第21章 一元二次方程全章复习与测试-2024年新九年级数学（人教版）

第21章一元二次方程全章复习与测试模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2024•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023秋•邹平市期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是A． B．2 C．或3 D．33．（2023秋•武侯区期末）若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可以是A． B． C． D．二．一元二次方程的一般形式（共3小题）4．（2023秋•永善县期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是A． B． C． D．5．（2023秋•东西湖区期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A．5，， B．5，2， C．，2，1 D．，，6．（2023秋•商河县期末）将一元二次方程，化成的形式，则，的值分别是A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69三．一元二次方程的解（共3小题）7．（2024•凉山州）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为A．2 B． C．2或 D．8．（2024•东莞市校级二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为A． B．2023 C．2024 D．20259．（2024•凉山州）已知，，则的值为．四．解一元二次方程-直接开平方法（共3小题）10．（2023秋•萍乡期末）解方程：．11．（2024•泸县一模）解方程：．12．（2024•柳州一模）解方程：．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）13．（2024•合肥二模）解一元二次方程．14．（2024•金平区校级一模）解方程：．15．（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：解：移项，得．第一步二次项系数化为1，得．第二步配方，得．第三步因此．第四步由此得或．第五步解得，．第六步（1）王明的解题过程从第步开始出现了错误；（2）请利用配方法正确地解方程．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）16．（2024•铁锋区二模）解方程：．17．（2024•高青县校级一模）解方程：．18．（2023秋•厦门期末）解方程：．七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）19．（2024•河源一模）解方程：．20．（2024•郴州二模）解方程：．21．（2024•建华区三模）解方程：．八．换元法解一元二次方程（共3小题）22．（2023秋•金坛区校级月考）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值．23．（2022秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）；（2）．24．（2023秋•赛罕区校级期中）提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得，（不符合要求，舍去）．当时，，．原方程的解为，．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：运用上述换元法解方程：．九．根的判别式（共4小题）25．（2023秋•东城区校级期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．26．（2023春•泰安期中）已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．①求的值；②求的周长．27．（2023秋•崆峒区校级期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．28．（2023秋•南部县校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．（1）求的取值范围；（2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．（3）阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．一十．根与系数的关系（共5小题）29．（2024•玄武区二模）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根30．（2024•赛罕区二模）若，且有，及，则的值是A． B． C． D．31．（2024春•诸暨市期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为A．2025 B．2023 C． D．32．（2024•顺德区三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是A． B． C． D．33．（2024•盐城三模）设方程的两个根为，，那么的值等于A． B．1 C． D．2一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）34．（2024•眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为A． B． C． D．35．（2024•鼓楼区校级二模）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程A． B． C． D．36．（2024•离石区模拟）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为米．根据题意列方程正确的是A． B． C． D．一十二．一元二次方程的应用（共8小题）37．（2024•黑龙江三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是A． B． C． D．38．（2024•城关区校级模拟）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．（1），，，（用含的代数式表示）；（2）为多少时，四边形的面积为；（3）为多少时，点和点的距离为．39．（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？40．（2024•榆阳区二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率．41．（2024•金平区二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为元，该商品销售量套．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每天销售所获的利润为到4800元，求的值．42．（2024•埇桥区校级模拟）为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗．