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文档简介
八年级初二数学平行四边形知识点-+典型题附解析
一、选择题
1.如图,QABCD中,对角线AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分别是0C,0D,AB
②四边形BEFG是平行四边形
③EG=GF
④EA平分NGEF
其中正确的是()
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
2.如图,已知正方形ABCO的边长为8,点、E,尸分别在边BC、CO上,
ZEAF=45°.当斤=8时,AE/7的面积是().
A.8B.16C.24D.32
3.如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将ABCD沿
直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:①四边
形CFHE是菱形;②EC平分NDCH;③线段BF的取值范围为3WBFW4;④当点H与点A
重合时,EF=275.其中正确的结论是()
4.如图,在矩形ABC。中,8。=2b,48=4,0为边48的中点,P为矩形ABCO外
一动点,且NAPC=90,则线段OP的最大值为()
p
D
C
A.5+囱B.3+75C.475-2D.273+1
5.如图,ABC。中,对角线AC,8。交于点O,BD=2AD,2口,G分别是
OC,OD,A3的中点.下列结论正确的是()
①EG=EF;②△EFG也△GBE;③用平分DEFG:④石4平分NGEF:⑤四边形
8瓦6是菱形.
A.③⑤B.①②④C.①②③④D.①②③④⑤
6.如图,在平行四边形A8CO中,E、尸是对角线AC上的两点且AE=CF,下列说
法中正确的是()
①BE=DF;②BE//DF;③AB=DE;④四边形£出工>为平行四边形;
A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥
7.如图,E是边长为2的正方形A8CO的对角线AC上一点,且AE=AB,F为BE上
任意一点,FGAAC于点G,FHLAB于点H,则FG+FH的值是()
C.2D.1
8.如图,在平行四边形ABC。中,对角线AC、6。相交于0,BD=2AD,E、
F、G分别是0C、OD、AB的中点,下列结论:
@BELAC-,②EG=GF;③b£FGmkGBE;④E4平分NGE/;⑤四边形
8EFG是菱形.
A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤
9.在ABCR中,BC=2AB,C£>_LA8于点。,点E为AE的中点,若
NADE=50°,则E>3的度数是()
C.70°D.80°
10.如图,在边长为2的等边三角形ABC中,D为边BC上一点、,且BD=LcD.点
2
E,产分别在边AB,AC上,且NEOF=90°,M为边族的中点,连接CM交OE
于点N.若“7/A8,则CM的长为(
B.%
C.-V3D.73
346
二、填空题
11.如图,某景区湖中有一段“九曲桥"连接湖岸A,B两点,"九曲桥"的每一段与AC平行
或BD平行,若AB=100m,ZA=ZB=60°,贝此"九曲桥"的总长度为.
12.已知:点B是线段AC上一点,分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边和等
边BCE,点、M,N分别是AD,CE的中点,连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的
长是.
13.如图,动点E、E分别在正方形ABC。的边A。、BC上,AE=CF,过点C作
CG±EF,垂足为G,连接8G,若AB=4,则线段8G长的最小值为.
3
14.已知在矩形ABC。中,45=一,5c=3,点尸在直线8C上,点。在直线CD上,且
2
AP±PQ,当AP=PQ时,AP=.
15.如图,在正方形ABCD中,点F为CD上一点,BF与AC交于点E,若NCBF=20。,则
ZAED等于一度.
16.已知:如图,在A6C中,ADLBC,垂足为点。,BE1AC,垂足为点E,
M为A3边的中点,连结ME、MD、ED,设A3=4,N/XC=30。则
EM=;EDM的面积为,
A
17.定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,即:如图1,在RtAABC中,ZACB
=90°,若点。是斜边A8的中点,则CD=‘4B,运用:如图2,ZkABC中,ZBAC=90°,
2
AB=2,AC=3,点。是BC的中点,将AABD沿AD翻折得到AAED连接8E,CE,DE,则
CE的长为.
18.如图,在四边形ABC。中,4)//8C,A£>=5,BC=18,E是BC的中点.点尸以每秒
1个单位长度的速度从点A出发,沿AD向点。运动;点Q同时以每秒3个单位长度的速度
从点C出发,沿CB向点8运动.点尸停止运动时,点。也随之停止运动,当运动时间为
f秒时,以点为顶点的四边形是平行四边形,则r的值等于.
