第04讲 二次函数的应用-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题04二次函数的应用★知识点1：图形问题◆1、求二次函数y＝ax2+bx+c最值的方法（1）用配方法：将y＝ax2+bx+c化成y＝a(x﹣h)2+k的性质，当自变量x=h时，y有最大（小）值为k；（2）用公式法：x=−b2a时，函数y＝ax2+bx+c有得最大（小）值为◆2、二次函数与图形面积几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．

(1)分别写出与x的函数关系式；(2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．【即学即练】1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为．(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示）(2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由．2．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．★知识点2：图形运动问题典例分析【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（）

A．

B．

C．D．

【例2】（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

即学即练1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，平行四边形中，，动点沿匀速运动，运动速度为，同时动点从点向点匀速运动，运动速度为，点到点时两点同时停止运动．设点走过的路程为，的面积为，能大致刻画与的函数关系的图像是（）A．B．C．D．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在中，，，点分别从点和点同时出发，以相同的速度沿射线向左匀速运动，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．★知识点3：拱桥问题◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：根据题意建立适当的平面直角坐标系；把已知条件转化为点的坐标；合理设出函数解析式；利用待定系数法求出函数解析式；根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.①建立适当的直角坐标系；②将已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数解析式；④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式；⑤利用函数解析式解决问题．典例分析【例1】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式．(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？【例2】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式．(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？即学即练1．（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．2．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？★知识点4:销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价-总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．典例分析【例1】．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）某商场对进货价为100元/件的新商品的销售情况进行统计，发现每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；(2)写出每天的利润W（元）关于销售单价x的函数解析式.若你是商场负责人，你会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即；而市场需求量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如下表．售价x（元/千克）…2345…需求量（吨）…10201020980900…同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，其函数解析式分别为，．(1)直接写出市场需求量关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？(3)供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售全部特产获得的总利润．即学即练1．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）为满足市场需求，某超市在2023年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？2.（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？★知识点5:投球问题将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可典例分析【例1】（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【例2】（2023·上海·九年级假期作业）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求：(1)出手点A离地面的高度；(2)最高点C离地面的高度；(3)该运动员的成绩是多少米？即学即练1．（2023·河南周口·统考三模）科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．

(1)求该抛物线的表达式．(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？2．（2023·浙江·九年级假期作业）原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：水平距离x/m01234567竖直高度y/m求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？★知识点6:喷水问题典例分析【例1】．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为7米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点处安一个喷水头，测得喷水头A距地面的高度为，水柱在距喷水头A水平距离处达到最高．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式；(2)请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．【例2】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．(1)求表示该抛物线的函数表达式：(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．即学即练1.（2023·浙江·九年级假期作业）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为米时，水柱达到最高，此时高度为米．(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？2（2022秋·广西百色·九年级统考期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是．(1)求喷出的水流距水平面的最大高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？★知识点7:增长率问题典例分析【例1】（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．(1)求与之间的函数关系式；【例2】．（2023·广东广州·校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？即学即练1.（2022春·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？2.（2021春·江苏·九年级专题练习）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？★知识点8:其它问题典例分析【例1】（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)求关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若白球一直以的速度匀速运动，求两球之间距离与运动时间之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．【例2】（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．素材：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．

(1)任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；(2)任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．即学即练1.（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；(2)求这枝垂柳的最高点P到地面的距离；(3)踩着高跷的小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？2．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）我国农业技术不断发展，老百姓的菜篮子也越来越丰富，在农村鼓励和扶持农民搭建温室大棚，实现互利互惠已成为促进农业发展的新形势．如图1是小明家菜地上搭建的蔬菜温室大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平距离为6米．

(1)直接写出点和点的坐标，并求和的值；(2)求大棚的最高处到地面的距离．1．（2023春·北京西城·九年级校考阶段练习）下列三个问题中都有两个变量：①把一个长10cm、宽5cm的长方形的长减少xcm，宽不变，长方形的面积y（单位：）随x的变化而变化；②一个矩形绿地的长为30m，宽为20m，若长和宽各增加xm，则扩充后的绿地的面积y（单位：）随x的变化而变化；③某长方体的体积为1000，长方体的高y（单位：cm）随底面积x（单位：）的变化而变化；则y关于x的函数关系正确的是（