在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线、．原计划生产线每小时生产护目镜400个，生产线每小时生产护目镜500个．（1）若生产线、共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则生产线至少生产护目镜多少小时？（2）原计划、生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．43．（2024春•宿迁期末）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设长为米．（1）米（用含的代数式表示）；（2）若长方形围栏面积为210平方米，求的长；（3）长方形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由．44．（2024•古浪县二模）某校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？一十三．配方法的应用（共3小题）45．（2023秋•宿迁期末）的三边分别为，，，有，，按边分类，则是三角形．46．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为．47．（2024春•西山区校级月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解：，，即时取等号．的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．一．选择题（共10小题）1．（2024春•鄞州区期中）下列方程属于一元二次方程的是A． B． C． D．2．（2023秋•江津区期末）如果方程是关于的一元二次方程，则的值是A．2 B． C． D．33．（2023秋•赣榆区期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、4．（2023秋•瀍河区期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是A． B． C．1 D．25．（2023秋•常州期末）方程的解为A．， B．， C．， D．，6．（2024•莫旗一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有A．38人 B．40人 C．41人 D．42人7．（2024•麦积区校级模拟）设，是方程的两个实数根，则的值为A．2019 B．2020 C．2021 D．20228．（2024•珠晖区一模）一元二次方程的根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根9．（2023秋•城关区校级期末）某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是A． B． C． D．10．（2024•河南模拟）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B．且 C．且 D．二．填空题（共6小题）11．（2024春•肇源县月考）方程是关于的一元二次方程，则的值为．12．（2024•泗洪县一模）若是关于的方程的解，则的值为．13．（2024•惠城区一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．14．（2024•鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．15．（2022春•西湖区校级期中）已知实数，满足，，则代数式的值等于．16．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为．三．解答题（共8小题）17．（2022秋•河东区期末）解方程：（1）；（2）．18．（2023秋•新宾县期末）解方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．19．已知关于的方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为符合条件的最小整数，且该方程的较大根是较小根的3倍，求的值．20．（2023秋•渠县期末）已知，是一元二次方程的两个实数根．（1）求的值？（2）求的值？21．（2023秋•秦州区期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值．22．（2024•衡阳县模拟）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？23．（2024•扶沟县一模）2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售．经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．（1）求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；（2）从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件．当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？24．（2023秋•贵阳期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动，动点同时从点出发，沿方向运动，如果点，的运动速度均为．（1）运动几秒时，点，相距？（2）的面积能等于吗？为什么？

第21章一元二次方程全章复习与测试模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

解题策略：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．解题策略：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.解题策略：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.解题策略：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2024•汉川市模拟）下列方程是一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：、是一元二次方程，符合题意；、是一元一次方程，不符合题意；、是一元一次方程，不符合题意；、不是整式方程，不符合题意，故选：．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．（2023秋•邹平市期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值是A． B．2 C．或3 D．3【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．【解答】解：关于的方程是一元二次方程，且，解得：，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义和绝对值，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023秋•武侯区期末）若方程□是关于的一元二次方程，则“□”可以是A． B． C． D．【分析】根据一元二次方程的定义判断即可得．【解答】解：．，是一元一次方程，此选项不符合题意；．