高一年级上学期第一章集合课程讲义2

2023年秋季高一数学——集合（复习适用）参考答案与试题解析一．试题（共39小题）1．集合，用列举法可以表示为A．，2，4， B．，2，4，5，6， C．，，，，3， D．，，，，2，3，【分析】利用已知条件，化简求解即可．【解答】解：集合，可知，，，，，，则，2，4，5，6，9．集合，2，4，5，6，．故选：．【点评】本题考查集合的表示方法，是基础题．2．已知集合，，则集合的真子集个数为A．32 B．4 C．5 D．31【分析】解出集合，再由含有个元素的集合，其真子集个数为个可得答案．【解答】解：已知集合，，2，3，4，，则集合真子集的个数为个，故选：．【点评】本题主要考查集合表示方法中的描述法和集合的真子集的概念，其中含有个元素的集合，其真子集个数为个．3．集合，用列举法可以表示为A．， B．，2，4，5，6， C．，，，，3， D．，，，，2，3，【分析】利用已知条件，化简求解即可．【解答】解：由集合，可知，，，，，，所以，2，4，5，6，9．所以集合，，，，3，．故选：．【点评】本题考查了集合的表示法，属于基础题．4．集合中含有的元素个数为A．4 B．6 C．8 D．12【分析】根据题意，集合中的元素满足是正整数，且是整数．由此列出与对应值的表格，根据该表格即可得到题中集合元素的个数．【解答】解：由题意，集合中的元素满足是正整数，且是整数，由此列出下表12346121264321根据表格，可得符合条件的共有6个，即集合中有6个元素故选：．【点评】本题给出集合，求集合中元素的个数，着重考查了集合元素的性质和用大写字母表示数集等知识，属于基础题．5．已知集合，，，，则集合，之间的关系为．【分析】首先，将给定的集合化简，然后作出判断．【解答】解：由集合得：，由集合得：，，，，，故答案为：．【点评】本题重点考查集合的相等的概念，属于基础题，难度小．6．设集合，，，，则、的关系为A． B． C． D．【分析】通过化简集合中元素的一般形式，比较分析来判断集合关系．【解答】解：，；，故选：．【点评】本题考查集合关系．可通过化简集合中元素的一般形式或用列举法写出两集合一段数值大小连续的元素来判断，这是此类题的两种常见解法．7．集合，，，，则，之间的关系为A． B． C． D．【分析】化简集合，，，，，，分析即可判断，之间的关系．【解答】解：化简集合，，，，，，集合中的元素是的奇数倍，集合中的元素是的偶数倍，故．故选：．【点评】本题考查了集合的化简与集合包含关系的应用，属于基础题．8．下列选项中的两个集合相等的有A．，，， B．，，， C．，， D．，【分析】利用集合相等的定义和集合中的元素的性质，对各个选项逐个判断即可．【解答】解：选项：因为集合，表示的都是所有偶数组成的集合，所以；选项：集合中的元素是由1，3，5，，所有正奇数组成的集合，集合是由3，5，，所有大于1的正奇数组成的集合，即，所以；选项：集合，，集合中：当为奇数时，，当为偶数时，，所以，，则；选项：集合表示的是数集，集合表示的是点集，所以；综上，选项表示的集合相等，故选：．【点评】本题考查了集合相等的性质，考查了学生对集合的元素的理解，属于基础题．9．已知集合，，，且，则实数的值为A．3 B．2 C．0或3 D．0或2或3【分析】由已知可得或，且，解出的值，根据集合元素的互异性分别讨论即可求解．【解答】解：因为集合，，，且，则或，解得，0（舍去）或3，当时，集合，2，与集合元素的互异性矛盾，故，当时，集合，3，成立，故，故选：．【点评】本题考查了元素与集合的关系，涉及到集合元素的性质，属于基础题．10．设集合，，1，，，若，则实数2．【分析】由已知得出，然后将代入集合的方程得出的值，再对的值分类讨论即可求解．【解答】解：因为，则，所以，解得或，当时，集合，，此时，与已知不符，故舍去，当时，集合，此时成立，故实数的值为2，故答案为：2．【点评】本题考查了集合的交集运算的应用，涉及到一元二次方程的解法，属于基础题．11．已知集合，，，若，则实数的取值集合为A． B．， C． D．【分析】由于集合，，，，所以或，再根据元素的互异性，得出的值即可．【解答】解：由于集合，，，，所以或，或；当时，，满足条件；当时，，满足条件；当时，，与元素的互异性矛盾，舍去；故的取值集合为，．故选：．【点评】本题考查了元素与集合的关系，元素的三个特征，确定性，互异性，无序性，属于基础题．12．若集合中只有一个元素，则实数的值为A．0或1 B．1 C．0 D．【分析】当时，集合，满足条件．当时，由判别式等于0可得，此时，集合，满足条件，由此得出结论．【解答】解：当时，集合，满足条件．当时，由判别式等于0可得，解得，此时，集合，满足条件．综上可得，实数的值为0或1．故选：．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．13．