）A．①二次函数，②二次函数，③二次函数 B．①一次函数，②二次函数，③反比例函数C．①二次函数，②二次函数，③一次函数 D．①反比例函数，②二次函数，③一次函数2．（2023秋·河南郑州·九年级校考期末）如图①，在中，，，点是边上一动点，过点作，交边（或）于点．设，的面积为，如图②是与的函数关系的大致图像，则的长为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·九年级专题练习）如图，有一个截面边缘为抛物线型的水泥门洞．门洞内的地面宽度为，两侧距地面高处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个门洞内部顶端离地面的距离为（）

A． B．8 C． D．4．（2022秋·安徽马鞍山·九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中）某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y（万元）与销售量x（辆）之间分别满足：，，若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为（

）A．30万元 B．38万元 C．46万元 D．48万元5．（2023·山东枣庄·统考一模）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：）与足球被踢出后经过的时间t（单位：）之间的关系如下表：t01234567……h08141820201814……下列结论：①足球距离地面的最大高度为；②足球飞行路线的对称轴是直线；③足球被踢出时落地；④足球被踢出时，距离地面的高度是，其中正确的结论有（

）个A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心时，水柱的最高点为，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为（

）A．3m B．4m C．5m D．6m7．（2023·福建·统考中考真题）根据福建省统计局数据，福建省年的地区生产总值为亿元，年的地区生产总值为亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（）A． B．C． D．8．（2023·全国·九年级专题练习）如图所示的是一座古桥，桥拱为抛物线型，，是桥墩，桥的跨径为，此时水位在处，桥拱最高点P离水面，在水面以上的桥墩，都为．以所在的直线为x轴、所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．(1)求此桥拱所在抛物线的表达式．(2)当水位上涨时，若有一艘船在水面以上部分高，宽，问此船能否通过桥洞？请说明理由．9．（2023秋·浙江·九年级专题练习）某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题：

(1)求y与x的函数关系式；(2)如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3)求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？10．（2023春·北京海淀·八年级清华附中校考期末）排球场的长度为，球网在场地中央且高度为，排球出手后的运动路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．(1)某运动员第一次发球时，测得水平距离与竖直高度的几组数据如下：水平距离竖直高度①根据上述数据，求抛物线解析式；②判断该运动员第一次发球能否过网______填“能”或“不能”．(2)该运动员第二次发球时，排球运动过程中的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系，请问该运动员此次发球是否出界，并说明理由．11．（2023·陕西西安·西安市庆安初级中学校联考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，距离地面，喷出的水柱轨迹呈抛物线型．据此建立如图的平面直角坐标系．若喷出的水柱轨迹上，任意一点与支柱的水平距离x（单位：）与广场地面的垂直高度为y（单位：）满足关系式，且点在抛物线上

(1)求该抛物线的表达式；(2)求水柱落地点与雕塑的水平距离；(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：新喷水轨迹形成的抛物线形为，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到的距离）控制在7到14之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度12．（2022秋·湖北荆州·九年级校考期中）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角，用14米长的篱笆围成一个矩形花园（篱笆只围、两边），若为米，围成花园的面积为平方米，则与的函数关系式．（化成一般形式）

13．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，矩形的两边长，，点M、N分别从A、B同时出发．M在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，N在边上沿方向以每秒的速度的匀速运动，当N到达C点时，M、N停止运动．当运动时间秒时，的面积最大，最大值为．

14．（2023·上海·九年级假期作业）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱如图所示．现以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立直角坐标系，喷出的抛物线水柱对应的函数解析式是，则水管长为．