，是一元一次方程，此选项不符合题意；．，是一元二次方程，此选项符合题意；．，是二元二次方程，此选项不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查一元二次方程的定义，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（共3小题）4．（2023秋•永善县期末）把一元二次方程化为一般形式，正确的是A． B． C． D．【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【解答】解：将一元二次方程化为一般形式之后，变为，故选：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握定义是解题关键．5．（2023秋•东西湖区期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A．5，， B．5，2， C．，2，1 D．，，【分析】根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项．【解答】解：关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、、，故选：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项．6．（2023秋•商河县期末）将一元二次方程，化成的形式，则，的值分别是A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69【分析】根据完全平方公式、移项法则把原方程化为一般形式，根据题意列出方程，解方程得到答案．【解答】解：，则，，由题意得：，，解得：，，故选：．【点评】本题考查的是一元二次方程的一般形式，要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（共3小题）7．（2024•凉山州）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为A．2 B． C．2或 D．【分析】利用一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义可得且，解得的值即可．【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是，且，解得：，故选：．【点评】本题考查一元二次方程解的定义及一元二次方程的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．8．（2024•东莞市校级二模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为A． B．2023 C．2024 D．2025【分析】把代入，可得，再代入，即可求解．【解答】解：关于的一元二次方程的一个解是，，即，．故选：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立．9．（2024•凉山州）已知，，则的值为3．【分析】由已知条件可得，将其代入中整理后解一元二次方程求得符合题意的的值即可．【解答】解：，，，，即，解得：，（舍去），即的值为3，故答案为：3．【点评】本题考查一元二次方程的解，结合已知条件得到关于的方程是解题的关键．四．解一元二次方程-直接开平方法（共3小题）10．（2023秋•萍乡期末）解方程：．【分析】开平方求出的值，然后求出的值即可．【解答】解：由原方程，得，则或，整理，得或，解得，．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．如果方程能化成的形式，那么．11．（2024•泸县一模）解方程：．【分析】由原方程得到，利用直接开平方法，方程两边直接开平方即可．【解答】解：由原方程，得，直接开平方，得，解得，．【点评】题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．12．（2024•柳州一模）解方程：．【分析】先变形得到，然后利用直接开平方法求解．【解答】解：，所以，．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）13．（2024•合肥二模）解一元二次方程．【分析】先把方程左边化为完全平方公式的形式，再利用直接开方法求解即可．【解答】解：，，，，，．【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键．14．（2024•金平区校级一模）解方程：．【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，再利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程，求出解即可．【解答】解：方程，配方得：，开方得：，解得：，．【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．15．（2024•景德镇二模）王明在学习了用配方法解一元二次方程后，解方程的过程如下：解：移项，得．第一步二次项系数化为1，得．第二步配方，得．第三步因此．第四步由此得或．第五步解得，．第六步（1）王明的解题过程从第二步开始出现了错误；（2）请利用配方法正确地解方程．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．（1）由配方法解一元二次方程即可判断错误的步骤；（2）由配方法解一元二次方程即可得到答案．【解答】解：（1）解题过程从第二步开始出现了错误，错误原因是系数化为1时，等式右边的未除以2，故答案为：二；（2）．移项，得：，二次项系数化为1，得：，配方，得：，因此，由此得：或，解得：．【点评】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）16．（2024•铁锋区二模）解方程：．【分析】利用公式法求解即可．【解答】解：这里，，，△，，，．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．17．（2024•高青县校级一模）解方程：．【分析】根据所给方程，用公式法对其进行求解即可．【解答】解：由题知，，，，所以△，所以，故．【点评】本题考查解一元二次方程公式法，熟知公式法是解题的关键．18．（2023秋•厦门期末）解方程：．【分析】找出，及的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．【解答】解：这里，，，△，，则，．【点评】此题考查了解一元二次方程公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出，及的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．七．解一元二次方程-因式分解法（共3小题）19．（2024•河源一模）解方程：．【分析】首先把一元二次方程转化成两个一元一次方程的乘积，即，然后解一元一次方程即可．【解答】解：，，或．【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，解答本题的关键是掌握因式分解法解一元二次方程的步骤，此题难度不大．20．（2024•郴州二模）解方程：．【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程整理得：，分解因式得：，解得：，．