2025年高考数学复习题型突破训练：等差数列（解析版）

第01讲等差数列

目录

题型一：等差数列及其通项公式........................................1

题型二：等差中项....................................................3

题型三：等差数列下标和性质.........................................6

题型四：等差数列的函数特征........................................7

角度1：等差数列的单调性.........................................7

角度2：等差数列中的最大（小）项.................................8

题型五：等差数列的前〃项和.........................................13

题型六：等差数列的前〃项和性质.....................................16

角度1：等差数列片段和性质......................................16

角度2：两个等差数列前〃项和比的问题.............................17

题型七：等差数列的前〃项和的函数特性...............................22

角度1：二次函数法求等差数列前〃项和的最值.......................22

角度2：求等差数列前〃项和的最值.................................23

角度3：根据等差数列前〃项和最值求参数...........................25

题型一：等差数列及其通项公式

典型例题

例题1.（2023•湖南衡阳•校考模拟预测）设等差数列包｝的前〃项和为S“，的=8,%=36,则满足S.>a“

的正整数〃的最大值为（）

A.16B.15C.12D.8

【答案】B

zx3d=8\a,=14

【详解】设等差数列/公差为d,贝叱;9次解得/,，

［12。］+66d=36\d=-2

2

所以%=16-2〃,Sn=-n+15n.

由S”>a“，得—〃2+15〃>16-2〃，

即17〃+16<0，解得1<〃<16,

所以正整数〃的最大值为15.

故选：B.

例题2.（2023•北京丰台•北京丰台二中校考三模）设等差数列｛%｝的前〃项和为S..若q=2,邑=20,

贝!J«3=;s„=•

【答案】6n2+n

【详解】设公差为d,由％=2,5=20,所以S4=4q+4（4；）"=20,即4x2+隼电=20,解得d=2,

所以。“=2〃,

则%=6,5（2+2〃）〃=/+〃

2

故答案为：6；n2+n

例题3.（2023•全国•高二专题练习）已知数列｛0“｝各项均为正数且满足式-（〃-1）。"-2〃2+〃=0,数列

血｝满足4=3,且％=34+3用.求｛。“｝，抄”｝的通项公式.

【答案】an=2n-l,b.=n-3"

【详解】由党一（1-1）%-2/+〃=0可得［%_（2〜1）］（%+冷=0,

*/an>0/.an=2〃-1,

因为6z=3a+3"+L左右两边同除以3向，得9=3+1，

所以数列，畀是公差为1的等差数列，

—=1,———1+77-1=77,

313"

:.b„=n-r.

精练核心考点

1.（2023•福建厦门•厦门外国语学校校考模拟预测）已知等差数列｛%｝的前〃项和为J,若邑<4,邑=\，

sg>s9,则符合题意的等差数列｛凡｝的一个通项公式为。“=.

【答案】8-〃（答案不唯一）

【详解】因为§6<S7，S［=S$,Ss>Sg,

所以%>0,。8=。，%<0，

设数列｛&｝的公差为d,则d<0,

取d=—l,又q=0，可得4=7,

故数列｛%｝的一个通项公式为4=8-"，

故答案为：8-/7（答案不唯一）.

2.（2023春•河南•高二校联考阶段练习）数列｛%｝满足氏=2〃,S,为数列｛/｝的前〃项和，则

1111

-----1-------1-------F,••H-------------=

H$2$2023

2023

【答案】

2024

【详解】由4=2〃可得a向-4=2,故｛%｝是公差为2的等差数列,

（2+2〃）〃.1111

所以=/乙=鼠〃+D，所以盛=花而=7-Q

11111111112023

-----1-------1-------F•••H---------=-----------1----------F,••H-----------------------=---------

S]S2S34231223202320242024,

2023

故答案为:

2024

3.（2023・全国•高二专题练习）在数列｛4｝中%=4,（〃+1）%=2/+2〃，.求证：数列｛组｝是等差

n

数列；

【答案】证明见解析

【详解】加用-（〃+1）。“=2〃2+2〃的两边同时除以水"+1）,得9*一%=2,

n+\n

•••数列｛%｝是首项为4,公差为2的等差数列•

n

题型二：等差中项

典型例题

例题1.（2023•全国•高三对口高考）已知数列｛%｝是等差数列，数列｛勾｝是等比数列，其公比4>1,

且4>0。=1,2,3广），若q=仇，%1=4],则（）

A.a6=b6B.a6>b6

C.a6Vb6D.42或《y

【答案】B

【详解】由等差数列和等比数列的性质可得4+&=2&，b、b“=b3

由基本不等式可得2a6=%+%]=4+bu22出A।=2%，

又公比，>1,故白工如，上式取不到等号，

2a6>2b6,即4>外.

