2025苏科版高一数学必修一第2章 2.1　命题、定理、定义新高一暑假自学课堂第2章 2.1　命题、定理、定义含答案

2025苏科版高一数学必修一第2章2.1命题、定理、定义新高一暑假自学课堂2.1命题、定理、定义1．理解命题的概念，能判断给定的语句是不是命题．(重点)2．掌握判断命题真假的方法，能判断命题的真假．(难点、易错点)3．了解定理和定义与命题的关系，会用定理和定义解题．(重点)4．理解命题的结构，会分析命题的条件和结论，能把命题改写成“若p，则q”的形式．(重点)1．借助命题的概念及应用，提升数学抽象素养．2．借助命题真假的判定、定理与定义的应用，培养逻辑推理素养．在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题，一方面，数学中的定义、定理属于命题吗？它们有什么共同的结构？它们都是真命题吗？另一方面，初中平面几何中推理论证的基础是什么？知识点1命题的定义与分类(1)命题的定义：在数学中，可判断真假的陈述句叫作命题．(2)命题定义中的两个要点：“可判断真假”和“陈述句”．(3)分类：命题eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(真命题：判断为真的语句,假命题：判断为假的语句))1．(1)“x－1＝0”是命题吗？(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？[提示](1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．一般地，疑问句、祈使句、感叹句、开语句都不是命题．如今天的作业完成了吗？请勿吸烟等．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)语句“陈述句都是命题”不是命题． ()(2)命题“实数的平方是非负数”是真命题． ()[答案](1)×(2)√知识点2命题的结构及定理、定义1．命题的结构(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论．(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．2．命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？[提示]条件是：“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．2．把命题“矩形的对角线相等”改写成“若p则q”的形式为_____．[答案]若一个四边形是矩形，则它的对角线相等2．定理与定义在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据直接使用，一般称之为定理．在数学中的定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．(1)数学中的定理、推论和数学中定义都是命题．(2)数学中的定义既可以用于对某些对象的判断，也可以作为某类对象所具有的性质．类型1命题的判断【例1】(1)下列语句为命题的是()A．x2－1＝0B．2＋3＝8C．你会说英语吗？D．这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________．①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22022是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′．(1)B(2)①④[(1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．]判断语句是命题的关键点(1)该语句必须是陈述句；(2)该语句可以判断真假．提醒：对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围看能否判断其真假，若能，就是命题，若不能，就不是命题．eq\o([跟进训练])1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．(1)函数y＝x2－2x(x∈R)是二次函数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？(5)一个数不是奇数就是偶数；(6)2030年6月1日上海会下雨．[解](1)是命题，满足二次函数的定义．(2)不是命题，不能判断真假．(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．(4)疑问句，不是命题．(5)是命题，能判断真假．(6)不是命题，不能判断真假．类型2命题的构成【例2】(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧．若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是________，q是________．(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式．①函数y＝2x＋1是一次函数；②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0．(1)一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧[命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．](2)[解]①若函数的解析式为y＝2x＋1，则这个函数是一次函数．②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2．③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0．1．若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中．2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．eq\o([跟进训练])2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．(1)当eq\f(1,a)>eq\f(1,b)时，a<b；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；(3)同弧所对的圆周角不相等．[解](1)若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<b．(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行．(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．类型3命题真假的判断【例3】判断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1<0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0；(4)一个奇数是两个整数的平方差．[解](1)是真命题，由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题，x＝4不满足2x＋1<0．(3)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0．(4)是真命题，因为当n∈Z时，任意奇数2n－1＝n2－(n－1)2，所以一个奇数是两个整数的平方差．命题真假的判定方法1真命题的判断方法,要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证.2假命题的判断方法,通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.eq\o([跟进训练])3．判断下列命题的真假：(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；(2)若x∈N，则x3>x2成立；(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；(4)存在一个三角形没有外接圆．[解](1)假命题．反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2．(2)假命题．反例：当x＝0时，x3>x2不成立．(3)真命题．∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，∴方程x2－2x＋m＝0无实数根．(4)假命题．因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆．类型4数学中的新定义【例4】对于a，b∈N*，规定a*b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b，a与b的奇偶性相同，,a×b，a与b的奇偶性不同，))集合M＝{(a，b)|a*b＝12，a，b∈N*}，则M中元素的个数为()A．