【点评】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．21．（2024•建华区三模）解方程：．【分析】由于方程左右两边都含有，可将看作一个整体，然后移项，再分解因式求解．【解答】解：原方程可变形为：，，或；解得，．【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．八．换元法解一元二次方程（共3小题）22．（2023秋•金坛区校级月考）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，求的值．【分析】设，则原方程化为，求出，，求出或3，根据、为直角三角形的两直角边得出且，再求出答案即可．【解答】解：，设，则原方程化为：，，，或，，，即或3，，是一个直角三角形两条直角边的长，，，，舍去，即．故答案为：3．【点评】本题考查了用换元法解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．23．（2022秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题．解方程：．解：把视为一个整体，设，则原方程可化为．解得，．或．．以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）；（2）．【分析】（1）设，则原方程可化为．然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用直接开平方法求得的值；（2）设，则原方程可化为，然后利用因式分解法解该方程，进而求得的值；然后再利用公式法求得的值．【解答】解：（1）设，则原方程可化为，整理，得，解得，．当时，即，解得，当时，即，解得．综上所述，原方程的解为，；（2）设，则原方程可化为，整理，得，解得，．当时，即，，当时，无解．原方程的解为，．【点评】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．24．（2023秋•赛罕区校级期中）提出问题：为解方程，我们可以令，于是原方程可转化为，解此方程，得，（不符合要求，舍去）．当时，，．原方程的解为，．以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．解决问题：运用上述换元法解方程：．【分析】设，则原方程可化为，求出的值，再代入求出即可．【解答】解：，设，则原方程可化为，，或，解得，：，，当时，；当时，，所以原方程的解为，，，．【点评】本题考查了用换元法解方程和解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．九．根的判别式（共4小题）25．（2023秋•东城区校级期末）已知关于的一元二次方程．（1）求证：此方程总有两个实数根；（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．【分析】（1）计算根的判别式得到△，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．【解答】（1）证明：△，此方程总有两个实数根；（2），，，此方程恰有一个根小于，，解得，即的取值范围为．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．26．（2023春•泰安期中）已知关于的一元二次方程（1）求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；（2）已知是关于的方程的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长．①求的值；②求的周长．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△，由此可证出不论取何值，方程必有两个不相等的实数根；（2）①先把代入方程得；②方程为，利用因式分解法解方程得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系确定三角形三边长，然后计算对应的三角形周长．【解答】（1）证明：，，，△，不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根．（2）解①：把代入方程得：，解得；②方程为，解得，，因为这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，而，所以这个等腰三角形三边分别为、5、5，所以的周长为．【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．27．（2023秋•崆峒区校级期中）已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长．（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．【分析】（1）根据方程解的定义把代入方程得到，整理得，即，于是根据等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；（2）根据判别式的意义得到△，整理得，然后根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形．【解答】解：（1）是等腰三角形．理由如下：是方程的根，，，，，是等腰三角形；（2）是直角三角形．理由如下：方程有两个相等的实数根，△，，，是直角三角形．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．28．（2023秋•南部县校级月考）已知，是关于的一元二次方程的两实数根．（1）求的取值范围；（2）已知等腰的底边，若，恰好是另外两边的边长，求这个三角形的周长．（3）阅读材料：若三边的长分别为，，，那么可以根据秦九韶海伦公式可得：，其中，在（2）的条件下，若和的角平分线交于点，根据以上信息，求的面积．【分析】（1）根据△，构建不等式求解即可；（2）由等腰三角形的性质可得一元二次方程两根相等，利用△，构建方程求解值，即可得一元二次方程，解方程可求解，，进而可求解的周长；（3）由海伦公式可求解的面积，过分别作，，，垂足分别为，，，利用角平分线的性质可得，结合的面积可求解的长，再根据三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：（1）由题意得：△，且，化简得：，解得：且；（2）由题意知：，恰好是等腰的腰长，，，是关于的一元二次方程的两实数根，△，解得，，解得，，的周长为：；（3）由（2）知：的三边长为3，3，4，，，过分别作，，，垂足分别为，，，是角平分线的交点，，，解得，．【点评】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，角平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握根的判别式是解题的关键．一十．根与系数的关系（共5小题）29．（2024•玄武区二模）关于的方程为常数）的根的情况，下列结论中正确的是A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根【分析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质得到△，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：整理关于的方程为：，△，方程有两个不相等的实数根，两根之积为，方程有一个正根，一个负根．