19.如图所示,已知A8=6,点C,D在线段A8上,AC=DB=1,P是线段CD上的动
点,分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△4EP和等边△PFB,连接EF,设EF的中
点为G,当点P从点C运动到点D时,则点G移动路径的长是,
B
20.如图,在平行四边形ABCZ)中,AB=5,AD=3,㈤。的平分线AE交CD于点
21.在四边形ABCD中,/A=/8=/C=N7)=9O,AB=CD=1。,
①如图1,当点E落在CD边上时,利用尺规作图,在图1中作出满足条件的图形(不写
作法,保留作图痕迹,用2B铅笔加粗加黑).并直接写出此时。七=:
②如图2,若点P为BC边的中点,连接CE,则CE与AP有何位置关系?请说明理由;
(2)点Q为射线DC上的一个动点,将AOQ沿AQ翻折,点D恰好落在直线BQ上的点
£>'处,则;
22.如图,点E为。A8CD的边AD上的一点,连接EB并延长,使BF=BE,连接EC并延
长,使CG=CE,连接FG.H为FG的中点,连接DH,AF.
(1)若/8A£=70°,NDCE=20°,求/DEC的度数;
(2)求证:四边形AFH。为平行四边形;
(3)连接E",交8c于点。,若OC=OH,求证:EF±EG.
AB-3cm>BC-5cm>NB=60,G是CD的中
点,E是边AD上的动点,EG的延长线与BC的延长线交于点尸,连接CE,DF.
(1)求证:四边形CEDE是平行四边形;
(2)①当AE的长为多少时,四边形CED9是矩形;
②当A£=c加时,四边形CEDE是菱形,(直接写出答案,不需要说明理由).
24.如图,在平行四边形ABC。中,的平分线交BC于点E,交DC的延长线于
F,以EC、C尸为邻边作平行四边形ECFG.
G
(1)求证:四边形ECFG是菱形;
(2)连结6。、CG,若NABC=120。,则ABOG是等边三角形吗?为什么?
(3)若NABC=90°,AB=10,AD=24,M是所的中点,求。M的长.
25.已知正方形ABCD.
(1)(2)(3)
(1)点P为正方形ABCD外一点,且点P在AB的左侧,ZAPB=45°.
①如图(1),若点P在DA的延长线上时,求证:四边形APBC为平行四边形.
②如图(2),若点P在直线AD和BC之间,以AP,AD为邻边作UAPQD,连结AQ.求
ZPAQ的度数.
(2)如图(3),点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过
Ap1
点E作EHLAD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当而=§时.请直接写出HC的长
26.(1)如图①,在正方形ABCD中,AAE尸的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与
正方形的边长相等,求NE4/的度数;
(2)如图②,在用ZVLBO中,N£MO=90°,AQ=A5,点M,N是BD边上的任意两
点,且NMAN=45°,将A4W绕点A逆时针旋转90度至位置,连接NH,试判
断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由:
(3)在图①中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若正方形ABCD的边长为12,
(图①)(图②)
27.如图,在矩形A8CD中,E是AO的中点,将AABE沿3E折叠,点A的对应点为
(1)填空:如图1,当点G恰好在5c边上时,四边形ABGE的形状是;
(2)如图2,当点G在矩形ABCO内部时,延长BG交OC边于点F.
①求证:BF=AB+DF.
②若A。=GAB,试探索线段。尸与FC的数量关系.
28.如图,点A的坐标为(—6,6),AB_Lx轴,垂足为3,AC_Ly轴,垂足为C,点
2E分别是射线B。、上的动点,且点。不与点3、。重合,ZDAE=45°.
(1)如图L当点。在线段30上时,求&D0E的周长;
(2)如图2,当点。在线段8。的延长线上时,设AAD£的面积为5,4。0七的面积为
邑,请猜想S1与S2之间的等量关系,并证明你的猜想.
29.已知:如下图,A3C和BCD中,N8AC=NB£>C=90",E为8C的中点,连
接DE、AE.若DCAE,在。C上取一点尸,使得=连接“交AZ)于。.
(1)求证:EFrDA.