专题04二次函数的应用★知识点1：图形问题◆1、求二次函数y＝ax2+bx+c最值的方法（1）用配方法：将y＝ax2+bx+c化成y＝a(x﹣h)2+k的性质，当自变量x=h时，y有最大（小）值为k；（2）用公式法：x=−b2a时，函数y＝ax2+bx+c有得最大（小）值为◆2、二次函数与图形面积几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围.典例分析【例1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图所示，矩形花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆围成．设边的长为x米，矩形的面积为S平方米．(1)求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；(2)当x为何值时，S有最大值？并求出最大值．【答案】(1)；(2)时有最大值．【分析】（1）根据矩形的面积公式直接列得函数解析式；（2）将函数解析式化为顶点式，利用函数的性质得到最大值．【详解】（1）∵边长为m，四边形为矩形，且剩余三边长总和为32m，∴边长为，∴；（2）函数化为顶点式，即得，可知时，有最大值．【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，根据简单等量关系解决问题，二次函数化为顶点式即可得到函数最值，正确理解题意列得函数解析式是解题的关键．【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）某建筑工程队借助一段废弃的墙体，长为18米，用76米长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库，为了方便取物，在两个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，现有如下两份图纸（图纸1点A在线段DC的延长线上，图纸2点A在线段DC上），设米，图纸1，图纸2的仓库总面积分别为平方米，平方米．

(1)分别写出与x的函数关系式；(2)小红说：“的最大值为384．的最大值为507．”你同意吗？请说明理由．【答案】(1)；；(2)不同意，理由见解析．【分析】（1）利用矩形的面积公式列式即可求解；（2）把（1）中的函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：对于图纸1，∵，∴，∴；对于图纸2，∵，∴，∴；（2）解：不同意，理由如下：由（1），∴当时，的最大值为384；，∴当时，，∴的最大值为507的说法不符合题意．答：不同意小红的说法．【点睛】本题考查了二次函数的应用，找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键．【即学即练】1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，用总长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养殖鸡棚，墙长为．(1)如果这个矩形鸡棚与墙平行的一边长为，求鸡棚与墙垂直的一边的长（用含a的式子表示）(2)设鸡棚与墙垂直的一边的长为xm，求这个矩形鸡棚面积S与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围(3)试探索，这个矩形鸡棚的面积S能否等于，若可以，求出此时的长，若不行，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)这个矩形鸡棚的面积S不能等于【分析】（1）根据题意可直接进行求解；（2）由题意可知，然后根据矩形面积可进行求解；（3）由（2）及根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】（1）解：由题意得：；（2）解：由题意得：，∵，∴；（3）解：由（2）可知：，化简得，∵，∴该方程无实数解，即这个矩形鸡棚的面积S不能等于．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，熟练掌握一元二次方程的应用及二次函数的应用是解题的关键．2．（2023·陕西·统考中考真题）某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求给出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点N在x轴上，，．方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高．其中，点在x轴上，，．要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架的面积记为，点A、D在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点，在抛物线上，边在上．现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：(1)求方案一中抛物线的函数表达式；(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较，的大小．【答案】(1)(2)，【分析】（1）利用待定系数法则，求出抛物线的解析式即可；（2）在中，令得：，求出或，得出，求出，然后比较大小即可．【详解】（1）解：由题意知，方案一中抛物线的顶点，设抛物线的函数表达式为，把代入得：，解得：，∴；∴方案一中抛物线的函数表达式为；（2）解：在中，令得：，解得或，∴，∴；∵，∴．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法则，求出函数解析式．★知识点2：图形运动问题典例分析【例1】（2023春·湖北襄阳·八年级统考期中）如图（单位：cm），等腰直角以2cm/s的速度沿直线l向正方形移动，直到与重合，当运动时间为xs时，与正方形重叠部分的面积为ycm2，下列图象中能反映y与x的函数关系的是（）

