专题12 圆与几何综合的两种考法（解析版）（人教版）

专题12圆与几何综合的两种考法例1连圆心，证半径）如图，△ABC内接于ΘO，AB是ΘO的直径，CE平分7ACB交ΘO于点E，过点E作EF∥AB，交CA的延长线于点F.(1)求证：EF与ΘO相切；一(2)若7CAB=30O，AB=8，过点E作EGTAC于点M，交ΘO于点G，交AB于点N，求AG的长.【答案】(1)见解析再根据圆周角定理可得7AOE=27ACE=90O，进而可证OETAB，OETEF，即可证明EF与ΘO相切；据圆周角定理证明7GOC=27MEC=90O，进而可得7AOG=30O，再根据弧长公式即可求解.【详解】（1）证明：如图，连接OE，AB是ΘO的直径，:7ACB=90O，CE平分7ACB交ΘO于点E，丫OE是ΘO的半径，:EF与ΘO相切；（2）解：如图，连接OG，OC，:上B=600，【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，弧长公式，等边三角形的判定与性质等，熟练应用圆周角定理是解题的关键.例2（连半径，证垂直如图，△ABC中，AB=AC，ΘO过B、C两点，且AB是ΘO的切线，连接AO交劣弧BC于点P.(1)证明：AC是ΘO的切线；(2)若AB=8，AP=4，求ΘO的半径.【答案】(1)见解析；(2)6【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质和圆的切线的性质定再利用圆的切线的判定定理解答即可得出结论；解方程即可得出结论.在△ABO和△ACO中，在Rt△OAB中，2【点睛】本题考查了圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握圆的有关性质是解题的关键.【变式训练1】．如图，△ABC内接于ΘO,AB是ΘO的直径，ΘO的切线PC交BA的延长线于点P,OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF.(1)判断直线AF与ΘO的位置关系，并说明理由；(2)若ΘO的半径为6,AC=6，求阴影部分的面积.【分析】（1）连接OC，证明△AOF≌△COF(SAS)，由全等三角形的判定与性质得出（2）证明△AOC是等边三角形，求出上AOC=600，OC=6，由三角形面积公式和扇形的面积公式可得出答案.【详解】（1）解：直线AF与ΘO相切.理由如下：连接OC，PC为圆O切线，:CP丄OC，OFⅡBC，在△AOF和△COF中，:△AOF≌△COF又OA为圆O的半径，:AF为圆O的切线；【点睛】此题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积求法，等边三角形的判定与性质，扇形的面积公式，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键.【变式训练1】．如图，AB为ΘO的直径，BC是圆的切线，切点为B，OC平行于弦AD.(1)求证：DC是ΘO的切线；(2)直线AB与CD交于点F，且DF=4，AF=2，求ΘO的半径.【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）连接OD，根据切线的性质得到OB丄BC，根据平行线的性质可得上DOC=上BOC，根据全等三角形的判定和性质可得上ODC=上OBC=900，即可的判定定理证明结论；（2）设ΘO的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程求出ΘO的半径.∵OC∥AD，在△DOC和△BOC中，∵OD是ΘO的半径，∴DC是ΘO的切线；（2）解：设ΘO的半径为r，在Rt△ODF中，OD2+DF2∴ΘO的半径为3.【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线的性质，等边对等角，勾股定理，熟记经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.【变式训练2】．如图，以线段AB为直径作ΘO，交射线AC于点C，AD平分7CAB交ΘO于点D，过点D作直线DETAC于点E，交AB的延长线于点F．连接BD并延长交AC于点M.(1)求证：直线DE是ΘO的切线；(2)求证：AB=AM；【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到7ODA=7OAD，根据角平分线的定义得到ÐOAD=ÐDAC，证明ODⅡAC，根据平行线的性质得到DE^OD，根据切线的判定定理证明即可；（2）根据题意证得7M=7ABM，再根据等边对等角即可证明.【详解】（1）解：证明：连接OD，:AD平分上CAB，:ODⅡAC，:DE丄AC，:DE丄OD，:OD是ΘO的半径，:直线DE是ΘO的切线；（2）:线段AB是ΘO的直径，:AB=AM.