔顶部点B的仰角

为45°,烈士塔底部点C的俯角为61°,无人机与烈士塔的水平

距离AD为10m,求烈士塔的高度.(结果保留整数.参考数据:sin61°≈0.87,cos61°≈0.48,tan61°≈1.80)解析由题意得,∠BAD=45°,∠DAC=61°,在Rt△ABD中,∠BAD=∠ABD=45°,AD=10m,∴BD=AD=10m,在Rt△ACD中,∠DAC=61°,tan61°=

=

≈1.80,解得CD≈18,∴BC=BD+CD=10+18=28(m).∴烈士塔的高度约为28m.2.(2020江苏南京中考)如图,在港口A处的正东方向有两个相

距6km的观测点B、C.一艘轮船从A处出发,沿北偏东26°方

向航行至D处,在B、C处分别测得∠ABD=45°、∠C=37°.求

轮船航行的距离AD.(参考数据:sin26°≈0.44,cos26°≈0.90,

tan26°≈0.49,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)解析如图,过点D作DH⊥AC于点H,在Rt△DCH中,∠C=37°,∴CH=

.在Rt△DBH中,∠DBH=45°,∴BH=

.∵BC=CH-BH,∴

-

=6,解得DH≈18km.在Rt△DAH中,∠ADH=26°,∴AD=

≈20km.答:轮船航行的距离AD约为20km.模型二“母抱子”型3.(2023安徽六安霍邱期末)如图,某座山AB的顶部有一座通

讯塔BC,且点A,B,C在同一条直线上,从地面点P处测得塔顶C

的仰角为42°,测得塔底B的仰角为35°,已知通讯塔BC的高度

为32m,求这座山AB的高.(结果取整数,参考数据:tan35°≈0.70,tan42°≈0.90)解析设AP=x米,∴AB=AP·tan35°≈0.7x(米),∵BC=32米,∴AC=AB+BC=(0.7x

+32)米,∴tan42°=

=

≈0.9,∴x≈160,∴AB=0.7x=112(米),∴这座山AB的高度约为112米.4.(2023湖北随州中考)某校学生开展综合实践活动,测量某

建筑物的高度AB,在建筑物附近有一斜坡,坡长CD=10米,坡

角α=30°,小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°,在D处测

得建筑物顶端A的仰角为30°.(已知点A,B,C,D在同一平面内,

B,C在同一水平线上)(1)求点D到地面BC的距离;(2)求该建筑物的高度AB.解析

(1)如图,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,∵cosα=

=

=cos30°=

,∴CE=5

(m),∴DE=

=5(m).∴点D到地面BC的距离为5m.(2)如图,过点D作DF⊥AB于点F,则BF=DE=5m,设BC=xm,则BE=DF=(5

+x)m,在Rt△ABC中,tan60°=

=

=

,解得AB=

xm,∴AF=(

x-5)m,在Rt△ADF中,tan30°=

=

=

,解得x=5

,∴AB=

×5

=15(m).∴该建筑物的高度AB为15m.模型三“拥抱”型5.(2020四川眉山中考)某数学兴趣小组去测量一座小山的高

度,在小山顶上有一高度为20米的发射塔AB,如图所示.在山

脚平地上的D处测得塔底B的仰角为30°,向小山前进80米到

达点E处,测得塔顶A的仰角为60°,求小山BC的高度.

解析设BC为x米,则AC=(20+x)米,由题意得,∠DBC=∠AEC=60°,DE=80米.在直角△DBC中,tan60°=

=

,则DC=

x米.∴CE=(

x-80)米.在直角△ACE中,tan60°=

=

=

.解得x=10+40

.答:小山BC的高度为(10+40

)米.6.(2023江苏南京中考)如图,为了测量无人机的飞行高度,在

水平地面上选择观测点A,B.无人机悬停在C处,此时在A处测

得C的仰角为36°52';无人机垂直上升5m悬停在D处,此时在B

处测得D的仰角为63°26'.AB=10m,点A,B,C,D在同一平面内,

A,B两点在CD的同侧.求无人机在C处时离地面的高度.(参考数据:tan36°52'≈0.75,tan63°26'≈2.00)解析延长DC交AB的延长线于点E,如图.由题意,得DE⊥AB,CD=5m,设BE=xm,∵AB=10m,∴AE=AB+BE=(10+x)m.在Rt△ACE中,∠CAE=36°52',∴CE=AE·tan36°52'≈0.75(10+x)m.在Rt△BDE中,∠

DBE=63°26',∴DE=BE·tan63°26'≈2x(m).∵DC+CE=DE,∴5+0.75(10+x)=2x,解得x=10,∴CE=0.75(10+x)=15(m),∴无人机在C处时离地面的高度约为15m.模型四“牵手”型7.(2023安徽合肥庐江二模)为响应新型城镇化战略,助力乡

村振兴,某县计划在乡镇之间增设燃气管道.如图,同一平面

上的四个点A,B,C,D为该县四个乡镇的中心点,A,C两个乡镇

之间已铺设燃气主管道AC,其长为27千米.计划在B,D两个乡

镇之间再铺设燃气主管道BD.已知AB∥CD,∠ACD=53.2°,∠

BDC=26.6°.求BD的长.(结果保留整数,参考数据:sin53.2°≈

0.80,tan53.2°≈1.34,sin26.6°≈0.45,tan26.6°≈0.50)

解析过A作AE⊥CD,垂足为E,过点B作BF⊥CD,交DC的延

长线于点F,如图,

∴∠BFE=∠AED=90°,∴BF∥AE,∵AB∥CD,∴四边形AEFB

是平行四边形,∴AE=BF,在Rt△ACE中,AC=27千米,∠ACD=53.2°,∴AE=AC·sin∠ACD≈27×0.8=21.6(千米),∴BF=AE=21.6千米,在Rt△BDF中,∠BDC=26.6°,∴BD=

≈

=48(千米).答:BD的长约为48千米.8.(2020山东聊城中考)如图,小莹在数学综合实践活动中,利

用所学的数学知识对某小区居民楼AB的高度进行测量,先测

得居民楼AB与CD之间的距离AC为35m,后站在M点处测得

居民楼CD的顶端D的仰角为45°,居民楼AB的顶端B的仰角为

55°,已知居民楼CD的高度为16.6m,小莹的观测点N距地面1.

6m.求居民楼AB的高度(精确到1m).(参考数据:sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43)解析过点N作EF∥AC交AB于点E,交CD于点F,如图,则AE=MN=CF=1.6m,EF=AC=35m,∠BEN=∠DFN=90°,EN=

AM,NF=MC,则DF=DC-CF=16.6-1.6=15(m).在Rt△