自测（2）《第9章 复数》章节测试-沪教版高一《数学》核心考点题型方法与技巧（解析版）

第第页PAGE【解析版】自测（2）《第9章复数》章节测试（60分钟）一、填空题（共10小题，每小题4分，满分40分）1、若z＝eq\f(i2023,1－i)，则|z＋eq\x\to(z)＝____________【答案】1【解析】z＝eq\f(i2023,1－i)＝eq\f(－i,1－i)＝eq\f(1－i,2)，z＋eq\x\to(z)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i＝1.2、已知eq\f(x,1＋i)＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为【答案】2－i【解析】由eq\f(x,1＋i)＝1－yi，得eq\f(x(1－i),(1＋i)(1－i))＝1－yi，即eq\f(x,2)－eq\f(x,2)i＝1－yi，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＝1，,\f(x,2)＝y，))解得x＝2，y＝1，∴x＋yi＝2＋i，∴其共轭复数为2－i.3、已知z＝1－3i，则|eq\x\to(z)－i|＝________.【答案】eq\r(5)【解析】∵z＝1－3i，∴eq\x\to(z)＝1＋3i，∴eq\x\to(z)－i＝1＋3i－i＝1＋2i，∴|eq\x\to(z)－i|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).4、已知z＝2－i，则z(eq\x\to(z)＋i)等于【答案】6＋2i；【解析】因为z＝2－i，所以z(eq\x\to(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i.5、若复数z的共轭复数为eq\x\to(z)且满足eq\x\to(z)·(1＋2i)＝1－i，则复数z的虚部为【答案】eq\f(3,5)；【解析】eq\x\to(z)·(1＋2i)＝1－i，∴eq\x\to(z)＝eq\f(1－i,1＋2i)＝eq\f((1－i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq\f(－1－3i,5)＝－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i，∴z＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，∴复数z的虚部为eq\f(3,5).6、若z＝(a－eq\r(2))＋ai为纯虚数，其中a∈R，则eq\f(a＋i7,1＋ai)＝________.【答案】－i【解析】∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－\r(2)＝0，,a≠0，))∴a＝eq\r(2)，∴eq\f(a＋i7,1＋ai)＝eq\f(\r(2)－i,1＋\r(2)i)＝eq\f(\r(2)－i1－\r(2)i,1＋\r(2)i1－\r(2)i)＝eq\f(－3i,3)＝－i.7、若2－3i是方程x2－4x＋a＝0(a∈R)的一个根，则a＝________.【答案】13【解析】设方程的另外一根为x，则x＋2－3i＝4，故x＝2＋3i，a＝(2－3i)(2＋3i)＝13.8、若复数z＝i＋i2022，则eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)的模等于________.【答案】6eq\r(2)【解析】z＝i＋i2022＝i－1，eq\o(z,\s\up6(－))＋eq\f(10,z)＝1＋i＋eq\f(10,1－i)＝6＋6i，其模为6eq\r(2).9、设O是坐标原点，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i.那么向量eq\o(BA,\s\up6(→))对应的复数是________.【答案】5－5i【解析】∵向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，∴eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－3，2)，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝(5，－5)，其对应的复数是5－5i.10、设z为复数，则下列命题中正确的序号是①|z|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－))②z2＝|z|2③若|z|＝1，则|z＋i|的最大值为2④若|z－1|＝1，则0≤|z|≤2【答案】①③④；【解析】对于①，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi，∴|z|2＝a2＋b2，而z·eq\o(z,\s\up6(－))＝a2＋b2，所以|z|2＝z·eq\o(z,\s\up6(－))成立；对于②，z＝a＋bi(a，b∈R)，当ab均不为0时，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，而|z|2＝a2＋b2，所以z2＝|z|2不成立；对于③，|z|＝1可以看成以O(0，0)