已知集合，，若，则实数的取值集合为A． B． C． D．【分析】分离参数，转化为二次函数求值域问题，即可得出结论．【解答】解：由，可得，，，时，的最小值为，时，的最大值为0，故选：．【点评】本题考查集合的运算，考查二次函数的性质，正确转化是关键．14．若集合，则实数的取值集合为A． B． C． D．【分析】根据题意，讨论字母系数的取值情况，找出满足不等式无解的的取值集合即可．【解答】解：当时，不等式等价于，此时不等式无解；当时，要使原不等式无解，应满足，即，解得；综上，的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了含有字母系数的不等式的解法问题，解题时应对字母系数进行讨论，是基础题．15．若集合中只有一个元素，则4．【分析】集合只有一个元素，分别讨论当和时对应的等价条件即可【解答】解：中只有一个元素，若，方程等价为，等式不成立，不满足条件．若，则方程满足△，即，解得或（舍去）．故答案为：4【点评】本题主要考查集合元素个数的应用，将集合问题转化为方程根的个数问题是解决本题的关键，要对进行讨论．16．已知集合，，．（1）若是空集，求的取值范围；（2）若中只有一个元素，求的值，并求集合；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围【分析】（1）利用是空集，则△即可求出的取值范围；（2）对分情况讨论，分别求出符合题意的的值，及集合即可；（3）结合（1），（2）的结果，即可求解．【解答】解：（1）是空集，且△，，解得，的取值范围为：；（2）①当时，集合，②当时，△，，解得，此时集合，综上所求，的值为0或，集合，集合；（3）由（1），（2）可知，当中至多有一个元素时，或，的取值范围为：【点评】本题主要考查了集合的元素个数，是中档题．17．已知集合，，．（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围．【分析】（1）求出集合，并集定义能求出；（2）由，得，列出不等式组，能求出实数的取值范围．【解答】解：（1）集合，，．当时，，；（2），，，解得，实数的取值范围为．【点评】本题考查集合的运算，考查交集、并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．已知集合，集合．（1）求．（2）求，求的取值范围．【分析】（1）结合二次不等式即可求解；（2）由题意得，然后对是否为空集进行分类讨论可求．【解答】解：（1），（2）因为且，所以，当时，，即，当时，，解得，综上，的取值范围为，．【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．19．已知集合，，或．（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求的取值范围．【分析】（Ⅰ）当时，，求出，由此能求出．（Ⅱ）由集合，，或，，列出不等式组，由此能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，或，，或，，或．分（Ⅱ）集合，，或．，，解得，的取值范围是．分．【点评】本题考查补集、交集、实数的取值范围的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．20．已知集合，．（1）若，求；（2）若，求的取值集合．【分析】（1）根据已知条件，结合交集的定义，即可求解；（2）根据已知条件，推得，再分类讨论，即可求解．【解答】解：（1）当时，，，，，；（2），，当△，即时，，符合题意，当△时，解得，，符合题意，当△，即时，，，则，解得，综上所述，的取值集合是或．【点评】本题主要考查交集、并集的运算，属于基础题．21．已知集合，．（1）当时，写出所有满足条件的集合；（2）若，求实数的取值范围．【分析】（1）由于集合，1，，当时，集合，再由可得，是的非空子集，从而得到．（2）当，△时，有．当，方程有实数根，且实数根是，1，中的数，把，1，代入检验，由此得到实数的取值范围．【解答】解：（1）集合，1，，当时，集合，再由可得，是的真子集，是的非空子集．共有个，分别为、、、，、，、，、，1，．（2），对于方程，当，△时，有．△时，，方程有实数根，且实数根是，1，中的数．若是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去．若1是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去．若是方程的实数根，则有，此时，，不满足，故舍去．综上可得，实数的取值范围为，．【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想．