第03讲 二次函数与一元二次方程-2023-2024学年九年级数学上册同步讲与练（沪科版 学习新知）

专题03二次函数与一元二次方程★知识点1：抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2023·四川·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．A，B两点之间的距离为5 D．当时，y的值随x值的增大而增大【例2】（2023·山东德州·统考二模）将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位后与x轴交点的横坐标之差为3，则m的值等于（

）A．2 B． C．1 D．【即学即练】1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（

）A． B． C． D．2．（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（

）

A．抛物线开口向上 B．方程的解为，C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为★知识点2：抛物线与y轴的交点情况图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）关于抛物线下列说法中错误的是（

）A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标D．与y轴交点坐标【例2】（2022秋·浙江丽水·九年级期末）抛物线与y轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．即学即练1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）二次函数的图象与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）抛物线的图象与y轴的交点坐标是（）A． B． C． D．★知识点3：已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值典例分析【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（）A． B． C．或 D．或即学即练1．（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12★知识点4:根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值：…1……88…根据表格可知，下列说法中错误的是（

）该二次函数图象的对称轴是直线B．关于的方程的解是，C．的最大值是8D．的值是【例2】（2023·江西抚州·校联考三模）如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（

）

A．图象的对称轴是直线B．当时，y随x的增大而减小C．若图象上两点为，则D．一元二次方程的两个根是和3即学即练1．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．2.（2023·广东湛江·校考一模）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个★知识点5图像法确定一元二次方程的近似根典例分析【例1】（2022春·江苏·九年级专题练习）某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）：xy根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（）A． B．C． D．【例2】（2023秋·九年级单元测试）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．即学即练1.（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（）x…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…A． B． C． D．2．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）小亮在利用二次函数的图像求方程（，，，为常数）的一个解的范围时，为精确到，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（

）A． B．C． D．★知识点6:求x轴与抛物线的截线长典例分析【例1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（

）A． B． C． D．【例2】（2023·山东·九年级专题练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7即学即练1．（2021春·九年级课时练习）二次函数的值永远为负值的条件是（

）A．，B．，C．， D．，2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）.A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大1．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图是二次函数（，a，b，c为常数）的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则方程的解是（

）A．，B．，C．，D．，2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数的部分与的值如下表：…124……0…根据表格可知，一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022秋·九年级单元测试）已知抛物线，下列说法中不正确的是（）A．该抛物线与轴的交点坐标为B．点一定在该抛物线上C．该抛物线的顶点坐标为D．该抛物线与轴两个交点之间的距离是4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．开口向下 B．与x轴的交点坐标为和C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为5．（2022春·九年级课时练习）探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（

）x-101234ax2+bx+c-7-5-151323A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<56．（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（）A． B． C． D．7．（2023·辽宁营口·校联考一模）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（

）A． B． C． D．8．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（

）

A．，B．， C．， D．，9．（2022春·九年级课时练习）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．（2022春·九年级课时练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6 B．7 C．8 D．911．（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）画出函数的图象，利用图象回答：(1)方程的解是什么？(2)取什么值时，函数值大于0；(3)取什么值时，函数值小于0．12．（2023春·湖南常德·九年级校考阶段练习）已知函数是关于x的二次函数，m为何值时，二次函数有最小值？(1)求出此时m的值及二次函数的解析式；(2)求出此函数与x轴的交点坐标．13．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）已知抛物线．(1)求抛物线的对称轴（用含的代数式表示）；(2)若点，在该抛物线上，试比较的大小；(3)已知点，，若该抛物线与线段只有一个公共点，求的取值范围．14．（2022春·全国·九年级专题练习）如图，二次函数的图象的顶点的坐标为，与轴交于，，根据图象回答下列问题：(1)写出方程的根；(2)若方程有实数根，写出实数的取值范围．15．（2023秋·广东云浮·九年级统考期末）已知二次函数．(1)直接写出它的顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标，并在坐标系中画出函数大致图像；(2)自变量x在什么范围内，y随x的增大而增大？(3)若关于x的方程有两个不等实数根，求出常数m的取值范围．

专题03二次函数与一元二次方程★知识点1：抛物线与x轴的交点情况二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与x轴相切；③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与x轴相离.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2023·四川·九年级专题练习）如图，二次函数的图象与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（