为圆心，1为半径的圆上的点P，|z＋i|可以看成点P到Q(0，－1)的距离，所以当P(0，1)时，可取|z＋i|的最大值2；对于④，|z－1|＝1可以看成以M(1，0)为圆心，1为半径的圆上的点N，则|z|表示点N到原点的距离，故O，N重合时，|z|＝0最小，当O，M，N三点共线时，|z|＝2最大，故0≤|z|≤2；故填①③④二、选择题（共4小题每小题4分，满分16分）11、复数eq\f(2－i,1－3i)在复平面内对应的点所在的象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【解析】eq\f(2－i,1－3i)＝eq\f((2－i)(1＋3i),10)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1＋i,2)，所以该复数在复平面内对应的点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，该点在第一象限．12、已知i是虚数单位，则“a＝i”是“a2＝－1”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】i是虚数单位，则i2＝－1，“a＝i”是“a2＝－1”的充分条件；由a2＝－1，得a＝±i，故“a＝i”是“a2＝－1”的不必要条件；故“a＝i”是“a2＝－1”的充分不必要条件．13、设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝3－i，则z1z2等于()A．－10B．10C．－8D．8【答案】A【解析】∵z1＝3－i，z1，z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，∴z2＝－3－i，∴z1z2＝－9－1＝－10.14、已知复数z满足|z－1－i|≤1，则|z|的最小值为()A．1B．eq\r(2)－1C．eq\r(2)D．eq\r(2)＋1【答案】B【解析】令z＝x＋yi(x，y∈R)，则由题意有(x－1)2＋(y－1)2≤1，∴|z|的最小值即为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的动点到原点的最小距离，∴|z|的最小值为eq\r(2)－1.三、解答题（共4小题，满分44分）15、（本题8分）已知复数z满足(1＋i)z＝3＋i.（1）求复数z；（2）若复数z＋ai在复平面内对应的点在第四象限，求实数a的取值范围．【解析】（1）∵(1＋i)z＝3＋i，∴z＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.（2）由(1)得z＝2－i，则z＋ai＝2＋(a－1)i，因为复数z＋ai在复平面内对应的点在第四象限，所以a－1<0，解得a<1.即实数a的取值范围是(－∞，1)．16、（本题10分）已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩N≠∅，求整数a，b的值．【解析】由题意，得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③由①得a＝－3，b＝±2，由②得a＝±3，b＝－2，③中，a，b无整数解，不符合题意，综上，a＝－3，b＝2或a＝－3，b＝－2或a＝3，b＝－2.17、（本题满分12分）在复平面内复数所对应的点为，O为坐标原点，i是虚数单位.（1），计算与；（2）设，求证：，并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.【提示】（1）利用复数的乘法运算可得，再由复数的几何意义可得，即可计算出；（2）利用复数运算规律分别求出的平方，利用作差法可得，此时需满足.【答案】（1），；（2）证明见解析，【解析】（1）根据可得，；且，所以.（2）因为，所以，可得；因为，所以，因此，所以，当且仅当时取等号，此时向量满足.18、（本题满分14分）设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．（1）判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；（2）设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．【提示】（1）取复平面上的圆，得到复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内，复数i在复平面上对应的点在圆外，得到结论；（2）先证明必要性，令复数，取复平面上的圆，得到是的“可分离子集”；再证明充分性，只需证当时，不是的“可分离子集”，得到结论.【解析】（1）是，理由如下：取复平面上的圆，则复数1，2，3在复平面上对应的点都在圆内．而，故复数i在复平面上对应的点在圆外．因此，是的“可分离子集”．（2）必要性：当时，令复数，取复平面上的圆，则在复平面上对应的点在圆周上，又，故1在复平面上对应的点在圆外．由，，知．故在复平面上对应的点在圆外．因此，当时，是的“可分离子集”．充分性：只需证当时，不是的“可分离子集”．假设存在复平面上的一个圆，使得在复平面上对应的点在圆内或圆周上，且1，在复平面上对应的点在圆外．设圆心表示的复数为．再设．由知，故．由知，故．进而，，由知，故，进而．这与矛盾，故所假设的圆在复平面上不存在．即当时