故选：B

例题2.（2023春•北京•高二北京八中校考期中）在等差数列｛4｝中，为+生+%=300,则为+%的值

为（）

A.50B.100C.150D.200

【答案】D

【详解】因为数列｛%｝为等差数列，所以的+0=2%，

又因为为+。5+〃6=300,所以%+4=200,

故选：D.

例题3.（2023•广西南宁•南宁二中校考模拟预测）在等差数列｛4｝中，若4+/+%+%+%=120,则

26~a9=.

【答案】24

【详解】因为在等差数列｛。"｝中，有%+%=。2+。4=，所以由%+/+%+&+/=120,

得5%=120,%=24,又名+%=2。6，所以2a6-%=%=24-

故答案为：24

精练核心考点

1.（2023•辽宁沈阳•高三校联考学业考试）已知｛%｝是公差不为0的等差数列，*是其前〃项和，若

%+5%=$8,则下列关系中下军正确的是（）

A.Sg=HoB.S9<EoC.S^—SgD.*S*8<S9

【答案】A

【详解】由题设％+5%=国=4（%+3=4（%+&）,故4+%=加2=他,，

所以4=2%,若｛%｝的公差为dwO,则〃2=2（出+44）,可得〃2=-8d,

所以％0=〃2+81=。，故Si。=Sg+旬）=89,A正确，B错误；

而S8，Sg大小，与公差d的正负有关，大小不确定且SgWSg,C、D错误.

故选：A

113

2.（2023・全国•JWI二专题练习）已知。>0,b>0,且一，—，不成等差数列，则3Q+6的最小值为（）

a2b

A.4B.6C.9D.12

【答案】D

【详解】解：因为。>0,b>o,且上1，13:成等差数列，

a2b

所以」1+；3=2x1：=l,

ab2

所以3a+6=（3a+6）t+口=3+3+-+—>6+2J--=12,

\ab）ab\ab

当且仅当2=手，即0=2,6=6时取等号；

ab

故选：D

3.（2023春•黑龙江哈尔滨・高二哈九中校考期中）在等差数列｛%｝中，5"为｛应｝的前〃项和，%>0,a6%<0,

则无法判断正负的是（）

A.SnB.几C.又D.Sl4

【答案】B

【详解】设公差为d,因为q>0,a6a7<0,可知：d<0,且&>。，%<0,所以。8<。，从而

.=11（%；卬）=］叱>0,几J2.；如）=6（&+%）不确定正负,用=”（。；%3）=13%<0,

S14---7（%+〃8）<。

故选：B

14

4.（2023•广西•统考一模）已知。>0,b>0,若。，2,6依次成等差数列，则一+丁的最小值为______.

ab

Q

【答案】y

4

【详解】解：因为〃>0,6>0,且。，2,b依次成等差数列，

所以Q+6=2X2,°+,=1

所以工+:=

ab

当且仅当9h=4/7即。=4=，6=R2时取等号,

ab33

故±1+；4的最小值为9苫，

ab4

9

故答案为：—

4

题型三：等差数列下标和性质

典型例题

例题1.（2023•全国•校联考二模）等差数歹！]｛%｝中，。2+%+%。+%2=40.贝!I前13项和S[3=（）

A.133B.130C.125D.120

【答案】B

【详解】因为〃2+&+4o+%2=4。，又％+。10=〃2+。12=。1+43，

所以为+%=20,所以%="（%；43）=上|丝=130.

故选：B

例题2.（2023•全国•高三对口高考）在等差数列｛0“｝中，S"是其前”项和，若4+2%+%=60,则品

等于（）

A.195B.200C.205D.210

【答案】A

【详解】在等差数列｛氏｝中，因为。3+2%+41=60,所以2%+2a7=60,即％=15

所以几=（%+；）、1上"»=%=Bx15=195.

故选：A.

