第07讲“AAS”与“HL”判定三角形全等-2024年新八年级数学暑假提升讲义（人教版 学习新知）

第07讲“AAS”与“HL”判定三角形全等（2个知识点+8个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重点)2．能运用“AAS”“HL”判定方法解决有关问题．(重点)3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点)知识点1.三角形全等的推论：角角边（重点）1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【变式1-2】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求证：△AOB≌△COD．

【变式1-3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在△ABC中，AD是BC边上的中线,CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F．(1)求证：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的长．知识点2.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）【例2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.【变式2-1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判断Rt△ABC【变式2-2】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【变式2-3】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求证：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度数考点1：证明线段相等1.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求证：2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.3.（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D为BC上的一点，DE与AC相交于点F，求证：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延长线上，AE交CB的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．考点2：证明角相等4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.5.（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．完成下面的证明过程．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中点，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．6．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在△ABF与△DCE中，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．

7．（2023·云南·模拟预测）如图，D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE=CF．求证：∠DBE=∠DCF．考点3：证明线段之间的关系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.9.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

10.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；(2)求证：．考点4:解决实际问题11.（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°12.（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是42cm，当小敏从水平位置CD下降16cm时，小明离地面的高度是13.（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点A的高度AM，嘉淇设计了如下方案：第一步：找一根长度大于AM的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM=55°；第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠MDC=°，标记此时直杆的底端点D；第三步：测量地面上线段的长度，即为点A的高度．若测得BM=5m，DM=7m，直杆下滑的高度AC=14.（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼AB的高度．他们的测量方案如下：在大树DE与博智楼AB之间找到一点C，使得此时树的顶端点D处的视线CD与博智楼的顶端A处的视线交于点C，此时，测量得知∠ACB与∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．请你求出博智楼AB的高度．

15.（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆AD，将两根长均为10m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚B,C离电线杆底部D

16.（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m(1)△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．）考点5：巧构全等三角形解决问题(1)．作公共边可构造全等三角形：17.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.18.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C(2)．倍长中线法：19.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：22.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．(5)．巧用“延长法”构造全等三角形：23.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=考点6：利用全等三角形解决设计测量方案问题24.池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．乙：如图②，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．请分析两种方案可行的理由．

25.如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：

在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直；从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点；从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点；测得的长为．(1)根据上述方法，河流的宽度为______m；(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可．乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？(2)请说明方案可行的理由．考点7：全等三角形的探究题27.已知：如图，，是的中点，平分．(1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．28.如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．考点8：动点问题29.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？30.（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为．31.（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作MD⊥l于点D，NE⊥l于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为32．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．33.如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？34.已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图，当点D在线段上时，过点E作于H，连接DE，求证：；

(2)如图，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：．

35．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；(3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．一、单选题1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D，则下列结论：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（

）

A． B．6 C．9 D．125．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（）A． B． C． D．7．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（

）A． B． C． D．8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④9．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题11．如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则．12．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则．13．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为cm14．（2024·四川成都·二模）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为米．15．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为．16．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）如图，，且，，且，，，，计算图中实线所围成的图形的面积是．三、解答题17．如图，已知，、在线段上，与交于点，且，．求证：．18．（21-22八年级上·四川宜宾·期中）如图，小明坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他，若妈妈与爸爸到的水平距离分别为和，．(1)与全等吗？请说明理由；(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住小明的？19．（23-24八年级上·新疆喀什·期末）如图，已知点E为上一点，且求证：．20．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．

(1)当，时，求的度数；(2)求证：．21．（22-23八年级上·广东潮州·阶段练习）在中，，，直线经过点，且于，于．(1)当直线绕点旋转到图的位置时，求证：①；②；(2)当直线绕点旋转到图的位置时，，，求线段的长．22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，A、B两个建筑分别位于河的两岸，要测得它们之间距离，可以从B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过D作，使E、A、C在同一条直线上，则长就是A、B之间的距离，请你说明道理．23．（22-23八年级上·辽宁营口·期中）如图所示，在中，，，，为的中点，点在线段上由点出发向点运动，同时点在线段上由点出发向点运动，设运动时间为．

(1)若点与点的速度都是，则经过多长时间与全等？请说明理由．(2)若点的速度比点的速度慢，则经过多长时间与全等？请求出此时两点的速度．(3)若点、点分别以（2）中的速度同时从点，出发，都按逆时针方向沿三边运动，则经过多长时间点与点第一次相遇？相遇点在的哪条边上？请求出相遇点到点B的距离．24．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图1，在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明：，再证明，可得出结论，他的结论应是；【灵活运用】（2）如图2，若在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．并证明你的结论．