A．

B．

C．D．

【答案】C【分析】分别求出时与时的函数解析式，然后根据相应的函数图象找出符合条件的选项即可【详解】解：如图，当时，

重叠部分为三角形，面积，如图，当时，

重叠部分为梯形，面积，∴图象为两段二次函数图象，第一段开口向上，第二段开口向下，函数的最大值为50，纵观各选项，只有C选项符合．故选：C．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，判断出重叠部分的形状并求出相应的函数关系式是解题的关键．【例2】（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）如图，矩形中，，，动点P从点A出发，以的速度沿线段向点B运动，动点Q同时从点A出发，以的速度沿折线向点B运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P的运动时间是时，的面积是，则能够表示y与x之间函数关系的图象大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分别讨论点在上运动的情况即可求解．【详解】解：①当点在上运动时，即：；②当点在上运动时，即：；③当点在上运动时，即：；综上分析可知，选项A中的函数图象符合题意，故选：A．【点睛】本题考查函数图象与面积问题．分类讨论是解决本题的思路．即学即练1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，平行四边形中，，动点沿匀速运动，运动速度为，同时动点从点向点匀速运动，运动速度为，点到点时两点同时停止运动．设点走过的路程为，的面积为，能大致刻画与的函数关系的图像是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意，结合图形，分段解析，当时；当时；当时；由此即可求解．【详解】解：动点沿匀速运动，运动速度为，同时动点从点向点匀速运动，运动速度为，设点走过的路程为，∴，①当时，，如图所示，∴，，且，∴，是一条开口向上，顶点在原点处的抛物线，随的增大而增大，且当时，；②当时，如图所示，∴，∴，即是关于的一次函数，且随的增大而增大，当时，；③当时，∵，∴点到点的时间为，点到点的时间是，如图所示，∴，，且，∴，即是关于的二次函数，开口向下，且随的增大而减小，∴选项，当时，是关于的二次函数，开口向下，且随的增大而增大，不符合题意；选项，当时，是关于的二次函数，开口向上，且随的增大而增大；当时，是关于的一次函数，且随的增大而增大；当时，是关于的二次函数，开口向下，且随的增大而减小．符合题意；选项，当时，是关于的二次函数，开口向下，且随的增大而增大，不符合题意；选项，当时，是关于的二次函数，开口向下，且随的增大而增大，不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查动点与函数像的关系，掌握动点的运动规律，函数图像的性质是解题的关键．2．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）如图，在中，，，点分别从点和点同时出发，以相同的速度沿射线向左匀速运动，过点作，垂足为，连接，设点运动的距离为，的面积为，则能反映与之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【分析】过点H作于点D，根据题意可得是等边三角形，从而得到，，然后根据直角三角形的性质可得，，再根据三角形的面积公式可得与之间的函数关系式，即可求解．【详解】解：如图，过点H作于点D，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴，，∵，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴与之间的函数关系的图象为抛物线的一部分，且开口向上．故选：A【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的图象，根据题意准确得到与之间的函数关系式是解题的关键．★知识点3：拱桥问题◆1、建立二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．◆2、建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：根据题意建立适当的平面直角坐标系；把已知条件转化为点的坐标；合理设出函数解析式；利用待定系数法求出函数解析式；根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.①建立适当的直角坐标系；②将已知条件转化为点的坐标；③合理设出函数解析式；④代入已知条件或点的坐标，求出函数解析式；⑤利用函数解析式解决问题．典例分析【例1】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式．(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？【答案】(1)(2)3.84米【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车得宽度，则，得出，设H坐标为，并代入得：，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得，、、，将、代入，得，解得，，∴；（2）解：如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车得宽度，则，∴，设H坐标为，∴把代入得：，∵该抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧y的值随x值的增大而减小，∴在最右侧的车辆高度不能超过3.84米．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出二次函数解析式．【例2】（2023春·宁夏银川·九年级银川一中校考期中）一座拱桥的界面轮廓为抛物线型（如图1），拱高，跨度．(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2），其表达式是的形式，请根据所给的数据求出该抛物线表达式．(2)拱桥下地平面是双向行车道（正中间隔离带宽度不计），其中的一条行车道要能并排行驶三辆宽的汽车（汽车间的间隔忽略不计），则在最外侧车道上的汽车最高为多少米？【答案】(1)(2)3.84米【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式即可；（2）设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车得宽度，则，得出，设H坐标为，并代入得：，即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得，、、，将、代入，得，解得，，∴；（2）解：如图所示，设最外侧车道上得汽车位于点G处，汽车高度为，为并排行驶三辆宽的汽车得宽度，则，∴，设H坐标为，∴把代入得：，∵该抛物线开口向下，对称轴，在对称轴右侧y的值随x值的增大而减小，∴在最右侧的车辆高度不能超过3.84米．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出二次函数解析式．即学即练1．（2023·全国·九年级专题练习）郑州市彩虹桥新桥将于2023年9月底建成通车．新桥采用三跨连续单拱肋钢箱系杆拱桥，既保留了历史记忆，又展示出郑州的开放与创新．新桥的中跨大拱的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，测得拱肋的跨度为120米，与中点O相距30米处有一高度为27米的系杆．以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系．