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根是解题的关键．30．（2024•赛罕区二模）若，且有，及，则的值是A． B． C． D．【分析】方程两边同时除以，等式仍成立，和可看作方程的两根，由此可解答．【解答】解：，．，即，和可看作方程的两根，，即．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和解的定义，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，．31．（2024春•诸暨市期中）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为A．2025 B．2023 C． D．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，，，故选：．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．32．（2024•顺德区三模）已知是方程的一个根，则它的另一根是A． B． C． D．【分析】先设方程的另外一个根为，然后根据两根之和为，即可求得的值．【解答】解：设方程的另外一个根为，是方程的一个根，，解得，故选：．【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程两根之和为．33．（2024•盐城三模）设方程的两个根为，，那么的值等于A． B．1 C． D．2【分析】直接利用根与系数的关系可得答案．【解答】解：方程的两个根为，，，故选：．【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握两根之和等于．一十一．由实际问题抽象出一元二次方程（共3小题）34．（2024•眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为，则可列方程为A． B． C． D．【分析】利用2021年的产量年平均增长率为年的产量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．35．（2024•鼓楼区校级二模）学校组织了一次篮球单循环比赛（每两队之间只进行一次比赛），共进行了28场比赛，设参加这次比赛的队有个，则可列方程A． B． C． D．【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），个球队比赛总场数，由此可得出方程．【解答】解：设邀请个队，每个队都要赛场，但两队之间只有一场比赛，由题意得，，故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象一元二次方程的知识，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数与球队之间的关系．36．（2024•离石区模拟）某地政府准备在如图所示的宽为25米的矩形地块上建一所学校，设计要求将该矩形地块分成甲、乙、丙三部分，甲、乙地块恰好均为正方形，丙地块为矩形，甲地块为教学区，丙地块为行政办公场区，乙地块为学生活动区．若丙地块的面积为30平方米，则矩形地块的长为多少米，设矩形地块长为米．根据题意列方程正确的是A． B． C． D．【分析】根据矩形的面积甲地的面积乙地的面积丙地块的面积列方程即可．【解答】解：根据题意得，即．故选：．【点评】本题主要考查了根据实际问题列一元二次方程，找准题目的等量关系式解答本题的关键．一十二．一元二次方程的应用（共8小题）37．（2024•黑龙江三模）在数学实践课上，小华要给一幅长，宽的手抄报加一个边框，如图所示，上下左右边框的宽度相等，且整个图形面积为，则小华添加的边框的宽度是A． B． C． D．【分析】设小华添加的边框的宽度是，则整个图形的长为，宽为，根据整个图形面积为，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设小华添加的边框的宽度是，则整个图形的长为，宽为，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），小华添加的边框的宽度是．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．38．（2024•城关区校级模拟）如图，，，为矩形的四个顶点，，，动点，分别从点，同时出发，点以的速度向点移动，一直到达点为止，点以的速度向点移动，当点到达点时点随之停止运动．（1），，，（用含的代数式表示）；（2）为多少时，四边形的面积为；（3）为多少时，点和点的距离为．【分析】（1）当运动时间为时，根据点，的运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出各线段的长度；（2）利用梯形的面积计算公式，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；（3）过点作于点，则，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）当运动时间为时，，，，．故答案为：；；；．（2）依题意得：，整理得：，解得：答：当为5时，四边形的面积为．（3）过点作于点，则，如图所示．依题意得：，即，解得：，．答：当为或时，点和点的距离为．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次方程的应用、列代数式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据各线段之间的关系，用含的代数式表示出各线段的长度；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出一元二次方程．39．（2024•韩城市模拟）九年级（1）班在毕业之际，每一名学生都互相写了一条祝福留言，全班一共写了1640条祝福，则九年级（1）班共有多少名学生？【分析】设九年级（1）班共有名学生，则每名学生需写条祝福留言，利用全班写祝福留言的总条数全班人数（全班人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设九年级（1）班共有名学生，则每名学生需写条祝福留言，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：九年级（1）班共有41名学生．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．40．（2024•榆阳区二模）某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公．据统计，该单位2月份纸的用纸量为1000张，到了4月份纸的用纸量降到了640张．求从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率．【分析】设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，利用该单位4月份纸的用纸量该单位2月份纸的用纸量从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设从2月到4月该单位纸的用纸量月平均降低率为，根据题意得：，，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该单位纸的用纸量月平均降低率为．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．