第07讲“AAS”与“HL”判定三角形全等（2个知识点+8个考点）模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解并掌握三角形全等的判定方法——“AAS”，“HL”．(重点)2．能运用“AAS”“HL”判定方法解决有关问题．(重点)3．“AAS”和“HL”判定方法的探究以及适合“角边角”判定方法的条件的寻找．(难点)知识点1.三角形全等的推论：角角边（重点）1.全等三角形判定——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）要点归纳：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.【例1】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于E.AD与BE交于F，若BF＝AC，求证：△ADC≌△BDF.解析：先证明∠ADC＝∠BDF，∠DAC＝∠DBF，再由BF＝AC，根据AAS即可得出两三角形全等．证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠ADC＝∠BDF＝∠BEA＝90°.∵∠AFE＝∠BFD，∠DAC＋∠AEF＋∠AFE＝180°，∠BDF＋∠BFD＋∠DBF＝180°，∴∠DAC＝∠DBF.在△ADC和△BDF中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠DAC＝∠DBF，,∠ADC＝∠BDF，,AC＝BF，))∴△ADC≌△BDF(AAS)．方法总结：在“AAS”中，“边”是“其中一个角的对边”．【变式1-1】如图，在四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠CED+∠B＝180°．求证：△ADE≌△CAB．【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD，∴AD＝AC，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠ACB，∵∠CED+∠B＝180°，∠CED+∠AED＝180°，∴∠AED＝∠B，在△ADE与△CAB中，∠DAE=∠ACB∠AED=∠B∴△ADE≌△CAB（AAS）．【变式1-2】（2023八年级·浙江湖州·期末）如图，已知OA=OC，∠B=∠D，∠AOC=∠BOD．求证：△AOB≌△COD．

【答案】见解析【分析】利用AAS，证明△AOB≌△COD即可．【详解】∵∠AOC=∠BOD，∴∠AOC−∠AOD=∠BOD−∠AOD，即∠COD=∠AOB，又∵OA=OC，∠B=∠D，∴△AOB≌△COD．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理，是解题的关键．【变式1-3】（2023八年级·湖北孝感·期中）如图,在△ABC中，AD是BC边上的中线,CE⊥AD于点E，BF⊥AD交AD的延长线于点F．(1)求证：CE=BF；(2)若AE+AF＝16,求AD的长．【答案】(1)见解析(2)8【分析】本题考查了根据三角形的中线求线段长度、全等三角形(AAS（1）中线可得BD=CD，通过两个垂直可以判断两个角都为90°，还有对顶角,通过(AAS（2）通过观察可发现AE+AF根据（1）中的全等可拆分为2AD，从而得出答案．【详解】（1）证明：∵AD是BC的边上的中线，∴BD=CD，∵CE⊥AD，∴∠BFD=∠CED=90°．

在△BFD和△CED中,∠BFD=∠CED∠BDF=∠CDE∴△BFD≌△CED(AAS∴BF=CE．（2）由（1）知△BFD≌△CED，∴DF=DE，∵AE+AF=16，∴AE+AE+DE+DF=2AE+2DE=16，∴2AD=16，∴AD=8．故AD=8．知识点2.直角三角形全等的判定方法：HL（重点）【例2】如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF.求证：Rt△ABF≌Rt△DCE.解析：由题意可得△ABF与△DCE都为直角三角形，由BE＝CF可得BF＝CE，然后运用“HL”即可判定Rt△ABF与Rt△DCE全等．证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.∵∠A＝∠D＝90°，∴△ABF与△DCE都为直角三角形．在Rt△ABF和Rt△DCE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BF＝CE，,AB＝CD，))∴Rt△ABF≌Rt△DCE(HL)．方法总结：利用“HL”判定三角形全等，首先要判定这两个三角形是直角三角形，然后找出对应的斜边和直角边相等即可．【变式2-1】（2023八年级·陕西渭南·期末）如图，在Rt△ABC和Rt△DAB中，AC=DB，判断Rt△ABC解：在Rt△ABC和RtAC=DB∴Rt△ABC≌上面的解答过程正确吗？若不正确，请你说明错误的原因．【答案】不正确，错误原因见解析．【分析】根据直角三角形全等的判定定理判定．【详解】解：不正确，错误原因如下：∵AB在Rt△ABC中是斜边，在Rt∴不满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等的条件，∴解答过程不正确．【点睛】本题考查了直角三角形的全等判定，熟练掌握判定定理是解题的关键【变式2-2】（2023八年级·山东济南·期末）如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′【答案】见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到CB=2CD，C′B′=2C′D′，由【详解】证明：∵AD与A′D′分别为BC∴CB=2CD，C′∵CD=C∴CB=C在Rt△ABC和RtAB=A∴Rt△ABC≌【变式2-3】（2023八年级·广西南宁·期中）已知，如图，点A、E、F、B在同一条直线上，CA⊥AB，DB⊥AB，AE=FB，CF=DE

