初中数学人教八年级上册（2023年新编）第十四章 整式的乘法与因式分解乘法公式之平方差公式

乘法公式一一平方差公式

教学目标

知识与技能

L理解和掌握平方差公式和完全平方公式的特点.

2.能正确利用平方差公式和完全平方公式进行多项式的乘法.

过程与方法

1.让学生自主探索、发现规律,体验乘法公式的来源，理解公式的应用.

2.培养学生归纳、概括、推理的能力.

情感态度与价值观

1.在探究乘法公式的过程中，让学生体会数形结合的思想.

2.激发学生爱数学、学数学的情感.

3.让学生体验符号运算对证明猜想的作用.

教学重难点

【重点】乘法公式的推导及应用.

【难点】理解乘法公式的推导过程，并能正确地应用公式进行计算.

教学准备

【教师准备】教材图14.2-1的投影图片.

【学生准备】复习多项式乘法的有关计算法则.

教学过程

新课导入

导入一：

在一次智力抢答赛中，主持人提供了两道题：

1.21X19=?2.103X97=?

主持人话音刚落，就立刻有一个学生刷地站起来抢答说："第一题等于399,第二题

等于9991.H其速度之快，简直就是脱口而出.同学们,你知道他是如何计算的吗?你想

不想掌握他的简便、快速的运算招数呢？

［设计意图］通过"速算王的绝招"这一故事的情境创设，引发学生学习的兴趣,

同时激发了学生的好奇心和求知欲，顺利引入新课.

导入二：

【小小设计师】

现在有一块边长为a米的正方形草皮要建成街心公园，但在运输的过程中一角遭

到损坏，使得正方形草皮一角有边长为b米的小正方形草皮无法使用，请你帮助设计一

下,将不规则草皮通过剪拼变成规则的图形来建成街心公园，看谁的方法多！

【思考】不规则草皮的面积怎样用代数式表示?规则草皮的面积怎样表示?它

们之间又有什么关系？

导入三

从前，有一个狡猾的庄园主片巴一块边长为a米的正方形土地租给张老汉种植，第

二年，他对张老汉说："我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米继续租给你，租金

不变，你也没有吃亏,你看如何?”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，

把这事和邻居们一讲，邻居们都说："张老汉,你吃亏了!”张老汉非常吃惊.同学们，你知

道张老汉为什么吃亏吗？

通过本节课的学习，你将能解释其中的原因！

［设计意图］导入二与导入三都是通过问题情境，让学生感受生活中的数学知识,

积极投入到本节课的学习之中，激发了学生学习本节课知识的热情.

一、新知建构

公式推导

思路一

探究:计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？

⑴(x+l)(xT)；

⑵(研2)(加-2)；

(3)(2x+l)(2xT).

解:⑴(x+l)(xT)

-x~x+x~l

=/-l.

(2)(研2)(加一2)

=*2研2%/

-m-4.

(3)(2x+l)(2xT)

=4/-2X+2XT

=4/~l.

引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于

概括.

归纳:上面几个算式都是形如a+b的多项式与形如的多项式相乘.

［平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，在教学中,首先应让学生思考：

你能发现什么吗?让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异

同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算

对规律进行证明］

再举几个这样的运算例子.

让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的

代表来汇报.

［这里是对前边进行的运算的讨论，为下一步运用公式进行简单计算打下基础］

计算(a+6)(a-6).

让学生计算，归纳算式的特征，说明结果的形式.

角星：(<3+。)3—功=才一<3/7+<36—^=，一抗

然后,教师系统总结平方差公式.

平方差公式：(a+6)(a-4=才-

语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.这个公式叫做

(乘法的)平方差公式.

教师引导学生归纳这个公式的一些特点:如公式左、右两边的结构，教给学生记忆

公式的方法.