【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、圆周角定理、直角三角形的性质，掌握经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.【变式训练3】．如图，在Rt△ABC中，上C=900，AD平分上BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的ΘO分别交AB，AC于点E，F.(1)求证：BC是ΘO的切线；【答案】(1)见解析；(2)ΘO的半径为5.【分析】（1）连接OD，可得OA=OD，根据等边对等角，以及角平分线的定义，可得上ODA=上CAD，根据“内错角相等，两直线平行”可得OD∥AC，根据平行线的性质，可（2）过点O作OG丄AF，交AF于点G，根据垂径定理可得AG=FG=×8=4，故CG=5，根据矩形的判定和性质，即可求解.:AD是上BAC的平分线，:ODⅡAC，:OD为ΘO的半径，点D在ΘO上，∴BC是ΘO的切线；（2）解：过点O作OG丄AF，交AF于点G，如图，:OG丄AF，:上OGC=900，:四边形ODCG是矩形，:DO=CG=5，:ΘO的半径为5.【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆的垂径定理，矩形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义、平行线的判定和性质，解题的关键是准确作出辅助线.例．如图，已知ΘO是△ABC的外接圆，AB是ΘO的直径，D是AB延长线的一点，AETCD交DC的延长线于E，CFTAB于F，且CE=CF.(1)求证：DE是ΘO的切线；【答案】(1)证明见解析【分析】（1）要证DE是ΘO的切线，只要连接OC，再证7DCO=90O即可；（2）由切线的性质及勾股定理可得CD的长，再根据三角形面积公式及勾股定理可得AF的长，最后由全等三角形的判定与性质可得答案.【详解】（1）证明：连接OC；∴72=73，又OC是ΘO的半径，∴DE是ΘO的切线.在Rt△AEC和Rt△AFC中，llAC=AC【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径再证垂直即可.【变式训练1】．如图，在Rt△ABC中，上C=90O，点D在边BC上，点E在边AC上．以点D为圆心，DC为半径作ΘD与AB相切于点F，已知上CED=上ABC.(1)求证：BD=ED；(2)连接AD，若AC=6，AB=10，求线段AE的长.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）连接DF，根据ΘD与AB相切于点F得到DF丄AB，结合上C=90O，即可得可得到证明；（2）根据DC=DF，AD=AD得到Rt△ADC≌Rt△ADF(HL)，即可得到AC=AF=6，即可得到BF，即可得到答案；【详解】（1）证明：连接DF，∵ΘD与AB相切于点F，（2）解：在Rt△ADC和Rt△ADF中，∴Rt△ADC≌Rt△ADF(HL)，由（1）△DFB≌△DCE，【点睛】本题考查圆的切线的性质，三角形全等的性质与判定，解题的关键是根据三角形全等的性质转换线段关系.【变式训练2】．如图，在△ABC中，AB=AC，O是边AC上的点，以OC为半径的圆分别交边BC、AC于点D、E，过点D作DF丄AB于点F.(1)求证：直线DF是ΘO的切线；【答案】(1)详见解析；(2)即可得证；（2）平行线的性质，求出上EOD的度数，利用弧长公式进行求解即可.【详解】（1）解：证明：连接OD，又OD是ΘO的半径，即直线DF是ΘO的切线；∴劣弧DE的长=【点睛】本题考查切线的判定，求弧长．解题的关键是掌握切线的判定定理以及弧长的计算公式.【变式训练3】．如图，AB是ΘO的直径，点C是的中点，过点C的切线与AD的延长线交于E，连接CD，AC.【答案】(1)见解析；(2)ΘO的面积为4π【分析】（1）连接OC，根据切线的性质，则OCTCE，则7OCE=90O，根据点C是的中点，等弧所对的圆周角相等可得7DAC=7CAB，根据平行线的判定和性质，即可；（2）连接OD，根据平行四边形的判定，得四边形AOCE是平行四边形，根据OA=OC，则平行四边形AOCE是菱形，则△ADO是等边三角形，根据等边三角形的性质，得2DE=DC，再根据圆的面积公式，即可.【详解】（1）证明：连接OC，∴7OCA=7DAC，∴OC∥AD，∴CETAE.（2）解：连接OD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴平行四边形AOCD是菱形，∴△ADO是等边三角形，【点睛】本题考查圆，三角形，菱形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，圆的切线，等边三角形的性质，菱形的判定和性质.