2023人教版新教材高中数学必修第一册考前必背

2023人教版新教材高中数学必修第一册

考前必背

一、集合

元素与集合集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性

子集:若对任意x£A,都有x£B,则AcB（或B2A）

真子集:若AGB,且B中至少有一个元素不属于A,

集合间的则厩B（或B卦）

基本关系相等:若AGB,且BGA,则A=B

结论:若有限集A中有n（n£N*）个元素,则A的子集有2"

个,真子集有（2匚1）个

并集:AUB={x|x£A,或x£B},AJB=AUB=B

集合的基本

交集:AGB={x|x£A,且xeB},AcB=AAB=A

运算

补集:CuA={x|x£U,且x阵A},AcB=GA3GB

二、充分条件与必要条件

命题真假“若P,则q”为真命题“若P,则q”为假命题

推出关系由p能推出q,记作pnq由p不能推出q,记作p*q

P是q的充分条件P不是q的充分条件

条件关系

q是P的必要条件q不是P的必要条件

三、充要条件

如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p"均是真命题，即既有p=q,又有qnp,

就记作p=q.此时,p既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分

必要条件,简称为充要条件.概括地说,如果P=q,那么P与q互为充要条件.

四、全称量词与全称量词命题

全称量词命题

全称量词全称量词命题

的真假判断

短语“所有

含有全称量词的命题，叫做全称

的”“任意一个”

量词命题.全称量词命题“对M全真为真,

在逻辑中通常叫做

中任意一个x,p(x)成立“可用一假为假

全称量词，并用符

符号简记为Vx£M,p(x)

号“V”表示

五、存在量词与存在量词命题

存在量词命题

存在量词存在量词命题

的真假判断

短语“存在一含有存在量词的命题,叫做存

个”“至少有一个”在量词命题.存在量词命题

一真为真,

在逻辑中通常叫做存“存在M中的元素x,p(x)成

全假为假

在量词，并用符号立”可用符号简记为

“于‘表示3xGM,p(x)

六、全称量词命题和存在量词命题的否定

命题的否定命题的否定

命题的类型命题的符号表示

的符号表示的类型

全称量词命题p:VxGM,p(x)-p:3xGM,(x)存在量词命题

存在量词命题p:3xGM,p(x)「p:Vx£M,p(x)全称量词命题

七、不等式的主要性质

1.对称性：a>b=b<a.

2.传递性：a>b,b>cna>c.

3.加法法则：a>bna+c>b+c;a>b,c>d=a+c>b+d.

4.乘法法则：a>b,c>O=»ac>bc;a>b,c<O=»ac<bc;

a>b>0,c>d>O=>ac>bd.

5.倒数法则:a>b,ab>0^>-<7，

ab

6.乘方法则：a>b>Onan>b>n£N,n22).

7.开方法则：a>b>OnYH>V^(n£N,n、2).

八、基本不等式

如果a,b是正数,那么属忘早(当且仅当a=b时,等号成立).

九、二次函数与一元二次方程、不等式

设一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根为Xi、X2,且XiWx?,△=b?-4ac,则不等式

ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集的各种情况如下表:

A>0A=0A<0

2J/一

y=ax+bx+c再、卜,

(a>0)的图象匕/1--X

,有两个不相等有两个相等的

ax2+bx+c=0

的实数根实数根没有实数根

(a>0)的根

b

X,,X2(X1<X2)xf2=F

axJ+bx+c>0{xx<x或

b{xx#毫

R

(a>0)的解集x>x2}

ax2+bx+c<0

{xX1<X<X2}00

(a>0)的解集

十、函数的概念及其表示

一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一

个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确

函数

定的数y和它对应,那么就称f：A-B为从集合A到集合B的

一个函数

表示法解析法、列表法和图象法

十一、函数的单调性与奇偶性

1.函数的单调性

增函数减函数

设函数f(x)的定义域为I,区间DGI:如果Vxi,x2eD

当X〈X2时，都有

当X《X2时,都有f(x)>f区)，那么就称

f(X)<f(X2),那么就称f(x)

f(x)在区间D上单调递减,D叫做f(x)

在区间D上单调递增,D叫做

的递减区间

f(x)的递增区间

2.函数的最大(小)值

前提一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足

Vxei,都有f(x)WM；Vxei,都有f(x)2M；

条件

使得f(x())=Mmx()£I,使得f(x())=M

结论那么称M是函数f(x)的最大值那么称M是函数f(x)的最小值

3.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果Vx£I,

偶函数都有-x£l,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做关于y轴对称

偶函数

一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果Vx£I,

奇函数都有-x£I,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫关于原点对称

做奇函数

十二、嘉函数

定义一般地，函数y=xa叫做事函数,其中x是自变量，a是常数

常见五

种塞函

数的图

象

嘉函数在(0,+8)上都有定义

当a>0时，图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上单调

性质

递增

当a<0时，图象都过点(1,1),且在(0,+8)上单调递减

十三、指数与指数函数

1.正数的分数指数基

m___

afT=(a>0,m,n£N*_m*、

定义a«=-rm=nrt=(a>0,m,n£N,n>l)

,n>l)a而

运算性

aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,sGQ

2.指数函数及其性质

⑴概念:一般地，函数y=ax(a>0,且aWl)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定

义域是R.