注意检验，这是解题的易错点，属于中档题．22．2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为厂大青年群体带来精神感召．现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人．其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为3．【分析】把大学社团50人形成的集合记为全集，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为，，，作出韦恩图，数形结合，能求出没有观看任何一支短视频的人数．【解答】解：把大学社团50人形成的集合记为全集，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频的人形成的集合分别记为，，，作出韦恩图，如图，观察韦恩图：观看了《青春之歌》的有21人，只观看了《青春之歌》的有（人，观看了《建党伟业》的有23人，只观看了《建党伟业》的有（人，观看了《开国大典》的有26人，则只看了《开国大典》的有（人，至少看了一支短视频的有（人，没有观看任何一支短视频的人数为3．故答案为：3．【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．23．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店这三天售出的商品最少有A．25种 B．27种 C．29种 D．31种【分析】由题意求出第一天售出且第二天没有售出的商品种数和第三天售出的且第二天未售出的商品种数，利用集合表示商品种数，画出图形容易得出正确的结果．【解答】解：因为前两天都售出的商品有3种，因此第一天售出且第二天没有售出的商品有（种；同理第三天售出的商品中有14种第二天未售出，有1种商品第一天未售出；所以三天商品种数最少时，是第三天中14种第二天未售出的商品都是第一天售出过的，此时商品总数是（种；分别用集合、、表示第一、第二和第三天售出的商品，则商品数最少时对应的情况可以用下图表示，故选：．【点评】本题考查集合的应用，属于基础题．24．某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为A．2 B．3 C．4 D．5【分析】党员人数和大学生人数之和减去志愿者小组总人数，得到既是党员又是大学生的志愿者人数．【解答】解：某疫情防控志愿者小组有20名志愿者，由党员和大学生组成，其中有15人是党员，有9人是大学生，则既是党员又是大学生的志愿者人数为：．故选：．【点评】本题考查既是党员又是大学生的志愿者人数的求法，考查集合中元素个数的判断等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．25．向某50名学生调查对，两事件的态度，其中有30人赞成，其余20人不赞成；有33人赞成，其余17人不赞成；且对，都不赞成的学生人数比对，都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对，都赞成的学生人数为A．18 B．19 C．20 D．21【分析】设都赞成，的人数为人，然后画出韦恩图，求出都不赞成的人数，然后根据已知建立方程即可求解．【解答】解：设都赞成，的人数为人，则如图所示韦恩图：所以都不赞成的人数为，则，解得，故选：．【点评】本题考查了韦恩图的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．26．某班有39名同学参加数学、物理、化学课外研究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组有多少人5．【分析】设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，，，根据容斥原理可求出结果．【解答】解：设参加数学、物理、化学小组的同学组成的集合分别为，，，同时参加数学和化学小组的人数为，因为每名同学至多参加两个小组，所以同时参加三个小组的同学的人数为0，画出韦恩图，如图所示：由图可知：，解得，所以同时参加数学和化学小组有5人．故答案为：5．【点评】本题主要考查了集合之间的元素关系，考查了韦恩图的应用，属于基础题．27．设全集，3，5，6，，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是，．【分析】逐个列举出来求解即可．【解答】解：元素个数为0的1个，；元素个数为1的5个，，，，，；元素个数为2的10个，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．所以排在第12位的子集是，．