例题3.（2023•四川成都•树德中学校考模拟预测）等差数列｛%｝中，。5-。3=%-10,则｛%｝的前9项

和为（）

A.-180B.-90C.90D.180

【答案】C

【详解】因为%-〃3=%-1。，所以%+1。=%+。3，

又%+%=2%，所以%=1。，

所以品=9”初=史产=鬼5=90.

故选：C.

精练核心考点

1.（2023春•高二课时练习）设｛4｝{bn}都是等差数列，且4=25,4=75,4+62=100,贝!]%+&=

()

A.0B.37C.100D.-37

【答案】C

【详解】设q,=a“+”,由于｛4｝,｛2｝都是等差数列，则｛c“｝也是等差数列，

且q=4=25+75=100,q=4+仇=1。。，

｛。〃｝的公差d=。2一。1-0.「♦。37=100,即。37+方37=1。。.

故选：c

1

2.（2023春,高二课时练习）如果等差数列｛%｝中，（23++tz5=12,那么多+出"---F%=（）

A.14B.12C.28D.36

【答案】C

【详解】：阳+&+〃5=12,3a4=12,则%=4,又4+%=%+Y="+,=2%，

%+出+…+%=7。4=28.

故选:C.

3.（2023春•高二课时练习）已知数列｛%｝是等差数列，若%-。9+%=7,则。3+%5等于（）

A.7B.14C.21D.7（«-1）

【答案】B

【详解】因为4-旬+。17=（a1+%7）-。9=2%-％=。9=7,所以。3+々5=2%=2X7=14.

故选：B

题型四：等差数列的函数特征

角度1:等差数列的单调性

典型例题

例题1.（2023•高二课时练习）已知等差数列｛4｝单调递增且满足力+网=6,则/的取值范围是（）

A.（-℃,3）B.（3,6）C.（3,+oo）D.（6,+QO）

【答案】C

【详解】因为｛%｝为等差数列，设公差为d,

因为数列｛%｝单调递增，所以d>0,

所以%+=%+&=为6-%=6，

则2a6-6=3d>0,解得：a6>3,

故选：C

例题2.（多选）（2023•全国•高三专题练习）设等差数列｛氏｝的前〃项和为S“，且满足邑。>0,邑心0,

则下列结论正确的是（）

A.数列｛氏｝为单增数列B.数列｛%｝为单减数列

C.对任意正整数〃,都有|。“闫D.对任意正整数〃，都有同才叫

【答案】BD

【详解】在等差数列｛/｝中，因为邑。>0，

可得邑。=（q+"；》20>0,4=（1+；）x21<0,

BP4+。20>°且％+〃21<°，BP^10+。11>0且<0,

所以须>0,知<（）,且此时数列为递减数列，

可得对任意正整数小都有

故选：BD.

例题3.（2023春•山东德州•高二统考期中）写出一个同时具有下列性质①②的数列｛%｝的通项公式:

①口…（机>"，/，〃eN"）；②｛%｝单调递增.

【答案】W>0）（符合此种形式即可）

【详解】假设数列为等差数列，设其公差为d,首项为％,由性质①可得：

q=%+（m^>a1=d,

即4=%+（〃一l）d=dn,

再根据②可知，公差d>0,显然%=而（左>0）满足题意.

故答案为：kn（k>0）（符合此种形式即可）

角度2：等差数列中的最大（小）项

典型例题

例题1.（多选）（2023秋•湖南岳阳•高二统考期末）已知无穷等差数列｛%｝的前"项和为%>0,

d<0,贝!J（）

A.数列｛%｝单调递减B.数列｛&｝没有最小项

C.数列阻｝单调递减D.数列｛5｝有最大项

【答案】ABD

【详解】解：数列｛%｝的前〃项和为5，%>0,由于d<0,故数列｛%｝为单调递减数列，

且数列｛%｝为无穷等差数列，故数列｛%｝没有最小项，故A正确、B正确；

又S'=?+，1<0,二次函数开口向下，对称轴为“一"「5、n，

212/2n—~~>u

y-d

故数列｛、｝有最大项，没有最小项，故D正确，

d

因为“一"上生、n，无法判断可与的大小，即〃的取值，故无法判断数列｛S.｝的增减性，故C

—d2—d

错误.

故选：ABD.