(2)若8。=4,4。=2百,求EF的长.
30.在正方形AMFN中,以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋
转90。至点D,D点恰好落在NF上,连接BD,AC与BD交于点E,连接CD,
(1)如图1,求证:AAMC^AAND;
(2)如图1,若DF=5求AE的长;
⑶如图2,将ACDF绕点D顺时针旋转«(0<a<90),点C,F的对应点分别为G、F\,
AG
连接4月、8C一点G是BG的中点,连接AG,试探索隹是否为定值,若是定值,则求
出该值;若不是,请说明理由.
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一、选择题
1.B
解析:B
【解析】
【分析】
由平行四边形的性质可得。B=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确,由直角三角形的性
质和三角形中位线定理可判断③错误,由BG=EF,BG〃EF〃CD可证四边形BEFG是平行四
边形,可得②正确.由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确.
【详解】
•••四边形ABCD是平行四边形,
1
BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,
2
又BD=2AD,
OB=BC=OD=DA,且点E是OC中点,
BE±AC,
故①正确,
1••E、F分别是OC、OD的中点,
1
EFIICD,EF=-CD,
2
•.•点G是RtAABE斜边AB上的中点,
1
GE=-AB=AG=BG,
2
EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,
故③错误,
BG=EF,BGIIEFIICD,
四边形BEFG是平行四边形,
故②正确,
•••EFIICDIIAB,
ZBAC=NACD=NAEF,
•••AG=GE,
ZGAE=NAEG,
ZAEG=ZAEF,
:.AE平分NGEF,故④正确,
故选B.
【点睛】
本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定
理等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
2.D
解析:D
【分析】
如图:Z\ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,可得AH=AF,ZBAH=ZDAF,进
一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用"边角边"证明4AEF和4AEH全等,再根据全等三
角形的面积相等,即可解答.
【详解】
解:如图,将4ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,
根据旋转的性质可得:AH=AF,NBAH=/DAF,
;NEAF=45°,/BAD=90°
;.NEAH=/EAF=45°
在AAEF和AAEH中
AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE
.,.△AEF^AAEH(SAS),
,EH=EF=8,
SAFE=SZ\AEH=--x8X8=32.
2
故选:D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质,熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作
辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
3.D
解析:D
【分析】
①先判断出四边形CFHE是平行四边形,再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等
的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确;
②根据菱形的对角线平分一组对角可得/BCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°时EC平分
ZDCH,即可判断出②错误;
③点H与点A重合时,设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的
最小值,点G与点D重合时,CF=CD,求出BF=4,然后写出BF的取值范围,即可判断出
③正确;
④过点F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判断出④正
确.
【详解】
①:FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分,
;.FH〃CG,EH〃CF,
,四边形CFHE是平行四边形,
由翻折的性质得,CF=FH,
四边形CFHE是菱形,故①正确;
②•••四边形CFHE是菱形,
.\ZBCH=ZECH,
,只有/DCE=30°时EC平分NDCH,故②错误;
③点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x,
在Rt/XABF中,AB2+BF2=AF2,BP42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
点G与点D重合时,CF=CD=4,
;.BF=4,
线段BF的取值范围为3WBFW4,故③正确;
④如图,过点F作FMJ_AD于M,
由勾股定理得,EF=JM产+ME?=2后,故④正确;
综上所述,结论正确的有①③④,
故选:D.
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质,勾股定理,掌握知识点是解题关键.
4.B
解析:B
【分析】
连接AC,取AC的中点E,根据矩形的性质求出AC,0E,再根据直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半可得PE=-ACf然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得0、
2
E、P三点共线时0P最大.
【详解】
解:如图,连接AC,取AC的中点E,
•..矩形ABCD中,BC=2®AB=4,0为AB的中点,
:.AC=\lAB2+BC2=6,OE=-BC=\[5,
2
VAP1CP,
:.PE=-AC=-x6=3,
22
由三角形的三边关系得,0、E、P三点共线时0P最大,
此时O埸大=3+#).
故选:B.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理.能正确构造辅助
线,并根据三角形三边关系确定0P最大值是解题关键.