【变式训练4】．如图1，在ΘO中，AB为ΘO的直径，点C为ΘO上一点，AD为上CAB的平分线交ΘO于点D，连接OD交BC于点E.(1)求上BED的度数；(2)如图2，过点A作ΘO的切线交BC延长线于点F，过点D作DGⅡAF交AB于点G．若【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可.【详解】（1）解：AB为ΘO的直径，AD为上CAB的平分线，:上BAD=上ODA，:ODⅡAC，（2）解：连接BD，:AB为ΘO的直径，:BE2=OB2—OE2，BE2=BD2—DE2，+DE2，解得r=7或r=5（不合题意舍去:AB=2r=14，:AF是ΘO的切线，:AF丄AB，:DG//AF，:DG丄AB，【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键.1．如图，以AB为直径的ΘO经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分上BAC和上ABC，AE的延长线交ΘO于点D，连接BD，CD.(1)求证：DB=DE： 【答案】(1)见解析；(2)23可得上BED=上DBE即可证明结论；进而可知BD=DC，结合OB=OC，可知OD垂直平分BC．易证△BDE是等腰直角三角形， 成解答.∵AE平分上BAC，BE平分上ABC，（2）解：连接OC、OD，OD交BC于点F，∴OD垂直平分BC.∵AB为直径，BD=ED 2在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2—OF2=BD2—DF2=BF 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识点，证明△BDE是等腰直角三角形是解题关键.2．如图，在ΘO中，AB为直径，AB=8,BD为弦，C为BD延长线上的一点，连接AC.(1)若的长为，求上B的度数.若AC=6，BD=，求证：AC是ΘO的切线.【分析】（1）连接OD，如图，设上AOD的度数为nO，利用弧长公式得到求（2）连接AD，如图，先利用圆周角定理得到上ADB=90O，则利用勾股定理先计算出再计算出，所以BC=10，然后利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直【详解】（1）解：连接OD，如图，设上AOD的度数为nO，∵的长为AB为直径，AB=8，（2）连接AD，如图，BD2AD2 ∴AB2+AC2=BC2，∴AC是ΘO的切线.【点睛】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了圆周角定理、弧长公式和勾股定理的逆定理.垂足为F. 【答案】(1)详见解析(2)25【分析】（1）连接OB和OC，四边形ABCD是平行四边形得ADⅡBC，则即可得到OC丄CE，又由OC是ΘO的半径即可得到结论；（2）过点F作FGⅡAB交OA于点G，四边形ABCD是平行四边形，则ADⅡBC，AD=BC，则AG∥BF，得四边形BAGF为平行四边形，则BF=AG，AB=FG，设ΘO的半径为x，则BC=AD=x+1，由垂径定理可得，在Rt△OBF中，由勾股定理可得2,则222，解得x=5,即可得到OA=5,BC=AD=6，即可得到AB的长.【详解】（1）证明：连接OB和OC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADⅡBC，:EC是ΘO的切线（2）解：过点F作FGⅡAB交OA于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴ADⅡBC，AD=BC，∴四边形BAGF为平行四边形，:BF=AG，AB=FG，设ΘO的半径为x，则BC=AD=x+1在Rt△OBF中，BF2+OF2=OB2,解得x=5,:AG=BF=3,ADⅡBC,OE丄BC,+OG2 【点睛】此题考查了切线的判定定理、垂径定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定定理和添加合适的辅助线是解题的关键.4．如图1，已知AB为ΘO的直径，C为ΘO上一点，CE丄AB于E，D为弧BC的中点，连接AD，分别交CE、CB于点F和点G.【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得7ACB=90O，从而可得后根据已知可得=，从而可得7CAG=7FAE，进而可得7AGC=7AFE，最后根据对顶角相等可得7AFE=7CFG，从而可得7AGC=7CFG进而根据等角对等边即可解答；（2）连接AC,CD，利用（1）的结论，再根据等角的补角相等可得7