沪科版初中九年级数学上册专项素养综合练(六)函数与相似综合题课件

专项素养综合全练(六)

函数与相似综合题类型一反比例函数与相似结合1.(2024安徽安庆潜山期中)如图,直线y=-x-4分别交x轴、y轴

于点C,D,点P为反比例函数y=

(k>0)在第一象限内的图象上的一点,过点P分别作x轴、y轴的垂线交直线CD于点A,B,且

∠AOB=135°,则下列结论错误的是

(

)A.△AOD与△OBC相似B.BP=APC.BC·AD=16D.k=9D解析如图,过B作BF⊥x轴于点F,过A作AE⊥y轴于点E.在

一次函数y=-x-4中,令x=0,则y=-4;令y=0,则x=-4,∴OC=OD=

4,∴∠OCD=∠ODC=45°,∴∠OCB=∠ODA=135°,∠BCF=∠ADE=45°,∴△COD,△BFC和△ADE都是等腰直

角三角形,∴BC=

BF,AD=

AE.∵∠AOB=135°,∴∠OBC+∠BAO=45°.又∵∠OBC+∠BOC=45°,∴∠BAO=∠BOC,

∴△AOD∽△OBC,故选项A正确,不符合题意;∵△BFC和△

ADE都是等腰直角三角形,∴∠CBF=∠DAE=45°,∴∠PBC=

∠PAB=45°,∴BP=AP,故选项B正确,不符合题意;∵△AOD

∽△OBC,∴

=

,即AD·BC=OC·OD=16,故选项C正确,不符合题意;设P(m,n),则k=mn,BC=

BF=

n,AD=

AE=

m,∴

m×

n=16,即mn=8=k,故选项D错误,符合题意.2.(2023江苏镇江中考)如图,正比例函数y=-3x与反比例函数y

=

(k≠0)的图象交于A、B(1,m)两点,C点在x轴负半轴上,∠ACO=45°.(1)m=

,k=

,点C的坐标为

;(2)点P在x轴上,若以B、O、P为顶点的三角形与△AOC相

似,求点P的坐标.解析

(1)当x=1时,y=-3x=-3=m,即点B(1,-3),将点B的坐标代

入反比例函数的表达式,得k=-3×1=-3,即反比例函数的表达式为y=-

,联立得

解得

或

∴点A(-1,3),如图,过点A作AH⊥x轴于点H,∵A点坐标为(-1,3),∴AH=3,

OH=1,∵∠ACO=45°,∴CH=AH=3,则CO=CH+OH=4,则点C

的坐标为(-4,0).(2)当点P在x轴的负半轴上时,∵∠BOP>90°>∠AOC,∠BOP>∠ACO,∠BOP>∠CAO,∴△BOP和△AOC不可能相似;当点P在x轴的正半轴上时,∠AOC=∠BOP,若△AOC∽△BOP,则

=

=1,则OP=OC=4,即点P(4,0);若△AOC∽△POB,则

=

,由(1)知AO=

=

,同理可得OB=

,即

=

,解得OP=2.5,即点P(2.5,0).综上,点P的坐标为(4,0)或(2.5,0).类型二二次函数与相似结合3.(新考向·新定义试题)给出定义:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与

x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,连接AC、CB,若满足△A-

CO∽△CBO,则称这样的抛物线为“相似抛物线”,如图,二

次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象是“相似抛物线”,且AC=2

,则此抛物线的对称轴为

.直线x=-1.5解析在y=ax2+bx+2中,令x=0,则y=2,∴C(0,2),∴OC=2.∵△

ACO∽△CBO,AC=2

,∴

=

=

,即

=

=

,设OB=x,则BC=

x,∵∠BOC=90°,∴OB2+OC2=BC2,即x2+22=(

x)2,∴x=1,∴OB=1,∴B(1,0),OA=

=4,∴A(-4,0),∴此抛物线的对称轴为直线x=

=-1.5.4.(2024陕西西安临潼期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a<0)

的图象与x轴交于A(-1,0),B两点,与y轴交于点C,已知OB=3

OA,OC=OB.(1)求该二次函数的表达式;(2)连接AC,P为第一象限内抛物线上一点,过点P作PD⊥x轴,

垂足为D,连接PA,若△PDA与△COA相似,请求出满足条件

的P点坐标;若没有满足条件的P点,请说明理由.解析

(1)∵A(-1,0),∴OA=1.∵OB=3OA,OC=OB,∴OB=OC

=3.∴B(3,0),C(0,3),∵二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象经过点A,B,C,∴

,解得

∴该二次函数的表达式为y=-x2+2x+3.(2)设P(m,-m2+2m+3),∵PD⊥x轴,P为第一象限内抛物线上一点,∴0<m<3,OD=m,PD=-m2+2m+3,∴AD=OA+OD=m+1,∵△PDA与△COA相似,∴

=

或

=