(1)求抛物线的解析式；(2)正中间系杆的长度是多少米？若相邻系杆之间的间距均为3米（不考虑系杆的粗细），是否存在一根系杆的长度恰好是长度的？请说明理由．【答案】(1)(2)正中间系杆的长度是36米，不存在一根系杆的长度恰好是OC长度的，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出正中间系杆的长度是36米，再建立方程求解即可．【详解】（1）结合图象由题意可知：，，设该抛物线解析式为：，则：，解得：，∴．（2）当时，，∴正中间系杆的长度是36米．设存在一根系杆的长度是的，即这根系杆的长度是12米，则，解得．∵相邻系杆之间的间距均为3米，最中间系标在轴上，∴每根系杆上的点的横坐标均为整数．∴与实际不符．∴不存在一根系杆的长度恰好是长度的．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到了待定系数法求函数解析式，解一元二次方程等知识，解题关键是读懂题意，找出数量关系，列出方程，并根据实际意义求解．2．（2023秋·山西晋城·九年级校考期末）如图，有一个横截面为抛物线形状的隧道，隧道底部宽为，拱顶内高．把截面图形放在如图所示的平面直角坐标系中（原点O是的中点）．

(1)求这条抛物线所对应的函数表达式；(2)如果该隧道设计为车辆双向通行，规定车辆必须在中心黄线两侧行驶，那么一辆宽，高的大型货运卡车是否可以通过？为什么？【答案】(1)(2)一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）求出当时，x的值，再根据车辆宽且只能在中心的两侧行驶进行求解即可．【详解】（1）解：由题意得，点C的坐标为，点A和点B的坐标分别为，设抛物线解析式为，把代入得，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：一辆宽，高的大型货运卡车可以通过，理由如下：在中，当时，解得，∵，∴，∴一辆宽，高的大型货运卡车可以通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．★知识点4:销售问题◆1、销售问题中的数量关系：销售利润=销售收入﹣成本；销售总利润=销售量×单价利润◆2、求解最大利润问题的一般步骤：建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=单件利润×总销量”或“总利润=总售价-总成本”；（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．典例分析【例1】．（2022·广东湛江·岭师附中校联考一模）某商场对进货价为100元/件的新商品的销售情况进行统计，发现每天销售量y（件）与销售单价x（元/件）存在一次函数关系，如图所示．