(1)求证：△CAF≌(2)若∠AFC=25°，求∠D的度数【答案】(1)见解析(2)65°【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理：（1）先证AF=BE，再证△CAF≌（2）根据△CAF≌△DBE可得【详解】（1）证明：∵CA⊥AB，DB⊥AB，∴△CAF和△DBE是直角三角形，∵AE=FB，∴AE+EF=FB+EF，即AF=BE，在Rt△CAF和RtAF=BECF=DE∴△CAF≌（2）解：∵△CAF≌∴∠BED=∠AFC=25°，∵DB⊥AB，∴∠B=90°，∴∠D=180°−∠B−∠BED=180°−90°−25°=65°．考点1：证明线段相等1.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，已知在△ABC中，GF∥AC，∠BDE=∠BFG，∠AGH=∠C，BE=AH．求证：【答案】见解析【分析】本题考查了平行线性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，根据两直线平行同位角相等，得到∠BFG=∠C，结合题意以及三角形内角和可得∠B=∠AHG，利用AAS证明△BDE≌△HGA，即可得出结论．【详解】证明：∵GF∥∴∠BFG=∠C，∵∠BDE=∠BFG，∴∠BDE=∠C，∵∠AGH=∠C，∴∠BDE=∠AGH，∵∠B+∠A+∠C=∠AGH+∠A+∠AHG=180°，∴∠B=∠AHG，在△BDE和△HGA中，∠BDE=∠HGA∠B=∠AHG∴△BDE≌△HGAAAS∴BD=GH．2.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.解析：根据“HL”证Rt△ADC≌Rt△AFE，得CD＝EF，再根据“HL”证Rt△ABD≌Rt△ABF，得BD＝BF，最后证明BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF.∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．3.（2023八年级·湖北十堰·期末）已知：如图，AC=AE，∠BAD=∠EAC=∠EDC．

(1)若△ABC中，∠B<90°，D为BC上的一点，DE与AC相交于点F，求证：AD=AB．(2)若△ABC中，∠B>90°，D在CB的延长线上，AE交CB的延长线相交于点E，则（1）的结论是否仍然成立？若成立，请完成下图，并加以证明；若不成立，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)结论成立，见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图，找出角度之间的关系是解题的关键．（1）求出∠BAC=∠DAE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B=∠ADE，然后利用“角角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）作出图形，与（1）的证明思路相同进行证明即可．【详解】（1）解：证明：∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠B=∠ADE+∠EDC，∴∠B=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠B=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB；（2）明：结论AD=AB成立．证明如下：如图，

∵∠BAD=∠EAC，∴∠BAD−∠BAE=∠EAC−∠BAE，即∠BAC=∠DAE，∵∠BAD+∠ADB=∠ABC，∠ADB+∠EDC=∠ADE，∵∠BAD=∠EDC∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE∠ABC=∠ADE∴△ABC≌△ADEAAS∴AD=AB．考点2：证明角相等4.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD，求证：∠1＝∠2.解析：要证角相等，可先证明全等．即证Rt△ABC≌Rt△ADC，进而得出角相等．证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，∴∠B＝∠D＝90°，∴△ABC与△ACD为直角三角形．在Rt△ABC和Rt△ADC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,AC＝AC，))∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠1＝∠2.方法总结：证明角相等可通过证明三角形全等解决．5.（2023八年级·浙江温州·期中）已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE=CF．求证：∠B=∠C．完成下面的证明过程．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=__________=90°．∵D是BC的中点，∴BD=__________，又∵BE=CF，∴Rt∴∠B=∠C．【答案】∠CFD，CD，HL【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质知识；证明Rt△BDE≌Rt△CDF【详解】解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°∵D是BC的中点，∴BD=CD又∵BE=CF，∴∴∠B=∠C．6．（2023八年级·山东济南·期中）如图，在△ABF与△DCE中，点E，F在线段BC上，BE=CF，AF=DE，∠B=∠C=90°，求证：∠A=∠D．