［知识拓展］公式的结构特征：(1)公式左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式

中有一项完全相同,另一项互为相反数.⑵公式右边是二项式中的两项的平方差，即相

同项的平方减去相反项的平方.⑶平方差公式的推导体现了从特殊到一般的数学思

想方法.

思路二

请同学们计算：

⑴(a+6)(a-6)；⑵(x+3)(x-3).

解:⑴(a+〃)(a-6)

二百一ab^ab—甘

=j.

⑵(x+3)(『3)

"-3才+3才-9

-x-9.

思考下列问题：

1.等式左边的两个多项式有什么特点？

2.等式右边的多项式有什么规律？

3.你能用上面的规律直接计算下列各式吗？

⑴匕+4")；

⑵(3a+l)(3aT).

解：⑴(3+2)(@-2)=才-22=34

(2)(3a+l)(3a-l)=(3a)2-l2=9a2-l.

4.你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？

5.你有什么不清楚的问题想问老师吗？

【教师质疑总结】

对问题系列中的关键问题进行提问答疑，教师提出两数和乘这两数的差的公式.

(a+b)(a-6)=H.

【学生解决问题】学生根据教师交给的问题，分组讨论,由小组长做好记录.

学生反馈问题：

每组自告奋勇回答才巴解决问题的过程和结果向教师和全班同学汇报，并提出自

己小组存在的问题.

【学生提出】

⑴为什么两数和乘这两数的差的公式是对的？

⑵(a+2)(a-2)型,可以用两数和乘它们的差的公式完成吗？

⑶怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘这两数的差的公式?(当然我们的学生

还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题)

波利亚曾说："如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题."

故先构筑这一系列的与两数和乘这两数的差的公式推导有关的问题，让学生积极探索,

勇于创新.

一方面，人人尝试了问题的解决，另一方面，鼓励学生发现问题.正如爱因斯坦所说:

提出一个问题比解决一个问题更重要.因为它需要创造性的想象力得出两数和乘这

两数的差的公式的基本特征:两个二项式相乘，一项相同，一项相反，且相同的写在前

面.

二新知应用

思路1

例1运用平方差公式计算.

⑴(3x+2)(3x-2)；

(2)(-^+2y)(-^-2y).

填表:

(a+8)3-6)ab才最后结果

(3田2)(3『2)2(3x*2?

(-x+2力(-才-20

对本例的第⑴小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式;第⑵小题可以采用

小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法:提取后一个

因式里的负号，将2y看作,将"看作"/，然后运用平方差公式计算.

⑴正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键，设计本环节，旨

在通过将算式中的各项与公式里的a4进行对照，进一步体会字母a涉的含义,加深对

字母含义广泛性的理解:即它们既可以是数，也可以是含字母的整式.

⑵在具体计算时，当有一个二项式两项的符号都为负时往往不易判断动,如第

⑵小题，此时可以通过小组合作交流,放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、

有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养.

⑶通过例1第⑵小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解.

例2计算.

(l)(y+2)(y-2)-(y-1)(7+5);

(2)102X98.

〔解析〕此处仍先让学生独立思考,然后自主发言，口述解题思路,允许他们算法

的多样化,然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的.

［运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征把相乘的两数

化成两数和与两数差的乘积形式,教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征］

你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗？

演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示.

［此处将教材的图分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握得

不够熟练;利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式］

思路二

教师提出问题:你会用两数和乘这两数的差的公式了吗？

请你计算:(独立思考)

1.(l)(a+3)(a-3)；

⑵(2K38)(2a-35)；

(3)(1+20(1-20；

⑷(-2x-y)(2x-y).

2.观察：(-2广力()•

在括号内填入怎样的代数式，才能运用两数和乘它们的差的公式进行计算?由此

你想到了什么规律?

【几何解释】

⑴请表示图⑴中阴影部分的面积.

⑵将阴影部分拼成了一个长方形，如图⑵所示，这个长方形的长和宽分别是多少?

你能表示出它的面积吗?

⑶比较前两问的结果，你有什么发现?

b