例题2.（多选）（2023春•黑龙江哈尔滨•高二哈尔滨德强学校校考阶段练习）等差数列｛。力中，S“为

其前"项和，%=15,工=品，则以下正确的是（）

A.d=—1B.|。4H"131

c.s”的最大值为SgD.使得邑>0的最大整数〃=15

【答案】BCD

【详解】解：；S5=Su，，/+%+…+%1=3（。6+%1）=3（%+%6）=°，

%+%6=0，

,/«1=15,a16=-15,

，数列｛%｝的公差1=§F?=一2,故A错误；

16-1

1=

an=15-2（H-1）=17-2H,/.|a4|=|ai39,故B正确；

S"=15〃—2x"（；D=f2+16〃,当〃=8时，S&取得最大值；

-/515>0,516<0,故D正确；

故选：BCD.

例题3.（2023春•河南南阳•高二校联考期中）已知正项等比数列｛。"｝满足条件出吗6=骁，”主义=：.

%+为3

（1）求｛与｝的通项公式；

7；

⑵设7.=ala2L册，求的最大值.

【答案】⑴％=2»"

（2）2、5

【详解】（］）设｛4｝的公比为g,

由题思得&=。2%6=16,所以旬=%q=4,

&+%_（/+%）/3_1

----------=------------------=q=—，

a3+a4a3+a48

所以q=a\=1024.

所以=1024x=211-/7.

(21-〃)〃

(2)010+9+8+…v7ry2

-a1a2…a,=2=2

二次函数y=⑵一』x=_"+&x的图象的对称轴为x=斗,

2222

故当〃=10或□时，（取得最大值，且最大值为255.

题型四精练核心考点

1.（2023•北京海淀•校考三模）已知等差数列｛叫的公差为d,数列低｝满足。”也=1（〃eN*）,则"d>0"

是"也"｝为递减数歹旷的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】因为。.也=l（〃eN*）,所以尸0且6,尸0,则

an

若d>0,不妨令—7+2w,则4=—],b2=——,4=—1，4=1,"=]，L,

显然｛2｝不单调，故充分性不成立，

若｛"｝为递减数列，则｛%｝不是常数数列，所以｛%｝单调，

若｛/｝单调递减，又>=:在（0,+。）上单调递减，则也｝为递增数列，矛盾；

所以｛%｝单调递增，则d>0,且4>0,其中当为<0,d>0时也不能满足物,｝为递减数列，故必要性成

立，

故"d>0"是"｛a｝为递减数列"的必要不充分条件.

故选：B

2.（2023春・河南洛阳•高二洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知无穷等差数列｛%｝的前〃项和为S“，

公差为d,若%>0，d<0,则不正确的（）

A.数列｛%｝单调递减B.数列｛%｝没有最小值

C.数列｛£,｝单调递减D.数列｛$”｝有最大值

【答案】C

【详解】由于公差d<0,所以｛g｝单调递减，故A正确，由于｛七｝为无穷的递减等差数列，所以B正确,

由,故S"为开口向下关于"的二次函数，且对称轴为

dI

5-41%、「，由于对称轴与1的关系不明确，所以无法确定单调性，但是由于开口向下，故有

dId

最大值，故C错误，D正确，

故选：C

3.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝为等差数列，前〃项和为九贝/绍用<目+染2"是"数列阻｝

为单增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】若2s3<4+即2,故s“「s”<s”+2-即%<―，

故｛%｝为单调递增数列，设公差为d（d>o）,

.cn（n-\\d2（d\

1、〔XT

止匕时Sn=H------------d=—n——In,

令>=gx2+1%-g]x,对称轴为_%一]，当/时，此时对称轴X>1,

此时S“=y«2+^i-1-^«先增后减，

所以数列｛$,｝不是单调数列，

充分性不成立，

若数列｛5｝为单增数列，设等差数列｛4｝公差为d,

若d=0,不妨设q=1，此时$"=〃，满足数列｛Sj为单增数列，

此时岳=1,$2=2,品=3,2邑=H+$3=4,故必要性不成立,

故"25用<Sn+号+2"是"数列｛5„｝为单增数歹旷的既不充分也不必要条件.