(1)求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；(2)写出每天的利润W（元）关于销售单价x的函数解析式.若你是商场负责人，你会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)(2)将售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；（2）先求出W与x的函数关系式，然后根据二次函数性质求出最大值即可．【详解】（1）解：设，由图象可得，，解得：，∴．（2）解：，∵，∴有最大值，当时，，答：将售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的综合应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，二次函数的最值，解题的关键是求出二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质．【例2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）供销社作为国家实施“乡村振兴”战略的中坚力量，可以帮助农民分配协调农产品，推动全国统一大市场尽快构建完成，给老百姓带来真正的实惠．某供销社指导农民生产和销售当地特产，对该特产的产量与市场需求，成本与售价进行了一系列分析，发现该特产产量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的一次函数，即；而市场需求量（单位：吨）是关于售价x（单位：元/千克）的二次函数，部分对应值如下表．售价x（元/千克）…2345…需求量（吨）…10201020980900…同时还发现该特产售价x（单位：元/千克），成本z（单位：元/千克）随着时间t（月份）的变化而变化，其函数解析式分别为，．(1)直接写出市场需求量关于售价x的函数解析式（不要求写出自变量取值范围）；(2)哪个月份出售这种特产每千克获利最大？最大值是多少？(3)供销社发挥职能作用，避免浪费，指导农民生产，若该特产的产量与市场需求量刚好相等，求此时出售全部特产获得的总利润．【答案】(1)(2)四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为（元/千克）(3)（元）【分析】（1）根据表中的数据运用待定系数法即可解答；（2）根据每千克获利售价x成本z即可解答；（3）根据列出一元二次方程，解之即可．【详解】（1）解：设，将，，代入得：，解得：，∴，经检验，表内数据符合该解析式，∴市场需求量关于售价x的函数解析式为；（2）解：设每千克获利为w（元/千克），则，∴当时，w有最大值，最大值为，∴四月份出售这种特产每千克获利最大，最大值为（元/千克）；（3）解：令，即，解得：或（舍去），此时，，∴，∴，∴此时出售全部特产获得的总利润为（元）．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，求二次函数的最值，二次函数的应用等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点并厘清题中的等量关系．即学即练1．（2022秋·安徽铜陵·九年级统考期末）为满足市场需求，某超市在2023年元旦来临前夕，购进一种品牌礼盒，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，物价管理部门限定：这种礼盒的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售礼盒多少盒？【答案】(1)(2)当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元(3)440盒【分析】（1）根据题意即可求解；（2）根据即可求解；（3）根据二次函数的性质即可求解．【详解】（1）解：由题意得：（2）解：时，即：当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P最大，最大利润是8000元．（3）解：令解得：抛物线开口向下∴当时，每天获得的利润不低于6000元∴当时，每天获得的利润不低于6000元在中，∴随的增大而减小故当时，即超市每天至少销售粽子440盒．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数在实际问题中的应用．根据题意建立函数模型是解题关键．2.（2023秋·湖南湘西·九年级统考期末）某农户生产经销一种地方特产．已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种产品每天的销售利润为w元(1)求w与x之间的函数关系式；(2)该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于每千克30元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？【答案】(1)(2)该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元(3)每千克25元【分析】（1）根据利润=销量×一件的利润列出关系式即可；（2）把函数关系式化成顶点式求解即可；（3）把代入关系式求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：，∴w与x之间的函数解析式为；（2）解：由（1）得：，∵，∴当时，w有最大值，且最大值为；∴该产品售价定为每千克30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；（3）解：当时，可得，解得：，∵，∴舍去，∴该农户想要每天获得150元的销售利润，售价应定为每千克25元；【点睛】本题主要考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，根据条件得出函数解析式或方程是解题的关键．★知识点5:投球问题将一元二次方程的根代入原方程得到关于字母参数的方程，然后利用整体代入法求代数式的值即可典例分析【例1】（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．

(1)求y关于x的函数表达式；(2)根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分10分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．【答案】(1)(2)不能；理由见解析【分析】（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．【详解】（1）解：根据题意设关于的函数表达式为，把代入解析式得，，解得，，∴关于的函数表达式为：，即：．（2）解：不能得满分，理由如下，根据题意，令，且，∴，解方程得，，（舍去），∵，∴不能得满分．【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．【例2】（2023·上海·九年级假期作业）如图，是一个运动员投掷铅球的抛物线图，解析式为（单位：米），其中点A为出手点，点C为铅球运行中的最高点，点B为铅球落地点，求：(1)出手点A离地面的高度；(2)最高点C离地面的高度；(3)该运动员的成绩是多少米？【答案】(1)米(2)3米；(3)10米．【分析】（1）根据解析式直接令求值即可；（2）将解析式化为顶点式，即可得到答案；（3）令，解方程即可【详解】（1）解：令中，得，∴出手点，即出手点离地面高度为米；（2）∵，∴顶点，可知最高点离地面高度为3米；（3）令，解得，，∴，由此可知该运动员成绩为10米．【点睛】此题考查二次函数解决运动问题，弄清楚函数各点表示的实际意义，可将实际问题转化为点坐标的求解．即学即练1．（2023·河南周口·统考三模）科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．

(1)求该抛物线的表达式．(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？【答案】(1)(2)应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽【分析】（1）根据题意得出，，设，待定系数法求解析式即可求解．（2）根据题意，令，解方程即可求解．【详解】（1）解：∵到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为∴，，设抛物线解析式为，将点代入得，，解得：，∴抛物线解析式为，（2）将代入解析式，，解得：或（舍去），答：应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽．【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．2．（2023·浙江·九年级假期作业）原地正面掷实心球是体育训练项目之一、受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分，如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度y（m）与水平距离x（m）近似满足函数关系（）．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．

