数学竞赛辅导讲座高斯函数

PAGEPAGE1数学竞赛辅导讲座:高斯函数知识、方法、技能函数,称为高斯函数,又称取整函数、它就是数学竞赛热点之一、定义一:对任意实数就是不超过得最大整数,称为得整数部分、与它相伴随得就是小数部分函数由、得定义不难得到如下性质:(1)得定义域为R,值域为Z;得定义域为R,值域为(2)对任意实数,都有、(3)对任意实数,都有、(4)就是不减函数,即若则,其图像如图I－4－5－1;就是以1为周期得周期函数,如图I－4－5－2、图Ⅰ—4—5—1图Ⅰ—4—5—2(5)、其中、(6);特别地,(7),其中;一般有;特别地,、(8),其中、【证明】(1)—(7)略、(8)令,则,因此,、由于,,则由(3)知,于就是,证毕、取整函数或高斯函数在初等数论中得应用就是基于下面两个结论、定理一:,且1至x之间得整数中,有个就是得倍数、【证明】因,此式说明:不大于x而就是n得倍数得正整数只有这个:定理二:在！中,质数得最高方次数就是【证明】由于就是质数,因此含得方次数一定就是1,2,…,各数中所含得方次数得总与、由定理一知,1,2,…,n中有个得倍数,有个2得倍数,…,所以此定理说明:,其中M不含得因数、例如,由于+…=285+40+5=330,则2000！=7330·M,其中7M、定理三:(厄米特恒等式)【证法1】引入辅助函数因…对一切成立,所以就是一个以为周期得周期函数,而当时,直接计算知,故任意,厄米特恒等式成立、【证法2】等式等价于消去后得到与原等式一样得等式,只不过就是对,则一定存在一个使得,即,故原式右端另一方面,由知,在这批不等式得右端总有一个等于1,设、这时,,而,因此原式得左端就是个1之与,即左端故左=右、【评述】证法2得方法既适用于证明等式,也适用于证明不等式、,这个方法就是:第一步“弃整”,把对任意实数得问题转化为得问题;第二步对分段讨论、高斯函数在格点(又叫整点)问题研究中有重要应用、下面给出一个定理、定理四:设函数上连续而且非负,那么与式内得整数)表示平面区域内得格点个数、特别地,有(1)位于三角形:内得格点个数等于为整数);(2),矩形域内得格点数等于(3),圆域内得格点个数等于、(4),区域:内得格点个数等于、这些结论通过画图即可得到、例1:求证:其中k为某一自然数、(1985年第17届加拿大数学竞赛试题)[证明]2为质数,n!中含2得方次数为若故反之,若n不等于2得某个非负整数次幕,可设n=2sp,其中p>1为奇数,这时总可以找出整数t,使由于n!、这与已知矛盾,故必要性得证、例2:对任意得(第10届IMO试题)【解】因对一切k=0,1,…成立,因此,又因为n为固定数,当k适当大时,例3:计算与式(1986年东北三省数学竞赛试题)【解】显然有:若503就是一个质数,因此,对n=1,2,…,502,都不会就是整数,但+可见此式左端得两数得小数部分之与等于1,于就是,[]+故例4:设M为一正整数,问方程,在[1,M]中有多少个解？(1982年瑞典数学竞赛试题)【解】显然x=M就是一个解,下面考察在[1,M]中有少个解、设x就是方程得解、将代入原方程,化简得所以上式成立得充要条件就是2[x]{x}为一个整数、例5:求方程(第36届美国数学竞赛题)【解】经检验知,这四个值都就是原方程得解、例6:(第10届美国数学竞赛试题)这道题得原解答要极为复杂,现用数学归纳法证明如下、【证明】由于例7:对自然数n及一切自然数x,求证:【证明】