故选：D

4.（多选）（2023秋・吉林•高二吉林一中校考期末）已知等差数列｛%｝,前〃项和为S”,%>0,等<-1,

则下列结论正确的是（）

A.。2022>°B.S”的最大值为邑023

c.|%|的最小值为。2022D.5,4044＜。

【答案】ACD

【详解】对于AJ•数列｛%｝为等差数列，％>0,咏<-1,

“2022

，数列｛%｝为递减的等差数列，

••^*2023<0，^^2022>

故A正确，

对于B,•・•数列｛0“｝为递减的等差数列，a2023<0,a2022>0,

S,的最大值为邑022，

故B错，

对于C,•%023<°，。2022>。，

...由£2021<T得4023<-a2022,

“2022

,,。2023+“2022<°，

,,I42023l>H2022I，

，㈤的最小值为“221，即。2022，

故C正确，

对于D,54044==2022（g。”+«2023）<。，

故D正确.

故选：ACD

5.（多选）（2023春•高二课时练习）等差数列｛%｝中，臬<57，$7>国，则下列命题中为真命题的是（）

A.公差d<0B.S9<S6

C.四是各项中最大的项D.S’是$“中最大的值

【答案】ABD

【详解】由品<跖,跖>项得:a7>0,ag<0,

所以"=08-&7<。,且各项中最大的项为%，故A正确，C错误；

$9-$6=%+。8+。7=%<0，所以$9<S6，故B正确；

因为的>。,%<0,等差数列｛%｝递减，所以凡最大，故D正确；

故选：ABD

6.（多选）（2023春•江西上饶•高二校考阶段练习）记等差数列｛%｝的前〃项和为S”.若出=1。，$5=$2,

则（）

A.S3=S4B.a=10C.S”的最大值为30D.4的最大值为15

【答案】ACD

【详解】设等差数列的公差为d,

[a,+d=10

则由题可得「c,，解得4=15,d=-5,

[5q+10d=2q+d

w15+5w

=15+(M-1)X(-5)=20-5M,Sn=(^0-)=35〃;5川,

/.a4=0,S3=S4,故A正确；a6=-10,故B错误；

当〃=3或4时，取得最大值为30,故C正确；

由于d<0,所以%的最大值为4=15,故D正确.

故选：ACD.

7.（多选）（2023春・江西南昌•高二校考阶段练习）公差为d的等差数列｛4｝的前〃项和为S.，若

邑023<§2021<邑（）22，则下列选项正确的是（）

A.d<0B.4<0时，〃的最小值为2022

c.S“有最大值D.S,>0时，"的最大值为4043

【答案】ACD

“2023+“2022<°，“2023(°，。2022)0,故等差数列｛%｝的公差

【详解】对于A：由S2023<S2021<52022可得

d=“2023—。2022<0，故A止确;

对于B：由A得，数列为单调递减数列，且。2。23〈0，生期）0,故％<0时〃的最小值为2023,故B错误;

对C：由A得，d<0,故5“=（/+上=|_1是关于〃的开口向下的二次函数，其有最大值，没有最小值,

故C正确;

对于D：因为数列｛%｝的前2022项均为正数，且

邑。M=4044忙芈=2022(%+*)=2022(*+、)<°，6=4043老皿="43嗫？>°，

S”>0时，"的最大值为4043,故D正确;

故选：ACD.

题型五：等差数列的前〃项和

典型例题

例题1.（2023春•四川广安•高二四川省广安友谊中学校考阶段练习）“中国剩余定理”又称“孙子定

理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如

下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问

题：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,记数列｛%｝的前〃项和为凡，则

的最小值为()

C.红

A.20B.25D.40

2

【答案】B

【详解】被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2,公差为3的等差数列｛%｝,

n(n-l).31

贝也=2〃+-------x3=-n2+-n

222

,2s,,+48_3/+〃+4848

=3n+—+1>21=25

nnn

当且仅当3〃=4竺8，即〃=4时，等号成立,

n

故选:B.

例题2.(2023春•北京海淀•高二北理工附中校考期中)已知S“是等差数列｛总的前“项和，若仅当"=5

时S“取到最小值，且|«5|>|a61,则满足S“>0的〃的最小值为.

【答案】11

【详解】因为5“=〃%+今匚1/=1«2+

当〃=5时用取到最小值,

所以d>0,所以。5<a6，

因为所以一〃5<。6，即一(4+4d)>4+5d,所以々〈—gd.

((HV-1)J)(n-1)9

Sn=nax+d>0,则--->0,因为q<——d,

I2722

所以-也二Dd,解之得：〃>10,因为〃cN*,所以〃的最小值为11.