6 B．8C．15 D．16[思路点拨]本题新定义两个正整数的新运算，利用新定义解方程a*b＝12，a，b∈N*，分a，b奇偶性相同和a，b奇偶性不同进行分类讨论即可．C[分a，b奇偶性相同和奇偶性不同两种情况讨论．如果a，b奇偶性相同，满足条件的有1＋11＝2＋10＝3＋9＝…＝6＋6＝…＝9＋3＝10＋2＝11＋1，共11种情况，即有11组(a，b)符合M中元素的要求；如果a，b奇偶性不同，则满足条件的有1×12＝3×4＝4×3＝12×1，共4种情况，即有4组(a，b)符合M中元素的要求．综上，M中元素的个数为11＋4＝15．故选C．]数学中的定义在解题中得应用还很多，它是数学理论的基础，是进行判断、推理、论证的重要依据.在解题中充分利用定义，有时会收到事半功倍的效果.数学定义的应用蕴涵着极其丰富的内涵，深刻理解定义，可抓住问题的实质，从而找到解决问题的有效途径.本题中新定义的运算，是以正整数的奇偶作为分类的基准，就是本题解相关方程的依据.eq\o([跟进训练])4．设集合S＝{r1，r2，…，rn}⊆{1,2,3，…，32}，又S中任意两数之和不能被5整除，则n的最大值为________．15[一个数能被5整除，可以用5k表示，k∈Z．两数之和被5整除，我们需要分析一下每个数被5除后的余数，如果两个余数之和能被5整除，则两数之和就能被5整除，否则不能．比如1和9,2和8,3和7,4和6，余数分别是1和4,2和3,3和2,4和1，按此原则，把1～32这32个数字进行归类．集合S的元素从1～32中选取，我们将这32个数字分入以下5个集合；S0＝{5,10,15,20,25,30}，S0中的元素共6个，都能被5整除；S1＝{1,6,11,16,21,26,31}，S1中的元素共7个，都被5除余1；S2＝{2,7,12,17,22,27,32}，S2中的元素共7个，都被5除余2；S3＝{3,8,13,18,23,28}，S3中的元素共6个，都被5除余3；S4＝{4,9,14,19,24,29}，S4中的元素共6个，都被5除余4．S0中的元素都能被5整除，因此S0中只能选1个数字；S1中的元素，两两相加都不能被5整除；同理，S2，S3中，同组内两两相加都不能被5整除，因此可以整组挑选．但S1与S4中各任选一个元素相加，必定能被5整除，因此只能选一组，S1中7个元素，比S4更多，选S1；同理，S2与S3也只能选1组，S2的元素比S3多，因此最多的取法是S0中选1个元素，S1整组7个，S2整组7个，共1＋7＋7＝15．故n的最大值为15．]1．下列语句为真命题的是()A．a>bB．四条边都相等的四边形为矩形C．1＋2＝3D．今天是星期天C[A、D不是命题，B为假命题，C为真命题．]2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是()A．这个四边形的对角线互相平分B．这个四边形的对角线互相垂直C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直D．这个四边形是平行四边形C[把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C．]3．下列命题是真命题的为()A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若b2＝ac，则b2>a或b2>cC．若|x|<y，则x2<y2D．若a＝b，则eq\r(a)＝eq\r(b)C[对于A，若a＝1，b＝－2，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故A是假命题．对于B，当a＝b＝0，c＝1时，满足b2＝ac，但b2>a或b2>c不成立，故B是假命题．对于C，因为y>|x|≥0，则x2<y2是真命题．对于D，当a＝b＝－2时，eq\r(a)与eq\r(b)没有意义，故D是假命题．]4．命题“对顶角相等”中的条件为________，结论为________．[答案]两个角是对顶角它们相等5．菱形的对角线互相垂直的真假性为________(用“真”“假”填空)．[答案]真回顾本节知识，自我完成以下问题．1．什么是命题？命题的构成方式是怎样的？它们之间有怎样的关系？[提示]可以判断真假的陈述句为命题；命题由条件与结论构成．它们之间是因果关系．2．含有大前提的命题怎样写成“若p则q”的形式？[提示]大前提应保持不变，且不写在条件p中．课时分层作业(六)命题、定理、定义一、选择题1．(多选题)下列语句中不是命题的是()A．6>3 B．x>0C．对于x∈R，总有x2>0 D．x2＋y2＝0BD[A为命题，B不能判断真假不是命题，D不能判断真假故不是命题，C为命题．]2．下列命题为假命题的是()A．若x>1，则x2>1B．若|a|＝|b|，则a＝bC．若ac2>bc2，则a>bD．若A＝60°，则cosA＝eq\f(1,2)B[因为|a|＝|b|，所以a＝b或a＝－b．故选B．]3．命题“垂直于同一条直线的两条直线平行”的条件是()A．两条直线B．一条直线C．垂直D．两条直线垂直于同一条直线D[命题的条件是“两条直线垂直于同一条直线”．故选D．]4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为()①M中的元素都不是P的元素；②M中有不属于P的元素；③M中有属于P的元素；④M中的元素不都是P的元素．A．1B．2C．3 D．4B[因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，因此M中有不属于P的元素，也可能有属于P的元素，故②④正确，故选B．]5．(多选题)下列命题是假命题的为()A．若eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x2＋y2＞0，则x＋y＞0D．若x<y，则x2<y2BCD[由eq\f(1,x)＝eq\f(1,y)得x＝y；而由x2＝1得x＝±1；由于x＝y＝－1时，x2＋y2＞0，但x＋y＜0；而由x<y不一定得到x2<y2，故选BCD．]二、填空题6．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数；②四条边相等的四边形是正方形；③平形四边形是梯形，其中真命题的序号是________．①[②中四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形．③中平行四边形不是梯形．①正确．]7．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．(－∞，0)∪(0,1)[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0，,Δ＝4－4a>0，))解得a<1，且a≠0．]8．指出下列命题的条件和结论：(1)若整数a能被2整除，则a是偶数．条件p：_____________________________________________，结论q：_____________________________________________．(2)若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直平分．条件p：___________________________________________，结论q：_____________________________________________．(1)整数a能被2整除a是偶数(2)四边形是菱形对角线互相垂直平分[(1)如果整数a能被2整除，那么a是偶数，故条件p：整数a能被2整除，结论q：a是偶数．(2)如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直平分，故条件p：四边形是菱形，结论q：对角线互相垂直平分．]三、解答题9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)当ac>bc时，a>b；(2)面积相等的两个三角形全等；(3)当ab＝0时，a＝0或b＝0．[解](1)若ac>bc，则a>b．假命题．(2)若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等．假命题．(3)若ab＝0，则a＝0或b＝0．真命题．10．命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．[解]因为ax2－2ax－3>0不成立，所以ax2－2ax－3≤0恒成立．(1)当a＝0时，－3≤0成立；(2)当a≠0时，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ≤0，))解得－3≤a<0．由(1)(2)得a的取值范围为[－3,0]．11．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是()A．红豆生南国 B．春来发几枝C．愿君多采撷 D．此物最相思A[“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A．]12．(多选题)给出命题“方程x2＋ax＋2＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的可能取