【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质．由“HL”可证Rt△ABF≌【详解】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和RtAF=DEBF=CE∴Rt∴∠A=∠D．7．（2023·云南·模拟预测）如图，D是△ABC内部的一点，BD=CD，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且BE=CF．求证：∠DBE=∠DCF．【答案】见解析【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．根据HL可证明Rt△DBE≌【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．在Rt△BDE和RtBE=CFBD=CD∴Rt∴∠DBE=∠DCF．考点3：证明线段之间的关系8.已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E.求证：(1)△BDA≌△AEC；(2)DE＝BD＋CE.解析：(1)由垂直的关系可以得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由AB＝AC，利用AAS即可得证；(2)由△BDA≌△AEC，可得BD＝AE，AD＝EC，根据DE＝DA＋AE等量代换即可得证．证明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，∴∠ADB＝∠CEA＝90°，∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∵AB⊥AC，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∴∠ABD＝∠CAE.在△BDA和△AEC中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ADB＝∠CEA＝90°，,∠ABD＝∠CAE，,AB＝AC，))∴△BDA≌△AEC(AAS)；(2)∵△BDA≌△AEC，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.方法总结：利用全等三角形可以解决线段之间的关系，比如线段的相等关系、和差关系等，解决问题的关键是运用全等三角形的判定与性质进行线段之间的转化．9.（2023八年级·江苏苏州·期末）如图，在四边形OACB中，CE⊥OA于E，∠1=∠2，CA=CB．求证：∠3+∠4=180°；OA+OB=2OE．

【答案】详见解析【分析】过点C向OB作垂线，构建全等三角形，继而根据平角定义以及线段的和差即可证得结论．【详解】如图，过点C作CF⊥OB与点F，则∠F=∵∠1=∠2，OC=OC，∴△FOC≅△EOC，∴CE=CF，OE=OF，∵CA=CB，∠CEA=∠CFB=90°，∴Rt∴∠4=∠CBF，AE=BF，∵∠3+∠CBF=180°，∴∠3+∠4=180°，∴OA+OB=OE+AE

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构建全等三角形是解题的关键．10.如图，四边形中，，连接对角线，且，点在边上，连接，过点作，垂足为，若．

(1)求证：；(2)求证：．【详解】（1）证明：，，，，在和中，．（2）连接，由证明可得，，在和中，．，，．

考点4:解决实际问题11.（2023八年级·安徽·专题练习）如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小间的关系是（）A．∠ABC=∠DFE B．∠ABC＞∠DFEC．∠ABC＜∠DFE D．∠ABC+∠DFE=90°【答案】D【分析】由题意易证Rt△ABC≌Rt△DEF，从而可得∠BCA=∠DFE，再利用直角三角形两锐角互余即可得正确结论．【详解】∵∠CAB=∠FDE=90°在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC=EFAC=DF∴△ABC≌△DEF∴∠BCA=∠DFE又∵在Rt△ABC中,∴∠ABC+∠DFE=90°故选：D【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定和性质在实际问题中的应用，问题简单．12.（2023八年级·江苏扬州·期中）如图，小明与小敏玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是42cm，当小敏从水平位置CD下降16cm时，小明离地面的高度是【答案】58【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，将实际生活与全等三角形的知识结合是解题关键．【详解】解：由题意得：OC=OD，∠FCO=∠GDO=90°，DG=16∵∠FOC=∠GOD，∴△FOC≌△GOD∴CF=DG=16∵支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是42cm∴小明离地面的高度是：42+16=58故答案为：5813.（2023八年级·河北邢台·期中）在一次数学活动中，为了测一堵墙上点A的高度AM，嘉淇设计了如下方案：第一步：找一根长度大于AM的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记录直杆与地面的夹角∠ABM=55°；第二步：使直杆顶端沿墙面竖直缓慢下滑，使得∠MDC=°，标记此时直杆的底端点D；第三步：测量地面上线段的长度，即为点A的高度．若测得BM=5m，DM=7m，直杆下滑的高度AC=【答案】35°DM2【分析】测一堵墙上点A的高度AM，可构造Rt△AMB≌Rt△DMC，则DM=AM，即DM的长度就是点A【详解】解：根据题意得，∠ABM=55°，AM⊥DM，通过构造直角三角形DMC与直角三角形AMB全等，∴∠MDC=90°−55°=35°，∵利用“角角边”构造Rt△AMB≌∴AM=DM，∴测量DM的长即为墙上点A的高度AM，∵Rt△AMB≌∴BM=MC=5m，DM=AM=7m，AC=AM−MC，∴AC=7−5=2m．【点睛】本题主要考查全等三角形性质的应用，构造三角形全等是解题的关键．14.（2023八年级·陕西西安·期末）数学活动课上，小宇带着组员想要测量学校博智楼AB的高度．他们的测量方案如下：在大树DE与博智楼AB之间找到一点C，使得此时树的顶端点D处的视线CD与博智楼的顶端A处的视线交于点C，此时，测量得知∠ACB与∠DCE互余，且BC=DE=10米，BE=28米．请你求出博智楼AB的高度．