22

故答案为：11.

例题3.(2023•湖北武汉•统考三模)已知各项均不为零的数列｛与｝的前〃项和为S,,%=1,

2S“=a“a“+i("eN*).

(1)求｛6｝的通项公式；

(2)若与<2023恒成立，求正整数k的最大值.

【答案】(I)%=〃

⑵63

【详解】(1)解：由题意，各项均不为零的数列｛与｝的前〃项和为S,,满足为=1且2s

当〃=1时，2a｛=axa2,解得出=2,

当〃>2时,2Sn_｛=an_ian,两式相减得2%=%（%讨-%）,

因为数列｛七｝中各项均不为零，即«„+1=2.

所以数列｛%｝中奇数项是以外为首项，2为公差的等差数列；

偶数项是以g为首项，2为公差的等差数列，

当“=2左时，=。2+（左-1）x2=2左，即%=〃；

当”=2后_]时，&I=%+（4-1）x2=2左一1,即。“=〃，

综上，数列｛%｝的通项公式为对=〃.

（2）解:由（1）知数列｛%｝是以1为首项，1为公差的等差数列，可得S“=当⑴,

因为*2023,所以左（左+1）44046,

当左463时,屏<2023,即不等式恒成立；

当上=64时，Sk>2023.

故正整数左的最大值为63.

精练核心考点

1.（2023•湖北武汉•华中师大一附中校考模拟预测）已知等差数列｛与｝的首项为1,前〃项和为且对任

意、n于7,Sn<87,则（）

A.S13<0B.514>0C.S15<0D.S16>0

【答案】C

（、f“7=l+6d〉0,「11、

【详解】设｛6｝的公差为d,由题设条件可知d<0,且|；=]+7]<0则

因止匕几=13（61+1）>0,几=15（7〃+1）<0,品=16（T〃+l]<0，

而见=14（£d+lj符号不确定.

故选：C.

2.（2023•全国•高三专题练习）记S“为等差数列｛%,｝的前"项和，若瓶+%+3=10，%+3+%+2=18,则

^_^L=

n〃+1

【答案】-2

【详解】由4“+%+3=10①，%+3+乙+2=18②，

(2)-(J)得3d—d=8,

得d=4,

乂$：（%+%,）〃

“一2

则盘=%+J

、n2

故显-

_%+%%+%aa=d2

n〃+122=~2（"+1~n）~^=~•

故答案为：-2

3.（2023春•高二课时练习）设等差数列｛〃〃｝的前〃项和为S〃，且鼠=-2£x=0£+2=3,则加=

【答案】4

【详解】由题意得：am+l=Sm+l-Sm=2,am+2=Sm+2-Sm+l=3,

则等差数列的公差1=5+2-4+i=1

则«„,1=%+md=a+m=2,S=%（m+1）+1）=（2-机）（机+1）+机（机+1）

+xm+X冽（：+=W+l12-g=0,

2

解得：加=4或加=-1（舍去），

故答案为：4.

题型六：等差数列的前〃项和性质

角度1：等差数列片段和性质

典型例题

例题1.（2023春•河北•高二校联考阶段练习）已知S,是等差数列｛%｝的前"项和，若$20=15,56。=75,

贝!1'。=（）

A.40B.45C.50D.55

【答案】A

【详解】由等差数列的性质得：

凡。，S40-S20,SyS,。成等差数列，

所以2（3。-15）=15+（7574。），

解得$4。=40.

故选：A

例题2.（2023•全国•高二专题练习）在等差数列｛%｝中，其前"项和为S.，若邑：品=6：1,则与母4=

（）

A.16:1B.6:1C.12:1D.10:3

【答案】D

【详解】由等差数列前〃项和的性质可得，S7，、4-S7岛-凡凡-S》成等差数列，设$7=5,则$21=65,

即S'-S,6s-几成等差数列，故2（几-s）=s+6s-几，解得S]4=3S,a57,514-S7,521-S14,S28-S21即

s,2s,3s,4s,故%-6s=4s,528=105,故$28:凡=10:3

故选：D

例题3.（2023春•高二课时练习）设等差数列｛6｝的前〃项和为S“，若1=2,%=8,贝!）5软=.