41．（2024•金平区二模）2023年7月，第31届世界大学生夏季运动会在成都举办，其中大运会吉祥物蓉宝广受欢迎，成为热销商品．某商家以每套40元的价格购进一批蓉宝．当该商品每套的售价是50元时，每天可售出180套，若每套的售价每提高2元，则每天少卖4套．设蓉宝每套的售价定为元，该商品销售量套．（1）求与之间的函数关系式；（2）若每天销售所获的利润为到4800元，求的值．【分析】（1）利用日销售量，即可找出与之间的函数关系式；（2）利用总利润每套的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意得：，即；（2）根据题意得：，整理得：，解得：，．答：的值为80或100．【点评】本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．42．（2024•埇桥区校级模拟）为了缓解我市新型冠状肺炎护目镜需求，两江新区某护目镜生产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗．在接到单位的返岗任务后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用努力工作的行动践行着自己的社会责任感与社会担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线、．原计划生产线每小时生产护目镜400个，生产线每小时生产护目镜500个．（1）若生产线、共工作12小时，且生产护目镜总数量不少于5500个，则生产线至少生产护目镜多少小时？（2）原计划、生产线每天均工作8小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加1小时，该生产线实际工作时每小时的产量均减少10个，生产线每增加1小时，该生产线每小时的产量均减少15个，这样一天生产的护目镜将比原计划多3300个，求该厂实际每天生产护目镜的时间．【分析】（1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂每天生产护目镜总数量不少于5500个，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论；（2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，利用工作总量工作效率工作时间，结合该厂实际一天生产的护目镜将比原计划多3300个，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：（1）设生产线生产护目镜小时，则生产线生产护目镜小时，根据题意得：，解得：，的最小值为7．答：生产线至少生产护目镜7小时；（2）设该厂实际每天生产护目镜的时间为小时，则生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）．答：该厂实际每天生产护目镜的时间为14小时．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．43．（2024春•宿迁期末）如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度51米的橱栏（图中实线部分）围成两个大小相同的长方形围栏，设长为米．（1）米（用含的代数式表示）；（2）若长方形围栏面积为210平方米，求的长；（3）长方形围栏面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由．【分析】（1）由题意知，，代入求解即可；（2）由题意知，即，且，求解可得，由题意知，，即，整理得，，计算求解满足要求的的值即可；（3）根据题意，令，由△，可知该方程没有实数根，进而可判断长方形围栏面积是否有可能达到240平方米．【解答】解：（1）由题意知，，，，故答案为：；（2）由题意知，即，解得，，，解得，，，由题意知，，即，整理得，，，解得，（不合题意，舍去），，长方形围栏面积为210平方米，的长为10；（3）不可能，理由如下：令，整理得，△，该方程没有实数根，长方形围栏面积不可能达到240平方米．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式以及根的判别式．解题的关键在于根据题意列一元二次方程并正确求解．44．（2024•古浪县二模）某校生物小组有一块长，宽的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为，小道的宽应是多少？【分析】本题可设道路的宽为，将4块草地平移为一个长方形，长为，宽为．根据长方形面积公式即可求出道路的宽．【解答】解：设道路的宽为，依题意有，整理，得．，，（不合题意，舍去）答：小道的宽应是．【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再设出未知数，列出方程．一十三．配方法的应用（共3小题）45．（2023秋•宿迁期末）的三边分别为，，，有，，按边分类，则是等腰三角形．【分析】将，代入中得到关系式，利用完全平方公式变形后，根据非负数的性质求出与的值，进而求出的值，即可确定出三角形形状．【解答】解：，，，即，整理得：，，，，即；，即，，则为等腰三角形．故答案为：等腰．【点评】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及等腰三角形的判定，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．46．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为8．【分析】利用配方法即可解决问题．【解答】解：，，，，，．故答案为：8．【点评】本题考查配方法的应用、幂的有关性质等知识，解题的关键是学会用整体的思想思考问题，属于中考常考题型．47．（2024春•西山区校级月考）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：当，时，，，当且仅当时取等号，例如：当时，求的最小值．解：，，即时取等号．的最小值为4．请利用上述结论解决以下问题：（1）当时，求的最小值；（2）当时，求的最小值．【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；（2）先配方，化简，运用公式计算即可．【解答】解：（1）当时，，，，即时，的最小值为2；（2），，，又，，即，的最小值为．【点评】本题考查了配方法，完全平方公式的应用，二次根式混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中阅读内容解答．一．选择题（共10小题）1．（2024春•鄞州区期中）下列方程属于一元二次方程的是A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．【解答】解：．方程是二元二次方程，选项不符合题意；．方程是二元一次方程，选项不符合题意；．方程是一元二次方程，选项符合题意；．方程是一元一次方程，选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．2．（2023秋•江津区期末）如果方程是关于的一元二次方程，则的值是A．2 B． C． D．3【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出的值即可．【解答】解：方程是关于的一元二次方程，且，且，即．故选：．