）A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为C．A，B两点之间的距离为5 D．当时，y的值随x值的增大而增大【答案】C【分析】A将点A的坐标代入即可解答即可判定A；B先运用二次函数图象的性质确定B；C利用两点间的距离公式解答即可；D根据函数图象即可解答．【详解】解：A、把代入得，，解得，∴，对称轴直线为：，故A错误；当时，，故B错误；令，，解得，，∴，∴A，B两点之间的距离为5，故C正确；由图象可知当时，y的值随x值的增大而增大，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．【例2】（2023·山东德州·统考二模）将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位后与x轴交点的横坐标之差为3，则m的值等于（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【分析】将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位可得：，令，可得，，利用，再建立方程求解即可．【详解】解：将二次函数的图象沿y轴向下平移m个单位可得：，令，∴，，而，∵，∴，解得：，故选B【点睛】本题考查的是二次函数图象的平移，二次函数与x轴的交点坐标，根与系数的关系，灵活运用以上知识解题是关键．【即学即练】1．（2023秋·广东广州·九年级校考期末）若抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则该抛物线与x轴的另一交点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线求解．【详解】解：抛物线对称轴为直线，点A坐标为，由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为，故选：A．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．2．（2023·辽宁大连·统考二模）二次函数的图象如图所示，下列结论错误的是（

）

A．抛物线开口向上 B．方程的解为，C．抛物线对称轴为直线 D．抛物线与y轴交点坐标为【答案】D【分析】根据图象可得开口方向、与轴交点坐标、与轴的交点坐标，由此可求对称轴和对应方程的解．【详解】A.由图象得：抛物线开口向上，故此结论正确；B.由图象得：与轴的交点坐标为，，所以方程的解为，，故此结论正确；C.，解得，所以抛物线对称轴为直线，故此结论正确；D.由图象得：顶点坐标为，可设，，解得，抛物线与y轴交点坐标为，故此结论错误．故选：D．【点睛】本题考查了由二次函数的图象获取开口方向、与坐标轴交点坐标和对称轴问题，正确获取信息，理解二次函数与坐标轴的交点坐标，与对应方程之间的关系，会求对称轴是解题的关键．★知识点2：抛物线与y轴的交点情况图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。典例分析【例1】（2022秋·安徽安庆·九年级统考期末）关于抛物线下列说法中错误的是（

）A．开口向下B．对称轴是直线C．顶点坐标D．与y轴交点坐标【答案】D【分析】根据的图象与性质解答．【详解】中，抛物线的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标为，所以选项A、B、C均正确．令，得抛物线与y轴的交点坐标为．因此选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及顶点式解析式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．【例2】（2022秋·浙江丽水·九年级期末）抛物线与y轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求图象与轴的交点坐标，令，求即可．【详解】解：当时，，∴抛物线与y轴的交点坐标为，故选：A．【点睛】主要考查了二次函数图象与y轴的交点坐标特点，解题的关键是熟知函数图象的特点．即学即练1．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期末）二次函数的图象与轴的交点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将代入函数解析式，求出相应的的值，即可．【详解】解：当时，，∴二次函数的图象与轴的交点坐标为．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解本题的关键是明确二次函数与轴的交点，就是求时对应的函数值．2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）抛物线的图象与y轴的交点坐标是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，求出此时的值即可得到答案．【详解】解：令，则，∴抛物线的图象与y轴的交点坐标是，故选C．【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点，求出当，的值是解题的关键．★知识点3：已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值典例分析【例1】（2022秋·山东德州·九年级统考期中）已知抛物线经过点，则代数式的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于点在抛物线上，可把点的坐标代入抛物线的解析式，得到的值，再代入代数式即可求出值．【详解】解：∵抛物线经过点，∴，∴∴．故选：D．【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把看成一个整体并求出其值是解题的关键．【例2】（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数，当时，则x的取值范围为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】先求出当时，对应的x的值，然后根据二次函数的性质即可解答．【详解】解：根据题意可得：当时，即，解得：，∵，∴图象开口向上，∵，∴或故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与不等式的关系，正确理解题意、明确求解的方法是关键．即学即练1．（2022秋·江苏南通·九年级统考阶段练习）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用二次函数与一元二次方程的关系即可解题．【详解】设当时，∵当和时，函数值相等，∴当时，的两个根为，∴，故选：A．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是由二次函数转换到一元二次方程根与系数的关系．2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x≤6的范围内有解，则t的取值范围是（