【答案】博智楼AB的高度是18米【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据∠B=∠E=90°，得出∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，结合角的等量代换得出∠A=∠DCE，即可证明△ABC≌△CEDAAS【详解】解：由题意，得∠B=∠E=90°．∵∠A+∠ACB=90°，∠ACB+∠DCE=90°，∴∠A=∠DCE．在△ABC与△CED中，∠A=∠DCE,∴△ABC≌△CEDAAS∴AB=CE．∵BE=28，BC=10，∴CE=28−10=18，即AB=18．答：博智楼AB的高度是18米．15.（2023八年级·湖北孝感·期中）如图所示，为了固定电线杆AD，将两根长均为10m的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚B,C离电线杆底部D

【答案】相等，见解析【分析】根据直角三角形全等的判定方法即可得．【详解】相等．理由如下：解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADB和Rt△ADC中，∴Rt∴BD=CD，即两个针B,C离电线杆底部D的距离相等．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定．16.（2023八年级·山东临沂·期末）张华与爸爸妈妈在公园里荡秋千，如图，张华坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.1m高的B处接住他后用力一推，爸爸在C处接住他．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.6m和2m(1)△OBD与△OCE全等吗？请说明理由；(2)爸爸是在距离地面多高的地方接住张华的？（提示：夹在两条平行线间的垂直线段都相等．）【答案】(1)全等，见解析(2)1.5【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．（1）根据AAS证明△COE与△OBD全等即可；（2）根据全等三角形的性质得出CE=OD，OE=BD，求出DE=OD−OE=CE−BD=2−1.6=0.4，根据AE=AD+DE求出结果即可．【详解】（1）解：△COE≌△OBD．理由如下：由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC，∵∠BOC=90°，∴∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°．∴∠COE=∠OBD．在△COE和△OBD中，∠COE=∠OBD∠CEO=∠ODB∴△COE≌△OBDAAS（2）解：∵△COE≌△OBD，∴CE=OD，OE=BD．∵BD=1.6，CE=2，∴DE=OD−OE=CE−BD=2−1.6=0.4．∵AD=1.1，∴AE=AD+DE=1.5m答：爸爸是在距离地面1.5m的地方接住张华的．考点5：巧构全等三角形解决问题(1)．作公共边可构造全等三角形：17.如图：在四边形ABCD中，AD∥CB，AB∥CD.求证：∠B＝∠D.【思路点拨】∠B与∠D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC，∵AD∥CB，AB∥CD.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4在△ABC与△CDA中∴△ABC≌△CDA（ASA）∴∠B＝∠D【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证∠A＝∠C，则连接对角线BD.18.在ΔABC中，AB＝AC.求证：∠B＝∠C【答案】证明：过点A作AD⊥BC在Rt△ABD与Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠B＝∠C.(2)．倍长中线法：19.己知：在ΔABC中，AD为中线.求证：AD＜【答案与解析】证明：延长AD至E，使DE＝AD，∵AD为中线，∴BD＝CD在△ADC与△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC＝BE在△ABE中，AB＋BE＞AE，即AB＋AC＞2AD∴AD＜.【总结升华】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180°.20、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．方法1：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）∴AC=BE，∠E=∠2∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC方法2：如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E∵BE∥AC∴∠E=∠2在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（AAS）∴BE=AC∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC(3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形：21、在ΔABC中，AB＞AC.求证：∠B＜∠C【答案与解析】证明：作∠A的平分线，交BC于D，把△ADC沿着AD折叠，使C点与E点重合.在△ADC与△ADE中∴△ADC≌△ADE（SAS）∴∠AED＝∠C∵∠AED是△BED的外角，∴∠AED＞∠B，即∠B＜∠C.【总结升华】作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形.(4)．利用截长(或补短)法构造全等三角形：22.如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．【思路点拨】因为AB＞AC，所以可在AB上截取线段AE＝AC，这时BE＝AB－AC，如果连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE．这表明只要证明ME＝MC，则结论成立．【答案与解析】证明：∵AB＞AC，则在AB上截取AE＝AC，连接ME．在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）．在△AMC和△AME中，∴△AMC≌△AME（SAS）．∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．【总结升华】充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键.(5)．巧用“延长法”构造全等三角形：23.如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于D，CE⊥BD的延长线于点E，求证：CE=【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明△ABD≌△ACF(ASA)，得出BD=CF，证明△BCE【详解】证明：如图所示，延长CE、BA相交于点F．∵∠EBF+∠F=90°，∠ACF+∠F=90°∴∠EBF=∠ACF．又∵AB=AC，∠BAC=∠CAF∴△ABD∴BD=CF，在△BCE和△BFE中∠EBF=∠CBE∴△BCE∴CE=EF，∴CE=12CF=12考点6：利用全等三角形解决设计测量方案问题24.池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．八年级一班甲，乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可．乙：如图②，先确定直线，过点作直线，在直线上找可以直接到达点的一点，连接，作，交直线于点，最后测量的长即可．请分析两种方案可行的理由．

