第1讲 三角讲义 上海市高三数学一轮复习

第第页第1讲三角学习目标：1.理解任意角、象限角和终边相同的角的概念，掌握角度与弧度之间的转化，以及扇形的弧长及面积公式；2.掌握任意角的三角比的定义，同角三角比的关系；3.掌握诱导公式，两角和与差的正余弦（正切）公式、倍角公式，会进行化简、求值与证明.课堂引入课堂引入三角学是以三角形的边角关系为基础，研究几何图形中的数量关系及其在测量方面的应用的数学分支。“三角学”一词的英文“trigonometry”就是由两个希腊词“三角形”和“测量”合成的。现在，三角学主要研究三角函数的性质及其应用。1463年，法国学者缪勒在《论三角》中系统总结了前人对三角的研究成果。17世纪中叶，三角由瑞士人邓玉函（JeanTerrenz1576-1630)传入中国。在邓玉函的著作《大测》二卷中，主要论述了三角函数的性质及三角函数表的制作和用法。当时，三角函数是用左图中的八条线段的长来定义的，这已与我们刚学过的三角函数线十分类似。著名数学家、物理学家和天文学家欧拉（LéonardEuler)1707年出生于瑞士的巴塞尔，1720年进入巴塞尔大学学习，后获硕士学们。1727年起，他先后到俄国、德国工作，1766年再次到俄国直至逝世。1748年，欧拉出版了一部划时代的著作《无穷小分析概论》，其中提出三角函数是对应的三角函数线与圆的半径的比值，并令圆的半径为1，这使得对三角函数的研究大为简化，他还在此书的第八章中提出了弧度制的思想。他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是，所对圆心角的正弦是0，即，同理，圆的1/4的长是，所对圆心角的正弦是1，可记作。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及其计算。18世纪中叶，欧拉给出了三角函数的现代理论，他还成功地把三角函数的概念由褛范围推广到复数范围。值得指出，1735年，欧拉右眼失明，《无穷小分析概论》这部著作出自版于他这一不幸之后。他的著作，在样式、范围和记号方面堪称典范，因此被许多大学作为教科书采用。1766年，他回到俄国不入，又转成双目失明，他以惊人的毅力，在圣彼得堡又用口述由别人记录的方式工作了近17年，直到1783年去世。1909年，瑞士自然科学学会开始出版欧拉全集，使他卷帙浩繁的著作得以流芳百世，至今已出版七十余卷。知识梳理知识梳理知识点一、正弦、余弦、正切、余切–知识概括–1.终边相同的角：2.弧度制：弧度，弧度.3.扇形的弧长和面积：，4.任意角的正弦、余弦、正切、余切：设是一个任意角，它的终边上一点,正弦余弦正切余切5.各三角比在各个象限的符号：–例题分析–【例1】若扇形的圆心角为，半径为5，则扇形的弧长为，面积为.【例2】已知圆的一段弧长等于其内接正三角形的周长，则这段弧所对圆心角的弧度数是．【例3】函数的值域是.【例4】已知点第三象限，则角的终边在第象限．【例5】(1)已知角的终边在直线上，若且，求实数的值；(2)已知角的终边上一点，且，求和的值.–敏学思途–1.终边落在轴的正半轴上的角可表示为.2.已知是第一象限的角，问：是第几象限的角？3.已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是.(1)若，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？知识点二、同角三角比关系、诱导公式–知识概括–1.平方关系：2.商数关系：，3.倒数关系：4.诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限5.已知正弦、余弦、正切求角的角的全体为或，可简记作．同理可得，则；，则–例题分析–【例1】已知是第三象限角，且，求的值.【例2】满足方程的角的集合是.【例3】方程在区间上的解集为.【例4】已知，且，则的值是.【例5】若，则. 【例6】设，求下列各式的值：(1)(2)(3)【例7】已知，且，则=.【例8】已知，且、是方程的两根，求，，的值．–敏学思途–1.已知，且是第二象限角，那么的值是．2.已知为第三象限角，，则___________.3.已知角，，且满足，则角为．4.若，则．5.化简的结果为（）A.B.C.D.6.已知，则.7.若，是方程的两根，则．8.已知,则.知识点三、常用三角公式–知识概括–1.(1)两角差的余弦、正弦和正切(2)两角和的余弦、正弦和正切2.二倍角公式3.(1)半角的正弦、余弦公式：(2)半角的正切、余切公式：4.辅助角公式(其中角所在的象限由a,b的符号确定，角的值由,确定)在求最值、化简时起着重要作用.5.（1）积化和差公式（2）和差化积公式6.基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如，，，，等）；（2）三角比名互化(切割化弦)；（3）公式变形使用（；（4）三角比次数的降升(降幂公式：，与升幂公式：，)；（5）式子结构的转化(对角、三角比名称、式子结构化同)；（6）常值变换主要指“1”的变换（），（7）正余弦“三兄妹—”的内在联系――“知一求二”，若，则，特别提醒：．–例题分析–【例1】若为锐角，且，则.【例2】已知，则.【例3】若可化为，则.【例4】若，，则．【例5】已知是方程的两根，若，则的值是.【例6】已知为锐角，且满足，则＝.【例7】已知，则．【例8】____________.【例9】已知，则（）A.B.C.D.【例10】化简，【例11】已知，且，求的值【例12】已知，求的值【例13】已知：，，求的值.【例14】已知，求和【例15】已知，求的值.–敏学思途–1.已知，则．2.若，，则___________.3.已知，则.4.已知.5.已知，那么的值为，的值为.6.已知，，则，.7.己知，则.8．已知，则的值为.9.设点是以原点为圆心的单位圆上的一个动点，它从初始位置出发，沿单位圆按顺时针方向转动角后到达点，然后继续沿着单位圆按顺时针方向转动角到达点，若点的纵坐标为，则点的坐标为．已知:，求tanα的值.

11．求证：12．设，且，满足（1）求的值．（2）求的值．13.已知，，且，是锐角．（1）求的值；（2）求的值．勇攀高峰勇攀高峰1.若实数，且满足，则称是“余弦相关”的.（1）若，求出所有与之“余弦相关”的实数；（2）若实数是“余弦相关”的，求的取值范围；（3）若不相等的两个实数是“余弦相关”的，求证：存在实数，使得x、z为“余弦相关”的，y、z也为“余弦相关”的.师生总结师生总结自主巩固自主巩固1.判断下列命题的真假，并说明理由．(1)若是第一象限的角，则也必是第一象限的角；(2)弧度的角与的角是终边相同的角；(3)终边在轴上的角的集合为；(4)终边在轴上方的角的集合为.2.设角的终边经过点，那么___________.3.点是角终边上一点，那么.4.若，为锐角，且，，则．5.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与单位圆的交点坐标是，则.6.化简:.7.把化为（其中，的形式：．8.已知，则．9.化简：的结果为__________.10.方程在，上的解组成的集合为．11.已知角的终边经过点，且，则角的大小.12.已知，则=.13.若且，则.14.若则15.方程的解集为_________________.16.已知，，都是锐角，则的值为___________.17.设函数，其中都是非零实数，且满足，则___________.18.在锐角三角形中，若，则的最小值是．19.提鞋公式也叫李善兰辅助角公式，其正弦型下:下列判断错误的是（）A.当时，辅助角B.当时，辅助角C.当时，辅助角D.当时，辅助角20.若，的化简结果是A． B． C． D．21.化简（）A.1B.C.D.22.如图所示，在平面直角坐标系中，以轴为始边作两个锐角，它们的终边