）A．5＜t≤12 B．﹣4≤t≤5 C．﹣4＜t≤5 D．﹣4≤t≤12【答案】D【分析】根据对称轴方程可得b=-4，可得二次函数解析式，可得顶点坐标为（2，-4），关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为二次函数y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，当﹣1＜x≤6时，﹣4≤t≤12，进而求解；【详解】∵对称轴为直线x＝2，∴，∴b＝﹣4，∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x，∴顶点坐标为（2，-4），∵﹣1＜x≤6，∴当x=-1时，y=5，当x=6时，y=12，∴二次函数y的取值范围为﹣4≤t≤12，∵关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2﹣4x与直线y＝t的交点的横坐标，∴﹣4≤t≤12，故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象的性质，一元二次方程的解；将一元二次方程的解转换为二次函数与直线交点问题，数形结合的解决问题是解题的关键．★知识点4:根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根典例分析【例1】（2022秋·山西忻州·九年级校联考阶段练习）在研究二次函数时，下面是某小组列出的部分和的对应值：…1……88…根据表格可知，下列说法中错误的是（

）该二次函数图象的对称轴是直线B．关于的方程的解是，C．的最大值是8D．的值是【答案】C【分析】先求二次函数的解析式，然后逐项判断．【详解】解：根据表格中数据可知抛物线过，，，则，解得，二次函数，抛物线对称轴为，故A正确，不合题意；当时，，解得，，故B正确，不合题意；，当时，有最大值，最大值为10，故C错误，符合题意；当时，，即，故D正确，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，求出二次函数的解析式是求解本题的关键．【例2】（2023·江西抚州·校联考三模）如图，抛物线交x轴于，两点，则下列判断中，错误的是（

）

A．图象的对称轴是直线B．当时，y随x的增大而减小C．若图象上两点为，则D．一元二次方程的两个根是和3【答案】C【分析】根据对称轴的求解，二次函数的增减性，抛物线与x轴的交点求法对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、对称轴为直线，正确，故本选项不符合题意；B、对称轴是直线，当时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；C、∵，∴，故本选项符合题意；D、∵抛物线交x轴于，两点，∴一元二次方程的两个根是和3，正确，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点问题，是基础题，熟记性质并准确识图是解题的关键．即学即练1．（2023秋·湖北襄阳·九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴是直线，下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据抛物线的开口方向和对称轴可得即可判断A；根据当，，得到，进而推出即可判断B、D；再根据函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点即可判断C．【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，开口向下，∴，∴，故A不符合题意；∵当，，∴，故B不符合题意；∴，故D不符合题意；由函数图象可知抛物线与x轴有两个不相同的交点，∴，故C符合题意；∴故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．2.（2023·广东湛江·校考一模）如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是(

)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，则当时，，于是可对①进行判断；根据二次函数与轴有两个交点，则可对②进行判断；利用抛物线的对称轴为直线，即，则可对③进行判断；由于抛物线与直线有一个公共点，则抛物线与直线有一个公共点，于是可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线，∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间．∴当时，，即，所以①正确；∵抛物线与轴有两个交点，则，所以②正确；∵抛物线的对称轴为直线，即，，，所以③正确；∵抛物线与直线有一个公共点，∴由图象可得，抛物线与直线有两个公共点，∴一元二次方程有两个实数根，所以④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据图象求方程的根的情况，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．★知识点5图像法确定一元二次方程的近似根典例分析【例1】（2022春·江苏·九年级专题练习）某人画二次函数的图象时，列出下表（计算没有错误）：xy根据此表判断：一元二次方程的一个根x1满足下列关系式（）A． B．C． D．【答案】B【分析】观察表格可知，～之间，随的值逐渐增大，的值在～之间由负到正，故可判断时，对应的x的值在～之间．【详解】解：根据表格可知，时，对应的x的值在∼之间．故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的解之间的关系，关键是观察表格，确定函数值由负到正时，对应的自变量取值范围．【例2】（2023秋·九年级单元测试）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（