5.B
解析:B
【分析】
由中点的性质可得出E户//CZ),且EF=gc/)=8G,结合平行即可证得②结论成立,由
5£>=23。得出30=8。,即而得出BE1AC,由中线的性质可知G尸〃鹿,且
GP=;BE,AO=EO,通过证DAPG@DEPG得出AG=EG=EF得出①成立,再证
DG/>E@DfP£;得出④成立,此题得解.
【详解】
解:令GF和AC的交点为点P,如图
:.EFHCD,S.EF=-CD,
2
四边形A8CD为平行四边形,
:.ABHCD,且45=C£>,
:.AB//EF
\?FEG?BGE(两直线平行,内错角相等),
点G为A3的中点,
\BG=-AB=-CD=FE,
22
pG=FE
在AEFG和AGBE中,T?FEG?BGE,
|GE=EG
\DEFG@DGBE(SAS),即②成立,
\?EGF?GEB,FE=BG,
\GFIIBE(内错角相等,两直线平行),
=25。,点0为平行四边形对角线交点,
\BO=-BD=BC,
2
E为0C中点,
:.BELOC,
\GPAAC,
\?APG2EPG90?
QGP//BE,G为AB中点,
r.P为AE中点,即AP=P£,且GP=!BE,
2
?AP=EP
在A4PG和AECP中,i?APG?EPG,
|GP=GP
\DAPG@DEPG(SAS),
\AG=EG=-AB,
2
:.EG=EF,即①成立,
EF//BG,GFIIBE,
四边形BGFE为平行四边形,
:.GF=BE,
QGP=-BE^-GF,
22
\GP=FP,
QGF"AC,
\2GPE2FPE90?
iGP=FP
在DG总和AFPE中,GPE?FPE,
\EP=EP
\DGPE@DFPE(SAS),
\?GEP?FEP,
.•.E4平分NGE/7,即④成立,
综上所述,正确的有①②④,
故选:B.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理,解题的关键是
利用中位线,寻找等量关系,借助于证明全等三角形找到边角相等.
6.D
解析:D
【分析】
先根据全等三角形进行证明,即可判断①和②,然后作辅助线,推出。D=OF,得出四边形
BEDF是平行四边形,求出BM=DM即可判断④和⑤,最后根据AE=CF,即可判断⑥.
【详解】
①:四边形ABCD是平行四边形,
AB〃DC,AB=DC,
ZBAC=ZADC,
在AABE和4DFC中
AE=FC
<ABAC=AADC
AB=DC
/.△ABE^ADFC(SAS),
;.BE=DF,
故①正确.
©VAABE^ADFC,
ZAEB=ZDFC,
ZBEF=ZDFE,
;.BE〃DF,
故②正确.
③根据已知的条件不能推AB=DE,故③错误.
④连接BD交AC于0,过D作DM_LAC于M,过B作BN_LAC于N,
•・•四边形ABCD是平行四边形,
.\DO=BO,OA=OC,
VAE=CF,
;.OE=OF,
...四边形BEDF是平行四边形,
故④正确.
@VBN±AC,DM±AC,
AZBN0=ZDM0=90°,
在△BNO和△DMO中
ZBN0=ZDM0
.ZB0N=ZD0M
OB=OD
AABNO^ADMO(AAS)
...BN=DM
VS.=—xAExDM,S-xAExBN
△AADr)EP2AABE?
''°AADEaAABE,
故⑤正确.
(6)VAE=CF,
;.AE+EF=CF+EF,
;.AF=CE,
故⑥正确.
故答案是D.
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质,熟练掌握相关的性质是
解题的关键.
7.B
解析:B
【分析】
过点E作EMJ_AB,连接AF,先求出EM,由SAABE=AB・EM='AE・GF+'AB・FH,可得
222
FG+FH=EM,则FG+FH的值可求.
【详解】
解:如图,过点E作EM_LAB,连接AF,
D.
AMH
:四边形ABCD是正方形,
AZACB=45°,
/.△AEM是等腰直角三角形,
VAB=AE=2,
AM2+EM2=1EM-=AE2=4
SAABE=SAAEF+SAABF,
111
-0ABE=—AB・EM=-AE・GF+-AB・FH,
222
.,.EM=FG+FH=V2;
故选:B.
【点睛】
本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,运用面积法得出线段的和差关系是解
题的关键.