⑵指数函数的图象与性质

定义域:R;值域：(0,+8)

过定点(0,1),即x=0时,y=l

性质

x>0时,y>l;x<0时,0<y<lx<0时,y>l;x>0时,0<y<l

在(一8,+8)上是增函数在(-8,+8)上是减函数

十四、对数与对数函数

1.对数的概念与运算(a>0,且aWl,M>0,N>0)

一般地,如果ax=N(a>0,且aWl),那么数x叫做以a为底N

定义

的对数,记作x=logaN

常用对数以10为底的对数叫做常用对数,并把logioN记为lgN

以无理数e=2.71828…为底的对数叫做自然对数,并把

自然对数

logeN记为InN

b

结论logal=0;logaa=l;a'°9aN=N；logaa=b

logn(MN)=logaM+logaN;loga^=lognM-logaN;

运算性质N

n

logaM=nlogaM(n£R)

gcb

换底公式logab-*°(a>0,且a#l;b>0;c>0,且cWl)

a

1°gc

2.对数函数及其性质

⑴概念:一般地，函数y=logax(a>0,且aWl)叫做对数函数，其中x是自变量，定义

域是(0,+°°).

⑵对数函数的图象与性质

底数a>l0<a<l

定义域：(0,+8);值域:R

过定点(1,0),即x=l时，y=0

性质

x>l时，y>0;0<x<l时,y<0x>l时，y〈0;0〈x〈l时，y>0

在(0,+8)上是增函数在(0,+8)上是减函数

十五、函数与方程

1.函数的零点

对于一般函数y=f(X),我们把使f(x)=0的实数X叫做函数

概念

y=f(x)的零点

方程f(x)=0有实数解=函数y=f(x)有零点Q函数y=f(x)

等价关系

的图象与x轴有公共点

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续不断的

函数零点曲线,且有f(a)f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内

存在定理至少有一个零点，即存在c£(a,b),使得f(c)=0,这个c也

就是方程f(x)=0的解

2.二分法求函数的零点

对于在区间［a,b］上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数

二分法y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区

的概念间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做

二分法

(1)确定零点Xo的初始区间［a,b］,验证f(a)f(b)<0.

(2)求区间(a,b)的中点c.

步骤

(3)计算f(c),并进一步确定零点所在的区间:①若f(c)=0(此

(给定

时Xo=c),则c就是函数的零点;②若f(a)f(c)<0(此时零点

精

x0G(a,c)),则令b=c;③若f(c)f(b)<0(此时零点x0G(c,b)),

确度

则令a=c.

£)

(4)判断是否达到精确度「若|a-b|<£，则得到零点近似值

a(或b);否则重复步骤(2)〜(4)

十六、三角函数

1.同角三角函数的基本关系

(1)sin2a+cos2a=1；

(2)tanaWkn+g,k$Z).

2.诱导公式

记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限.

公式一：

sin(2kn+a)=sina(kGZ);cos(2kn+a)=cosa(k£Z);

tan(2kJI+a)=tana(k£Z).

公式二:

sin(Ji+a)=-sina；cos(Ji+a)=-cosa;tan(Ji+a)=tana.

公式三:

sin(-a)=-sina；cos(-a)=cosa；tan(-a)=-tana.

公式四:

sin(n-a)=sina；cos(n-a)=-cosa；tan(n-a)=-tana.

公式五：

sin偿-a)=cosa；cos偿-a)=sina.

公式六：

sin(]+a)=cosa；cos(]+a卜-sina.

3.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

(1)cos(a+P)=cosacosB干sinasinB;

(2)sin(a±3)=sinacosB土cosasinB;

⑶tan(a±B)=2a邛

1+tanatan/?

4.二倍角公式

(1)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a；

(3)tan2a=21^.

l-tanza

5.辅助角公式

asina+bcosa=Va2+b2sin(a+<{>)

6.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

函数y=sinxy二cosxy=tanx

MV

图象_2\2Bn

一”。0\yx\yox

(xIxWkJi+-,kGZJ

定义域RR

2

值域[-1,1][-1,1]R

单调递增区

单调递增区间：[

间：[2kn-n,2k

2kJi2kn+-

22

n],k£Z;

l,kez；单调递增区间：(kn-

单调性单调递减区间：

单调递减区间：[),kez

[2kn,2kn+JI]

2kJI+-,2kJI+—

22

],kez

kez

奇偶性奇函数偶函数奇函数

对称中心：(

对称中心：