）00.511.522.50.130.380.530.580.530.380.13A． B．C． D．【答案】A【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．【详解】解：由表格可得：当时，；当时，，又∵一元二次方程的根为，，且，∴，，故选：A．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．即学即练1.（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如表给出了二次函数中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程的一个近似解的范围为（）x…1.21.31.41.51.6…y…0.250.76…A． B． C． D．【答案】C【分析】根据表格中的数据可得出“当时，；当时，．”由此即可得出结论．【详解】解：当时，；当时，．一元二次方程的一个近似解的范围为．故选：C．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．2．（2022秋·河北石家庄·九年级校考期末）小亮在利用二次函数的图像求方程（，，，为常数）的一个解的范围时，为精确到，进行了下面的试算，由此确定这个解的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据判断函数与x轴的交点横坐标的范围，即为解的范围．【详解】解：由表格可知，时，的值为负，时，的值为正，二次函数与x轴的交点横坐标在和之间，这个解的范围是．故选：B．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题的关键是正确理解一元二次方程与二次函数之间的关系．★知识点6:求x轴与抛物线的截线长典例分析【例1】（2023·广东佛山·校联考模拟预测）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得函数图象与轴的两个交点之间的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出抛物线平移后的解析式可得抛物线与轴的交点坐标，进而求解．【详解】解：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后所得的函数解析式为，即为，此抛物线与轴的两个交点坐标为，，则此抛物线与轴的两个交点之间的距离为，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律和二次函数的交点式是解题关键．【例2】（2023·山东·九年级专题练习）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7【答案】C【分析】根据顶点P在线段AB上移动，又知点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时对称轴过B点，点N的横坐标最大，此时的M点坐标为（﹣2，0），当对称轴过A点时，点M的横坐标最小，此时的N点坐标为（1，0），M点的坐标为（﹣5，0），故点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．即学即练1．（2021春·九年级课时练习）二次函数的值永远为负值的条件是（

）A．，B．，C．， D．，【答案】D【分析】二次函数的值永远为负即函数图象的开口向下且函数与轴没有交点，根据此即可算出和的取值．【详解】解：因为二次函数的值永远为负值，所以函数图象的开口向下，所以．此外，函数与轴没有交点，所以，所以二次函数的值永远为负值的条件是，．故选D.【点睛】本题主要考查对于二次函数图象的理解，同时还要掌握函数图象与x轴没有交点的性质．2．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，下列说法错误的是（）.A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2C．△ABC是等腰直角三角形 D．当x＞0时，y随x增大而增大【答案】D【分析】点C的坐标可以令x＝0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y＝0，得到的两个x值即为与x轴的交点A、B的横坐标，且AB的长也有两点横坐标求得；分别求出AC、BC的长，根据勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状；a=-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0,对函数的增减性进行判断．【详解】A．根据题意可知：当x=0时，y=1，∴点C的坐标为（0，1），故选项正确，不合题意；B．当y=0时，x=-1或x=1，∴AB=2，故选项正确,不合题意；C．∵OA=1，OB=1，OC=1，∴AC==，BC==，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是等腰直角三角形，故选项正确，不合题意；D．由y=-x2+1可知：a=-1＜0，抛物线开口向下，对称轴为x=0，∴当x＞0时，y随x增大而减小，故选项错误，符合题意；故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质、勾股定理、函数图像与坐标轴的交点、判定函数的增减性等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．1．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图是二次函数（，a，b，c为常数）的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则方程的解是（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的两个交点坐标关于对称轴对称，进一步可求出另一交点，在根据函数图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，即可解答．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点是，设另一个交点为：，即有：，解得：，抛物线与x轴的另一个交点是，方程的两根是，．故答案为：B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）已知二次函数的部分与的值如下表：…124……0…根据表格可知，一元二次方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用表中对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，则或时，函数值相等，都为0，然后根据抛物线与x轴的交点问题得到方程的解．【详解】解：∵时，；时，，∴抛物线的对称轴为直线，∵时，，∴时，，∴关于x的一元二次方程的解为，．故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．3．（2022秋·九年级单元测试）已知抛物线，下列说法中不正确的是（）A．该抛物线与轴的交点坐标为B．点一定在该抛物线上C．该抛物线的顶点坐标为D．该抛物线与轴两个交点之间的距离是【答案】D【分析】求出当时，y的值即可判断A、B；把抛物线解析式化为顶点式即可判断C；求出时，x的值得到抛物线与x轴的两个交点坐标为即可判断D．【详解】解：当时，，∴该抛物线与轴的交点坐标为，故A说法正确，不符合题意；当时，，∴点一定在该抛物线上，故B说法正确，不符合题意；∵抛物线解析式为，∴该抛物线的顶点坐标为，故C说法正确，不符合题意；当时，，解得或，∴抛物线与x轴的两个交点坐标为，∴该抛物线与轴两个交点之间的距离是，故D说法错误，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与坐标轴的交点问题等等，熟知二次函数的性质是解题的关键．4．（2023秋·云南昆明·九年级统考期末）下列关于二次函数的图象和性质的叙述中，正确的是（