8.B
解析:B
【分析】
由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确,由直角三角形的性
质和三角形中位线定理可判断②错误,通过证四边形BGFE是平行四边形,可判断③正
确,由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确,由/BACX30。可判断⑤错误.
【详解】
解:;四边形ABCD是平行四边形
1
;.BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,AB〃BC,
2
又:BD=2AD,
.".OB=BC=OD=DA,且点E是。C中点,
ABEXAC,故①正确,
;E、F分别是OC、OD的中点,
1
,EF〃CD,EF=-CD,
2
丁点G是RtAABE斜边AB上的中点,
1
;.GE=—AB=AG=BG
2
,EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,故②错误,
;BG=EF,AB〃CD〃EF
四边形BGFE是平行四边形,
;.GF=BE,且BG=EF,GE=GE,
...△BGE丝ZXFEG(SSS)故③正确
:EF〃CD〃AB,
ZBAC=ZACD=ZAEF,
VAG=GE,
.•.ZGAE=ZAEG,
AZAEG=ZAEF,
;.AE平分NGEF,故④正确,
若四边形BEFG是菱形
1
;.BE=BG=-AB,
2
AZBAC=30°
与题意不符合,故⑤错误
故选:B.
【点睛】
本题考查了菱形的判定,平行四边形的性质,全等三角形的判定和性质,三角形中位线定
理等知识,灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.
9.D
解析:D
【分析】
连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明
/XNAE^ACFE,所以N£=CE,NA=CF,再由已知条件CDJ_AB于D,NAOE=50°,即可
求出N8的度数.
【详解】
解:连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,
•.•四边形ABCF是平行四边形,
:.AB//CF,AB=CF,
;.NNAE=NF,
••,点E是的AF中点,
:.AE^FE,
在△/VAE和ACFE中,
'NNAE=NF
<AE=FE,
NAEN=NFEC
:.△NAEgACFE(ASA),
:.NE=CE,NA=CF,
":AB=CF,
:.NA=AB,BPBN=2AB,
":BC=2AB,
;.BC=BN,NN=NNCB,
•.•CD_1_A8于。,即NNDC=90°且NE=CE,
:.DE=-NC=NE,
2
/N=/NDE=50°=NNCB,
AZB=80°.
故选:D.
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质,综合性较强,难度较大,解答本题的关键是正确作出辅助
线,构造全等三角形,在利用等腰三角形的性质解答.
10.C
解析:C
【分析】
根据等边三角形边长为2,在RtABDE中求得OE的长,再根据CM垂直平分。E,在
RtACDN中求得CN,利用三角形中位线求得MN的长,最后根据线段和可得CM的
长.
【详解】
解:等边三角形边长为2,BD^-CD,
2
24
ABD=-,CD=~,
33
等边三角形ABC中,DF//AB,
:.ZFDC=ZB=6O°,
NEDF=9。。,
:.ZBDE=30°,
:.DE±BE,
如图,连接DW,贝URtADEF中,DM=-EF=FM,
2
ZFDC=ZFCD=60°f
.•.△CDb是等边三角形,
4
;.CD=CF=—,
3
...C以垂直平分。/,
.-.ZDCN=30°,
42,C
r.RtACDN中,DF=—,DN=—,CN=—,
333
':EM=FM,DN=FN,
.....i„„G
•"MN=—ED=—,
26
r..2G后5n
CM=CN+MN=-------b——=--------.
366
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用,解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定
理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等.熟练掌握这些性质是解题的关键.
二、填空题
11.200m
【分析】
如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,
四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形,4ABC是等边三角形,由此即可解决问题.
【详解】
如图,延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M
E
由题意可知,四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形
:/A=/B=60°
NE=18()-ZA—ZB=60
•••△ABC是等边三角形
,ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH
"九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m
故答案为:200m.
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识;解题的关键是熟练掌握平行
四边形、等边三角形、三角形内角和的性质,从而完成求解.
12.V21
【分析】
如图(见解析),先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得
MEHAB,ME=AB=4,再根据平行线的性质可得NFEN=NC=60°,然后利用直角
三角形的性质、勾股定理可得后尸=2,"尸=26,从而可得/W=3,最后在HrFMN
中,利用勾股定理即可得.