【详解】解：甲同学方案：在和中，，，，，；乙同学方案：在和中，，，，，．25.如图，有一条河流（假设河流两岸平行，即），由于河水湍急，无法下水，为了测量河的宽度，林师傅给出了以下方法：

在河岸上确定点A（如图），利用红外线光束，在河岸上确定点，使得与河岸垂直；从A点沿河岸向东直走，记为点（如图），继续向东直走，到达点；从点沿垂直河岸的方向行走，行走过程中，用红外线光束一直对准，当点刚好出现在红外线光束上时，停下，记为点；测得的长为．(1)根据上述方法，河流的宽度为______m；(2)请你根据林师傅的方法，利用三角板和刻度尺，在图中画出，，的位置，并结合题意说明林师傅作法的科学性．【答案】(1)8(2)见解析【详解】（1）解：根据题意可得，河流的宽度为，故答案为：；（2）解：画出图形如下：

根据题意可得：，，，，∴．26．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在七年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端A，B的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量A，B的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案：甲：如图①，先在平地上取一个可以直接到达点A，B的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可．乙：如图②，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可．(1)甲、乙两同学的方案哪个可行？(2)请说明方案可行的理由．【答案】(1)甲同学的方案可行(2)见解析【详解】（1）解：甲同学的方案可行；乙同学方案不可行；（2）甲同学方案：在和中，，∴，∴；乙同学方案：在和中，只能知道，，不能判定与全等，故方案不可行．考点7：全等三角形的探究题27.已知：如图，，是的中点，平分．(1)若连接，则是否平分？请你证明你的结论；(2)线段与有怎样的位置关系？请说明理由．【详解】（1）平分，理由为：证明：过点作，垂足为，∵平分，∴，∵，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等），又∵，∴，∵，，∴平分（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．（2），理由如下：∵，∴，∴（垂直于同一条直线的两条直线平行），∴（两直线平行，同旁内角互补）又∵（角平分线定义）∴，∴，∴．即．28.如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG．（1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG的形状，并说明理由．【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下：如图，延长BE、AC交于点H，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEH＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAE＝∠HAE，在△BAE和△HAE中，，∴△BAE≌△HAE（ASA），∴BE＝HE＝BH，∵∠ACB＝90°，∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD，∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD，在△BCH和△ACD中，，∴△BCH≌△ACD（ASA），∴BH＝AD，∴BE＝AD．（2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下：∵AC＝BC，AF＝BF，∴CF⊥AB，∴AG＝BG，∴∠GAB＝∠GBA，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°，∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°，∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，∵∠BEG＝90°，∴∠EBG＝∠EGB＝45°，∴EG＝EB，∴△BEG是等腰直角三角形．考点8：动点问题29.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？解析：本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．解：根据三角形全等的判定方法HL可知：(1)当P运动到AP＝BC时，∵∠C＝∠QAP＝90°.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝BC，,PQ＝AB，))∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，∴AP＝BC＝5cm；(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.在Rt△ABC与Rt△QPA中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AP＝AC，,PQ＝AB，))∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，∴AP＝AC＝10cm，∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．方法总结：判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．30.（2023八年级·山东淄博·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7．点O在BC上，且CO=1，点M是AC上一动点，连接OM，将线段OM绕点O逆时针旋转90°，得到线段OD，要使点D恰好落在AB上，CM的长度为．【答案】5【分析】如图，作辅助线；首先证明ΔDOE≅ΔOMC，得到OC=DE，CM=OE；其次证明BE=DE，求出OE，即可解决问题．【详解】解：如图，过点D作DE⊥OB于点E；∵∠DEO=∠DOM=∠C，∴∠DOE+∠COM=∠COM+∠CMO，∴∠DOE=∠OMC；由题意得：OD=OM；在ΔDOE与ΔOMC中，∠DOE=∠OMC∠DEO=∠OCM∴ΔDOE≅ΔOMC(AAS)，∴DE=OC=1，CM=OE；∵ΔABC为等腰直角三角形，∴∠B=45°，∠BDE=45°，∴BE=DE=1，OE=7−1−1=5，∴CM=OE=5，故答案为5．【点睛】本题主要考查了旋转变换的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，构造全等三角形；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质等几何知识点来分析、判断、推理或解答.31.（2023八年级·湖北武汉·期中）如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，BC=12cm，直线l经过点C．点M以每秒2cm的速度从B点出发，沿B→C→A路径向终点A运动；同时点N以每秒1cm的速度从A点出发，沿A→C→B路径向终点B运动；两点到达相应的终点就分别停止运动．分别过M、N作MD⊥l于点D，NE⊥l于点E．设运动时间为t秒，要使以点M，D，C为顶点的三角形与以点N，E，C为顶点的三角形全等，则t的值为【答案】173【分析】分0≤t≤5，5<t≤6，6<t≤8.5以及8.5<t≤17四种情况进行讨论，利用全等三角形的判定，进行求解即可．【详解】解：∵AC=5cm，BC=12M从B运动到C需要：12÷2=6s，从C运动到A需要：5÷2=2.5∴M运动的总时间为：8.5sN从A运动到C需要：5÷1=5s，从C运动到B需要：12÷1=12∴N运动的总时间为：17s∴当0≤t≤5时：MC=12−2t，CN=5−t，∵MD⊥l，NE⊥l，∴∠MDC=∠NEC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠MCD+∠NCE=∠MCD+∠CMD，∴∠NCE=∠CMD，∴当MC=NC时：△MDC≌△CENAAS即：12−2t=5−t，∴t=7（不合题意，舍去）；当：5<t≤6时，MC=12−2t，CN=t−5，当M,N重合时，，即：CM=CN，△MDC≌△CEN，∴12−2t=t−5，解得：t=17当：6<t≤8.5时，MC=2t−12，CN=t−5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°−∠MCD，∴当MC=NC时：△MDC≌△CENAAS即：2t−12=t−5，解得：t=7；当：8.5<t≤17时，MC=5，CN=t−5，∵∠MDC=∠NEC=90°，∠NCE=∠CMD=90°−∠MCD，∴当MC=NC时：△MDC≌△CENAAS即：5=t−5，解得：t=10；综上：当t的值为173故答案为：173【点睛】本题考查全等三角形中的动点问题．熟练掌握全等三角形的判定，根据动点的位置，进行分类讨论，是解题的关键．32．（2023八年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段(1)当∠BDA=115°时，∠EDC=°，∠DEC=(2)当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由．【答案】(1)25，115(2)2【分析】此题主要考查三角形综合题，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；（2）当DC=2时，利用∠DEC+∠EDC=140°，∠ADB+∠EDC=140°，求出∠ADB=∠DEC，再利用AB=DC=2，即可得出△ABD≌【详解】（1）解：∵∠ADE=40°，∠∴∠EDC=180°−∴∠AED=∴∠DEC=180°−（2）解：当DC=2时，△ABD≌∵∠C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ADB=∠DEC，在△ABD和△DCE中，∠ADB=∠DEC∠B=∠C∴△ABD≌△DCEAAS33.如图，已知中，，，，点为的中点．