）A．开口向下 B．与x轴的交点坐标为和C．对称轴是直线 D．与y轴的交点坐标为【答案】B【分析】根据二次函数图象性质，依次分析开口方向，对称轴，令，解一元二次方程，以及令，求出与y轴的交点，逐项判断即可．【详解】二次函数，A、∵二次函数，∴，二次函数开口向上，故该选项说法错误，不符合题意；B、∵二次函数，令，可得，∴，或者，∴x轴的交点坐标为和，故该选项说法正确，符合题意；C、∵二次函数，对称轴为，即对称轴为直线，故该选项说法错误，不符合题意；D、对二次函数，令，可得，，∴该二次函数与y轴的交点是，故该选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，综合运用二次函数图象性质是解题的关键．5．（2022春·九年级课时练习）探索一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个正数解的过程如下表：可以看出方程的一个正数解的取值范围为（

）x-101234ax2+bx+c-7-5-151323A．-1<x<0 B．0<x<1 C．1<x<2 D．-1<x<5【答案】C【分析】根据表格确定当ax2+bx+c=0的值大于-1小于5，由此得到x的取值范围．【详解】解：设y=ax2+bx+c，由表格可知，当y=-1时，x=1；当y=5时，x=2，而-1<0<5，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的解的取值范围是1<x<2，故选：C．【点睛】此题考查了利用函数值的范围判断自变量的取值范围，正确理解表格数值的对应关系是解题的关键．6．（2023·福建福州·校考模拟预测）方程的根可视为直线与双曲线交点的横坐标，根据此法可推断方程的实根所在的范围是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】依题意，的根可视为抛物线与双曲线交点的横坐标，分别求得当时的函数值，根据函数图象即可求解．【详解】解：依题意，的根可视为抛物线与双曲线交点的横坐标，当时，，，当时，，，，∴方程的实根所在的范围是，故选：B．

【点睛】本题考查了抛物线与反比例函数的性质，根据交点求方程的解，熟练掌握抛物线与反比例函数的性质是解题的关键．7．（2023·辽宁营口·校联考一模）抛物线与轴只有一个公共点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】抛物线与轴有一个交点，的方程就有两个相等的实数根，根的判别式就等于0．【详解】解：抛物线与轴只有一个公共点，方程有两个相等的实数根，△，．故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线与轴的交点，熟知二次函数，，是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系是解题的关键．8．（2023春·山东东营·八年级东营市实验中学校考期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为（

）

A．，B．， C．， D．，【答案】B【分析】直接根据图像求解即可．【详解】解：∵，∴，∴方程的解为抛物线与直线的两个交点的横坐标，∵两个交点坐标分别为，，∴方程的解为，，故B正确．故选：B．【点睛】本题考查抛物线与一元二次方程的关系，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，属于中考常考题型．9．（2022春·九年级课时练习）老师出示了小黑板上的题后（如图），小华说：过点（3，0）；小彬说：过点（4，3）；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】首先求出抛物线的解析式，然后逐一进行判断即可得出答案．【详解】解：∵抛物线过（1,0），对称轴是x＝2，∴，解得a＝1，b＝－4，∴y＝x2－4x＋3，当x＝3时，y＝0，所以小华正确，当x＝4时，y＝3，小彬正确，a＝1，小明也正确，抛物线被x轴截得的线段长为2，已知过点(1,0)，则可得另一点为(－1,0)或(3,0)，所以对称轴为y轴或x＝2，此时答案不唯一，所以小颖也错误，故答案为：C．【点睛】本题主要考查抛物线，掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2022春·九年级课时练习）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．【详解】解：由题意得：，解得：x＝−3或x＝5，故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．11．（2019秋·广东中山·九年级校考开学考试）画出函数的图象，利用图象回答：(1)方程的解是什么？(2)取什么值时，函数值大于0；(3)取什么值时，函数值小于0．【答案】(1)，(2)或(3)【分析】画出抛物线的图象的草图，根据图象即可解决问题（1）（2）（3）．【详解】（1）根据题意，可作图如下：由图可知，当时，或，∴方程的解为：，．（2）由图可知，当或时，函数值．（3）由图可知，当时，函数值．【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系以及与坐标轴的交点求法，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出自变量x的范围，运