【详解】
如图,连接ME,过点M作MELCE,交CE延长线于点F,
A/WD和3CE都是等边三角形,BC=2,
:.ZA=ZCBE=ZC=60°,BE=CE=BC^2,AD=AB,
:.ADHBE,
AC=6,
AD=AB=6—2=4,
点M,N分别是AD,CE的中点,
.■.AM=-AD^2,EN=-CE^\,
22
•••四边形ABEM是平行四边形,
:.ME//AB,ME=AB=4,
.•.NFEM=NC=60。,
在RtAEFM中,NEMF=90°-60°=30°,
EF=-ME=2,MF=yjME2-EF2=26,
2
:.FN=EN+EF=1+2=3,
则在必FMN中,MN=J/+M产=,2+(2后=后,
故答案为:>/21•
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质
等知识点,通过作辅助线,构造直角三角形和平行四边形是解题关键.
13.V10-V2
【分析】
连结AC,取OC中点M,连结MB,MG,则MB,MG为定长,利用两点之间线段最短解
决问题即可.
【详解】
连接AC,交EF于。,
.\ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,
:AE=CF,
.,.△AEO^ACFO(ASA),
AOA=OC,
二0是正方形的中心,
VAB=BC=4,
.•.AC=40,0c=20,
取0C中点M,连结MB,MG,过点M作MH_LBC于H,
VMC=y0C=V2>
,MH=CH=1,
ABH=4-1=3,
由勾股定理可得MB=J32+货=,
在RtAGOC中,M是OC的中点,则MG=/oC=&,
•/BG>BM-MG=VlO-V2,
当B,M,G三点共线时,BG最小=标-近,
故答案为:V10-
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质,根据正方形的性质得出当E,F运动到AD,BC的中点时,
MG最小是解决本题的关键.
14.3血或」师
22
【分析】
根据点P在直线BC上,点。在直线CO上,分两种情况:LP、Q点位于线段上;2.P、Q
点位于线段的延长上,再通过三角形全等得出相应的边长,最后根据勾股即可求解.
【详解】
解:当P点位于线段BC上,Q点位于线段CD上时:
四边形ABCD是矩形
APLPQ,
:.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC
AP=PQ
ABPsPCQ
333
pc=AB=-,BP=BC-PC=3--=-
222
・•.AP=J(”+(2)2=3亚
V222
当P点位于线段BC的延长线上,Q点位于线段CD的延长线上时:
•••四边形ABCD是矩形
AP±PQ,
:.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC
AP=PQ
ABP=PCQ
339
PC=AB=-,BP=BC+PC=3+二=一
222
・•・AP-/(-)2+(-)2=-Vio
V222
故答案为:,或二jny
22
【点睛】
此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理,熟练运用判定定理和性质定理是解题
的关键.
15.65
【分析】
先由正方形的性质得到NABF的角度,从而得到NAEB的大小,再证4AEB^^AED,得到
ZAED的大小
【详解】
:四边形ABCD是正方形
AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90",AB=AD
VZFBC=200,.\ABF=70°
.•.在△ABE中,ZAEB=65°
在aABE与AADE中
AB=AD
<NBAE=NEAD=45°
AE^AE
AAABE^AADE
/.ZAED=ZAEB=65°
故答案为:65°
【点睛】
本题考查正方形的性质和三角形全等的证明,解题关键是利用正方形的性质,推导出
ZAEB的大小.
16.2G
【分析】
根据EW是斜边上的中线,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可
求出的长;根据已知条件推导出。腔是等边三角形,且边长为2,进一步计算即
可得解.
【详解】
解:•••AOLBC,M为边的中点,A3=4
.,.在RtAAB。中,DM=AM=1AB=-X4=2
22
同理,在HrAABE中,EM=AM=-AB=-x4^2
22
AZMDA=ZMAD,ZMEA^ZMAE
,**ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE,ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD
•••ZDME=ZBME-ZBMD
=2ZMAE-2ZMAD
=2(NMAE-NMAD)
=2ZQ4C
=60°
•:DM=EM
DME是等边三角形,且边长为2
=—x2x-\/3=6
,,SEDM
2
故答案是:2;73
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角
形的判定和性质,熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.