(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的几组对应数据如下：水平距离x/m01234567竖直高度y/m求出y与x近似满足的函数关系式，并求本次训练的成绩．(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？若有提高，提高了多少？【答案】(1)y与x的函数关系式为；本次训练的成绩为；(2)第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．【分析】（1）利用待定系数法即可求得y与x的函数关系式，令即可求得本次训练的成绩；（2）令即可求得第二次训练的成绩，与第一次比较即可求解．【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，把，，代入得，，解得，∴y与x的函数关系式为；当时，，即，解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；（2）解：解方程，整理得，即，解得或(负值不符合题意，舍去)，∴本次训练的成绩为；，且，答：第二次训练成绩与第一次相比有提高，提高了．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．★知识点6:喷水问题典例分析【例1】．（2023·全国·九年级专题练习）如图，某市民政局欲给敬老院修建一个半径为7米的圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端A点处安一个喷水头，测得喷水头A距地面的高度为，水柱在距喷水头A水平距离处达到最高．建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距地面的高度．(1)求抛物线的表达式；(2)请你通过计算说明喷出的水柱是否会落到圆形喷水池的外面．【答案】(1)(2)喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面，详见解析【分析】（1）由顶点坐标为，设抛物线的表达式为，将代入，求出即可．（2）当时，求出的值，与半径米进行比较即可得到结果．【详解】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，则，，抛物线的表达式为，将代入上式得，，解得，，抛物线的表达式为．（2）当时，，解得，，（舍去），，喷出的水柱不会落到圆形喷水池的外面．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，解题关键是读懂题意，把实际问题转化为数学问题．【例2】（2023·甘肃兰州·统考一模）如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．(1)求表示该抛物线的函数表达式：(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．【答案】(1)抛物线函数表达式为或(2)m【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．（2）当时，代入解析式，解得．【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，因此可设该抛物线的函数表达式为，由题意得，该抛物线经过点，可得，解得，∴该抛物线函数表达式为或．（2）当时，，解得．答：柱形喷水装置的高度为m．【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．即学即练1.（2023·浙江·九年级假期作业）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管米，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上．已知在与池中心点水平距离为米时，水柱达到最高，此时高度为米．(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；(2)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点处达到最高，则喷水管要升高多少？【答案】(1)抛物线（第一象限）的表达式为(2)喷水管的高度要升高【分析】（1）运用待定系数法即可求解；（2）设喷水管的高度要升高，把代入即可求解．【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，把，代入得：，解得：，∴，∴抛物线（第一象限）的表达式为；（2）解：设喷水管的高度要升高，则抛物线的表达式为．把代入得：，解得：，∴喷水管的高度要升高．【点睛】本题主要考查二次函数的实际运用，理解图示，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．2（2022秋·广西百色·九年级统考期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是．(1)求喷出的水流距水平面的最大高度；(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【答案】(1)2.25米(2)2.5米【分析】（1）把抛物线解析式的化成顶点式，求顶点坐标，即可求解；（2）求出抛物线与x轴的交点，即可解决问题．【详解】（1）解：，顶点是，故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；（2）解：解方程，得，，点坐标为，．故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．【点睛】本题考查抛物线的实际应用，解题词关键是掌握抛物线顶点，与轴交点的实际意义．★知识点7:增长率问题典例分析【例1】（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．(1)求与之间的函数关系式；(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）∴依题意得：，∴与之间的函数关系式为；（2）依题意得：，解得：，（不符合题意，舍去），∴每次降价的百分率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．【例2】．（2023·广东广州·校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？【答案】（1）20%；（2）6125000（元）【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，由题意得：，解得：x=0.2或x=-2.2（舍），答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，由题意得：，∵a=-50，抛物线开口向下，∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．即学即练1.（2022春·全国·九年级专题练习）为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据题意得：，解得:，（舍去）.答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.根据题意，得:，解得:，，∵，∴随a的增大而减小.∵a为整数，∴当时，最小，最小值为（万元）.此时，.答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.2.（2021春·江苏·九年级专题练习）某工厂前年的生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为x，预计今年比去年的年增长率仍为x，今年的总产值为y万元．（1）求y关于x的函数关系式．（2）当x=20%时，今年的总产值为多少？（3）在（2）的条件下，前年、去年和今年三年的总产值为多少万元？【答案】（1）；（2）万元；（3）万元．【分析】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)把x的值代入(1)求解即可；(3)代入求解即可.【详解】(1)根据题意列式为y=10×(1＋x)×(1＋x)=10(1＋x)²；(2)当x=20%时，今年的总产值=10(1＋20%)²=14.4万元；(3)依题意，得前年，去年和今年三年的总产值为：10+10(1+20%)+10(1＋x)²=36.4(万元).【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数求解．★知识点8:其它问题典例分析【例1】（2023秋·河北张家口·九年级统考期末）在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在A处开始减速，此时白球在黑球前面处．