(1)如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动．①若点的运动速度与点的运动速度相等，经过秒后，与是否全等，请说明理由．②若点的运动速度与点的运动速度不相等，当点的运动速度为___时，在某一时刻也能够使与全等．(2)若点以②中的运动速度从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都按逆时针方向沿的三边运动．求经过多少秒后，点与点第一次相遇，并写出第一次相遇点在的哪条边上？【答案】(1)①全等，理由见详解；②(2)经过后，点与点第一次在边上相遇【详解】（1）解：①全等，理由如下，∵，∴，∵，点为的中点，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，在中，，∴；②假设，且，∴，∵，，∴，，∴点，点运动的时间，∴点的速度为：，∴当点的运动速度为时，与全等，故答案为：．（2）解：设经过后点相遇，∴，解得，，∴点共运动了，∵，∴点，点在边上相遇，∴经过后，点与点第一次在边上相遇．34.已知：中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且．(1)如图，当点D在线段上时，过点E作于H，连接DE，求证：；

(2)如图，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M．求证：．

【详解】（1）∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴．（2）如图，作交的延长线于点F，

∵，，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∵．35．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级校考期中）如图①，，，，．点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，它们运动的时间为．

(1)______；（用t的式子表示）(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；(3)如图②，将图①中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数x，使得与全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)；；理由见解析(3)存在，或，使得与全等【详解】（1）解：∵点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，∴，∵，∴，故答案为：．（2）解：，，理由如下：当时，，，又，在和中，∵，，，，，∴．（3）解：由题意可得：，，，，①若，则，，则，，解得：，；②若，则，，则，解得：，；综上所述，存在，或，使得与全等．一、单选题1．（23-24八年级上·天津宁河·期中）已知为的角平分线，作于D，则下列结论：；；；．其中一定成立的有（