故答案为：，．【点评】本题主要考查了集合子集的定义，属于基础题．28．非空集合关于运算满足：对于任意的，，都有，则称集合关于运算为“回归集”．下列集合关于运算为“回归集“的是A．为，为自然数的减法 B．为，为有理数的乘法 C．为，为实数的加法 D．已知全集，集合，为（A），为实数的乘法【分析】根据新定义直接求解．【解答】解：选项，，，而，集合关于运算不是“回归集“，选项错误；选项，若，，则，集合关于运算为“回归集“，选项正确；选项，若，，则，集合关于运算为“回归集“，选项正确；选项，全集，集合，为（A），集合为无理数集，又，而，集合关于运算不是“回归集“，选项错误；故选：．【点评】本题考查新定义下集合运算，属于基础题．29．集合，4，，，，定义，，则的真子集个数为A．31 B．63 C．32 D．64【分析】根据条件即可求出集合的元素个数，从而可得出集合的真子集个数．【解答】解：根据题意得，的元素个数为个，的真子集个数为个．故选：．【点评】考查描述法、列举法的定义，元素与集合的关系，分步计数原理的应用，集合真子集个数的计算公式．30．设数集且、都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合的“长度”的最小值为A． B． C． D．【分析】可得的长度为，的长度为，当集合的长度的最小值时，与应分别在区间，的左右两端，进而可得计算可得答案．【解答】解：根据题意，的长度为，的长度为，当集合的长度的最小值时，与应分别在区间，的左右两端，故的长度的最小值是，故选：．【点评】本题考查集合间的交集，应结合交集的意义，分析集合“长度”的定义，进而得到答案．31．已知是非空数集，若非空集合，满足以下三个条件，则称，为集合的一种真分拆，并规定，与，为集合的同一种真分拆．①；②；③的元素个数不是中的元素．则集合，2，3，4，5，的真分拆的种数是A．5 B．6 C．10 D．15【分析】由真分拆的定义及规定即可求解．【解答】解：由题意，集合，2，3，4，5，的真分拆有：，，2，3，4，；，，，3，5，；，，，2，5，；，，，2，3，；，，，2，3，，共5种，故选：．【点评】本题考查了真分拆的定义和规定，属于基础题．32．对于集合，，定义，，⊕．设，2，3，4，5，，，5，6，7，8，9，，则⊕中可能含有下列元素A．5 B．6 C．7 D．8【分析】由已知新定义求出，，然后根据新定义以及并集的定义即可求解．【解答】解：由已知可得，2，，，8，9，，则⊕，2，3，7，8，9，，故选：．【点评】本题考查了新定义以及并集的应用，考查了学生的理解能力，属于基础题．33．是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为A．2022 B．2023 C． D．【分析】根据题意，求出，再根据子集的个数与集合元素个数之间的关系即可得答案．【解答】解：由题意可知：若，，则，，，均属于，而事实上，若，中，所以，故，中有正整数，从而中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，，，若，，则有，与矛盾，当时，，当时，则，所以，，所以，2，，，所以非空子集有个．故选：．【点评】本题考查了求非空子集的个数，难点在于求出，也考查了逻辑推理能力，属于难题．34．若集合恰有8个整数元素，写出的一个值：7（答案不唯一）．【分析】由题意知，从而可得，从而可知集合有8个整数为3，4，，10；从而可得且，从而解得．【解答】解：集合恰有8个整数元素，，解得，故，故集合有8个整数为3，4，，10；故且，解得，故的值可以是7，故答案为：7（答案不唯一）．【点评】本题考查了集合中元素的判断，属于基础题．35．设集合，，，，若中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为，3，5，，则集合，0，2，．【分析】由题意可知，集合的所有三元子集都是从中的四个元素中任意取的三个元素构成的集合，总共4种情况，每个元素被取了3次，集合中的元素应是4种情况的3个元素的和．【解答】解：在的所有三元子集中，每个元素均出现了3次，所以，故，于是集合的四个元素分别为，，，，因此，集合，0，2，．故答案为，0，2，．【点评】本题考查了集合中元素的三个特性，是新定义题型，解答时正确理解三元集合定义，从而明确集合中各个元素的来由．36．给定实数集合，，定义运算，，．设，2，4，，，，99，，则中的所有元素之和为29970．【分析】根据元素与集合的关系可解．【解答】解：根据题意，实数集合，，定义运算，，．因为，2，4，，，，99，，由，则可知所有元素之和为．故答案为：29970．【点评】本题考查元素与集合的关系，属于基础题．37．设是非空数集，若对任意，，都有、，则称具有性质，给出以下命题：①若具有性质，则可