小聪测量黑球减速后的运动速度（单位：）、运动距离（单位：）随运动时间（单位：）变化的数据，整理得下表．运动时间01234运动速度109.598.58运动距离09.751927.7536小聪探究发现，黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，运动距离与运动时间之间成二次函数关系．(1)求关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)若白球一直以的速度匀速运动，求两球之间距离与运动时间之间的关系式，判断并说明黑球在运动过程中会不会碰到白球．【答案】(1)，(2)，黑球不会碰到白球，见解析【分析】（1）根据黑球的运动速度与运动时间之间成一次函数关系，设表达式为，代入两组数值求解即可；根据运动距离与运动时间之间成二次函数关系，设表达式为，代入三组数值求解即可；（2）设黑白两球的距离为，得到，当时，，由得到方程没有实数根，于是得到结论．【详解】（1）解：设，将，代入，得，解得，，∴，设，将，，代入，得，解得，∴．（2）设黑白两球的距离为，根据题意可知，，即，黑球在运动过程中不会碰到白球，理由如下：当时，，∵，∴方程没有实数根，∴黑球不会碰到白球．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用、一元二此方程根的判别式的应用等知识，关键是明确题意求出函数表达式．【例2】（2023春·福建福州·八年级福建省福州第十六中学校考期末）根据以下素材，探索完成任务．如何设计大棚苗木种植方案？素材1：图1中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．素材：种植苗木时，每棵苗木高，为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．

(1)任务1：确定大棚上半部分形状．根据图2建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的函数关系式；(2)任务2：探究种植范围．在图2的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下，确定种植点的横坐标的取值范围．【答案】(1)(2)确定种植点的横坐标的取值范围为【分析】（1）根据题意建立直角坐标系，分别得到，，，再根据待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）根据每棵苗木高，且苗木顶部不触碰大棚得到，即可求出种植点的横坐标的取值范围；【详解】（1）解：如下图所示，根据题意得，，，，设二次函数的解析式为，

得，解方程组得，，∴；（2）当时，得，∴，∴；【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意求出抛物线的解析式．即学即练1.（2023秋·陕西安康·九年级统考期末）垂柳是常见的树种之一，也是园林绿化中常用的行道树，观赏价值较高，成本低廉，深受各地绿化喜爱．如图①是某街道旁的一棵垂柳，这棵垂柳中某一枝的形状呈如图②所示的抛物线型，它距离地面的高度与到树干的水平距离之间满足关系式．已知这枝垂柳的始端到地面的距离，末端B恰好接触地面，且到始端的水平距离．

(1)求该抛物线的函数解析式；(2)求这枝垂柳的最高点P到地面的距离；(3)踩着高跷的小明头顶距离地面，他从点O出发向点B处走去，请计算小明走出多远时，头顶刚好碰到树枝？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由题意得出点点和点，再代入求解即可；（2）将抛物线解析式化成顶点式，即可求解；（3）令，得，求解即可．【详解】（1）解：由题意得，抛物线经过点和点，解得该抛物线的函数解析式为．（2）解：，抛物线的顶点P的坐标为，即这枝垂柳的最高点P到地面的距离为9m．（3）解：在中，令，得，解得（不合题意，舍去），，小明走出远时，头顶刚好碰到树枝【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求二次函数解析式和二次函数的图象性质是解题的关键．2．（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）我国农业技术不断发展，老百姓的菜篮子也越来越丰富，在农村鼓励和扶持农民搭建温室大棚，实现互利互惠已成为促进农业发展的新形势．如图1是小明家菜地上搭建的蔬菜温室大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在离地面高1米的墙体处，另一端固定在离地面高2米的墙体处，现对其横截面建立如图2所示的平面直角坐标系．已知大棚上某处离地面的高度（米）与其离墙体的水平距离（米）之间的关系满足，现测得，两墙体之间的水平