【点评】本题考查了一元一次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出且是解此题的关键．3．（2023秋•赣榆区期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是A．3、2、 B．3、2、3 C．3、、3 D．3、、【分析】移项，把右边化为0，变为一般式即可得出答案．【解答】解：，即，即二次项系数、一次项系数、常数项分别是3、、．故选：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．（2023秋•瀍河区期末）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值是A． B． C．1 D．2【分析】把代入方程，得出一个关于的方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：，解得：．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程，关键是能根据题意得出一个关于的方程．5．（2023秋•常州期末）方程的解为A．， B．， C．， D．，【分析】首先直接开平方可得一元一次方程，再解即可．【解答】解：，，则，，，，故选：．【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成的形式，那么可得．6．（2024•莫旗一模）毕业10年后，某班同学聚会，见面时相互间均握了一次手，一共握手的次数为780，则这次参加聚会的同学有A．38人 B．40人 C．41人 D．42人【分析】设这次参加聚会的同学有人，利用握手的总次数这次参加聚会的同学人数（这次参加聚会的同学人数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【解答】解：设这次参加聚会的同学有人，根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），这次参加聚会的同学有40人．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（2024•麦积区校级模拟）设，是方程的两个实数根，则的值为A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】先利用一元二次方程解的定义得到，利用降次的方法得到，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：是方程的实数根，，，，，是方程的两个实数根，，．故选：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．也考查了一元二次方程的解．8．（2024•珠晖区一模）一元二次方程的根的情况是A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．【解答】解：△，方程有两个不相等的实数根．故选：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．9．（2023秋•城关区校级期末）某学校连续三年组织学生向山区捐送图书，第一年共捐书400本，三年共捐书1525本．设该校捐书本数的年平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是A． B． C． D．【分析】第二年的捐书量第一年的捐书量年平均增长率），第三年的捐书量第一年的捐书量年平均增长率），三年共捐书量第一年的捐书量第二年的捐书量第三年的捐书量，把相关数值代入即可．【解答】解：根据题意得：，故选：．【点评】本题主要考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题的关键．10．（2024•河南模拟）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是A． B．且 C．且 D．【分析】利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且△，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得且△，解得且．故选：．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．二．填空题（共6小题）11．（2024春•肇源县月考）方程是关于的一元二次方程，则的值为2．【分析】根据一元二次方程的定义得出且，再求出即可．【解答】解：方程是关于的一元二次方程，且，解得：．故答案为：2．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能根据一元二次方程的定义得出和是解此题的关键．12．（2024•泗洪县一模）若是关于的方程的解，则的值为2020．【分析】把代入方程求出的值，再将所求式子变形，然后将的值代入计算即可．【解答】解：是关于的方程的解，，化简，得：，，故答案为：2020．【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．13．（2024•惠城区一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是．【分析】由方程的系数结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．【解答】解：关于的一元二次方程没有实数根，△，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程没有实数根”是解题的关键．14．（2024•鞍山模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为．【分析】利用根与系数的关系求解．【解答】解：，是一元二次方程的两个实数根，．故答案为：．【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．15．（2022春•西湖区校级期中）已知实数，满足，，则代数式的值等于2或7．【分析】分两种情况：（1）当时；（2）当时，联立方程组，运用加减消元法并结合完全平方公式，求得和的值，然后将原式通分化简，代入求解．【解答】解：（1）当时，；（2）当时，联立方程组，将①②得：，整理得：③，将①②得：，整理得：，，，又，，即④，将④代入③，得，即，又，，．综上所述，代数式的值等于2或7．故答案为：2或7．【点评】本题考查分式的化简求值及完全平方公式的运用，掌握完全平方公式的公式结构和分式的化简计算法则准确计算是解题关键．16．（2023秋•安州区期末）如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长，宽，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为，则图中的值为．【分析】由题意：剩余绿地的面积为，列出一元二次方程，解方程即可．【解答】解：根据题意得：，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去），即图中的值为，故答案为：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用题，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．三．解答题（共8小题）17．（2022秋•河东区期末）解方程：（1）；（2）．【分析】（