）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；先证得，，，则①②③成立，再由直角三角形的性质得，，当时，，则④不一定成立，即可得出结论．【详解】∵为的角平分线，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，，故①②③成立，∵，∴，，当时，，故④不一定成立，一定成立的有3个，故选：C．2．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）在中，，中线，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，作辅助线（延长至，使，连接）构建全等三角形，然后由全等三角形的对应边相等知；而三角形的两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，据此可以求得的取值范围．【详解】解：延长至，使，连接，则，∵是边上的中线，是中点，∴，又∵，∴，∴，由三角形三边关系，得，即，∴．故选：B．3．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．先根据得到，根据“”对①进行判断；根据“”对③进行判断；根据“”对④进行判断；根据全等三角形的判定方法对②进行判断．【详解】解：∵，∴，即，当时，在和中，，∴；当时，不能判断．当时，在和中，，∴；当时，在和中，，∴；综上分析可知，能使的条件有3个．故选：C．4．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在四边形中，，平分，，，，，则的面积是（

）

A． B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义和三角形的面积，利用全等三角形的性质求出是解此题的关键．可以过D作，交的延长线于F，证明得出，，再证明，得出，求出，求出的面积即可．【详解】解：过D作，交的延长线于F，

∵平分，∴，在和中，，∴∴，，在和中，∴，∴，∴∴的面积为，故选：A．5．（23-24八年级上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法画角平分线：如图摆放使得三角板刻度相同，即，画射线，则平分．作图过程用了，那么所用的判定定理是（

），A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判断和性质是解题的关键．根据已知条件得出得出答案．【详解】解：∵，∴，在和中，，∴．故选：C．6．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，于，于，，要根据“”证明，则还要添加一个条件是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】此题考查的是直角三角形的全等的判定，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“”）．直接根据直角三角形的全等的判定方法可得答案．【详解】解：在和中，，，故选：B．7．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）如图所示，在中，，为的中点，过点分别向、作垂线段，则能够说明的理由是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据证明即可，解题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定方法，，，，．【详解】∵为中点，∴，∵由点分别向、作垂线段、，∴，在与中，，∴，故选：．8．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，交于点，交于点，，，，给出下列结论：；②；③；，其中正确的有（）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，证明得出，即可判断①②；证明即可判断③；证明得出，即可判断④，从而得出答案．【详解】解：，，，，，，故②正确，符合题意；，即，故①正确，符合题意；，，，，，故③正确，符合题意；，，，，，，，，，和不一定相等，故④错误，不符合题意；综上所述，正确的有①②③，故选：A．9．（22-23八年级上·重庆綦江·期末）如图所示，在中，，平分，为线段上一动点，为

边上一动点，当的值最小时，的度数是（

）A．118° B．125° C．136° D．124°【答案】D【分析】先在上截取，连接，证明，得出，说明，找出当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，根据三角形外角的性质可得答案．【详解】解：在上截取，连接，如图：∵平分，，∴，∵，∴，∴，∴，∴当A、P、E在同一直线上，且时，最小，即最小，过点A作于点E，交于点P，如图：∵，，∴．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，三角形内角和定理与三角形的外角的性质，解题的关键是找出使最小时点P的位置．10．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在五边形中，，，，且，，则五边形的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、三点共线，解题的关键是利用全等的性质将面积进行转化．将绕点A逆时针旋转至，首先证明点D，E，F三点共线，证明，得到，，再将所求面积转化为进行计算即可．【详解】如图，将绕点A逆时针旋转至，，，则，，，即点D，E，F三点共线，，，即，在和中，，，，五边形的面积为：，，．故选：D．二、填空题11．如图，中，，分别过点B、C作过点A的直线的垂线，垂足分别为D、E，若，则．【答案】5【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．首先证明，然后再根据定理证明，根据全等三角形的性质可得，，进而得到答案．【详解】解：，，，，，，，，在和中，，，，．故答案为：5．12．（22-23八年级上·湖南益阳·期末）如图，在四边形中，，过的中点O，分别交和于点E、F，若，则．【答案】2【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法，性质是解题的关键．根据，可得，根据点是的中点，可得，可证，根据全等三角形的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∵点是的中点，∴，在中，，，∴，∴，故答案为：．13．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，D为中斜边上的一点，且，过D作BC的垂线，交于E．若，则的长为cm【答案】6【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先连接，再根据“”证明，然后根据全等三角形的性质得出答案．【详解】连接．在和中，，∴，∴．故答案为：6．14．（2024·四川成都·二模）要测量河岸相对两点A、B的距离，已知垂直于河岸，先在上取两点C、D，使，再过点D作的垂线段，使点A、C、E在一条直线上，如图．若测出米，则的长为米．【答案】20【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟练掌握全等三角形的判定定理是关键．由、均垂直于，即可得出，结合、即可证出，由此即可得出，此题得解．【详解】解：，，，在和中，，，．故答案为：20．15．（23-24八年级下·湖南邵阳·期中）如图，ABC中，，是上一点，连接，过点作，垂足为，，若，则的值为．【答案】/14厘米【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由“”可证，可得，即可求解．【详解】解：在和中