【答案】32

【详解】由等差数列｛/｝前n项和的性质，

可得&，S“-Sk,S3t-S2t,S4*-Mk成等差数列，

2（%一邑”&+%F，解得$=18,

...2,6,10,5.-18成等差数列，

可得2xl0=6+%-18,

解得%=32.

故答案为：32.

角度2：两个等差数列前〃项和比的问题

典型例题

例题1.（2023春•辽宁沈阳•高二沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列｛%｝,也,｝的前1项和分别

,一,7〃+2必

为S”和7；,已知清二F~,则广二

/〃n+3%

、93

【答案】

16

13、13c

鼠=万z（%+阳）7=刍

【详解】由题意可知,

q：色+九）*2%以

。7_几_7x13+2_93

所以七工―13+3~~16'

故答案为:二.

16

例题2.（2023春•辽宁沈阳•高二辽宁省康平县高级中学校联考阶段练习）设等差数列｛%｝,也,｝的前〃

项和分别为加小若尹日，则\（）

C22

B-技D.

-69

【答案】D

【详解】因等差数列前”项和为关于〃的不含常数项的二次函数，又十日，

北=布（3〃+12）,则六=今三!35k—24k_11左_11

则可设s“=加（"+2）,

420^35iI-69l-69

所以党也.2x113

%6969.

故选：D

例题3.（2023春•江西南昌•高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知两个等差数列｛%｝和｛4｝的

A7〃+45a

前〃项和分别为4和4,且才=:丁，则使得力为正偶数时，〃的值是

A.1B.2C.5D.3或11

【答案】D

【详解】试题分析：在等差数列中，若加+〃=。+4,则a1n+an=ap+%.因为两个等差数列｛%｝和｛bn｝的前

"(一+*)

4,7〃+45所以％=径=----2----7(2〃-1)+45

〃项和分别为4和与，且f=-^鼠

b,2b„岫+邑t)4(2n-1>3

2

=不-7+急,为党为正偶数,则须，+1为4或⑵所以―或U,选D.

题型六精练核心考点

1.（2023・福建厦门•统考模拟预测）等差数列｛%｝的前〃项和为S“，跖=18出=3,则&=（）

2127

A.9B.—C.12D.—

22

【答案】A

【详解】由已知邑，S6-S3,S9-S6,即3,$6-3,18-凡成等差数列，

所以2X（S6-3）=3+（18-S6）,所以、=9,

故选：A.

2.（2023春・河南南阳•高二校联考期中）已知等差数列｛%｝,若%+&+%=12,a4+a5+a6=18,则

a6+a7+a8=（）

A.30B.36C.24D.48

【答案】A

【详解】已知等差数列｛。“｝,/+。4+。5=12①，%+。5+4=18②，

设数列｛%｝的公差为d,

②一①得3d=6,

则。6+。7+“8=。3+。4+。5+9d=12+18=30.

故选：A.

3.（2023春•湖北咸宁•高二鄂南高中校考阶段练习）已知数列｛%｝的前"项和为S“，且

“0+2=2。"+1-。"岛=20,邑0=1。，则邑（）=（）

A.0B.-10C.-20D.-30

【答案】D

【详解1由an+2=2%+[-%可得an+2+an=2a„+1,

故数列｛%｝为等差数列，

又$=20,$2。=10,故，,S2a-$月0-邑。也成等差数列，

BP2x（10-20）=20+S30-10,530=-30,

故选：D

4.（2023春•辽宁大连•高二校联考期中）设等差数列m｝,帆｝的前〃项和分别是S“，Tn,若£=不篙

则,（）

【答案】B

【详解】由等差数列的前〃项和公式满足//+台〃形式，设S〃二初・（2〃）=2加2,则

?一&$6—$52左X36—2左X2511

Tn=初,（3〃+7）=3而+7而，=———=——一―[久力—7=7?.

b5T5-T43左X25+7左X5-3左X16-7左X417

故选：B.

5.（多选）（2023春•高二课时练习）已知两个等差数列｛g｝和色,｝的前〃项和分别为Sn和7；,且*=加子,

则使彳吟为整数的正整数〃的值为（）

A.2B.3C.4D.14

【答案】ACD

（2〃-1）（一

【详解】由题音可得&11=---------------=（2-T）%=_S|J]||

【洋斛】由⑶昂"寸小（21）（4+%）（2小）