175V13
13
【分析】
根据』・8C・AH=』・4B・AC,可得AH=^,根据'A°・8O='BDWH,得。B=
221322
生叵,再根据8E=2O8=吆叵,运用勾股定理可得EC.
1313
【详解】
设BE交4?于。,作AH_LBC于H.
在R"BC中,N8AC=90°,A8=2,AC=3,
由勾股定理得:BC=V13,
:点。是8c的中点,
/7T
:.AD=DC=DB^^—,
2
•/-・BC・AH=-»AB»AC,
22
・AH-6屈
13
;AE=AB,DE=DB,
点人在BE的垂直平分线上,点。在8E的垂直平分线上,
:.AD垂直平分线段8E,
-AD*BO=-BD»AH,
22
・CA-6任
••C/D--------9
13
.DC-^D_12V13
••DC.-ZUD----------j
13
VDE=DB=CD/
AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,
.\ZDEB+ZDEC=-X18O°=90°,即:ZBEC=90°,
2
...在RtABCf中,EC=ylBC2-BE2='(715)2-(今皆)2=
故答案为:士叵.
13
【点睛】
本题主要考查直角三角形的性质,勾股定理以及翻折的性质,掌握“直角三角形斜边长的
中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高,是解题的关键.
18.2或3.5
【分析】
分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.
【详解】
1
/.BE=CE=-BC=9,
2
①当Q运动到E和B之间,则得:
3t-9=5-t,
解得:t=3.5;
②当Q运动到E和C之间,则得:
9-3t=5-t,
解得:t=2,
当运动时间t为2秒或3.5秒时,以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.
【点睛】
“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的
作法,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.
19.2
【分析】
分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形,得出点G为PH的中点,则
G的运动轨迹为AHCD的中位线MN,再求出CD的长度,运用中位线的性质求出MN的长
度即可.
【详解】
解:如图,分别延长AE,BF交于点H,
VZA=ZFPB=60°,
AAHIIPF,
VZB=ZEPA=60°,
ABHIIPE
四边形EPFH为平行四边形,
AEF与HP互相平分,
•.•点G为EF的中点,
...点G为PH的中点,即在P运动的过程中,G始终为PH的中点,
AG的运动轨迹为aHCD的中位线MN,
VCD=6-1-1=4,
Z.MN=-CD=2,
2
,点G移动路径的长是2,
故答案为:2.
【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质,以及动点的问题,是中考热点,解题的关键是得
出G的运动轨迹为aHCD的中位线MN.
20.1072
【分析】
根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据=证明
BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.
【详解】
过点3作跖,8于点尸,如图所示.
;AE是/明。的平分线,
ZDAE^ZBAE.
V四边形ABCD是平行四边形,
ACD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,
:.ZBAE=ZDEA,
:.ZDAE^ZDEA,
DE—AD-3,
CE=CD-DE=2.
•:/BAD=/BEC,
:.ZBCE=ZBEC,
;.BC=BE,
/.CF=EF=-CE=1,
2
BF=ylBC2-CF2=732-l2=2V2•
平行四边形ABCD的面积为6DCO=2拒x5=10C.
故答案为:10匹.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质:对边平行且相等,对角相等,等腰三角形的等角对等边的性
质、三线合一的性质,勾股定理.
三、解答题
21.(1)①6;②结论:EC//PA;(2)为4和16.
【分析】
(1)①如图1中,以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作NEAB的平分线交BC于点
P,点P即为所求•理由勾股定理可得DE.
②如图2中,结论:EC//PA.只要证明PALBE,EC_LBE即可解决问题.
(2)分两种情形分别求解即可解决问题.
【详解】
解:(1)①如图1中,以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作NE43的平分线交BC于
点P,点P即为所求.
图1
在RtADE中,/£)=90>AE—AB—10>AD-S>
DE=ylAE2-AD2=V102-82=6,
故答案为6.
②如图2中,结论:EC//PA.
图2
理由:由翻折不变性可知:AE^AB,PE=PB,
.•.B4垂直平分线段BE,
即24,BE,
PB=PC=PE,
BEC=90,
••.EC上BE,
:.EC//PA.
BD'=>/AB2-AD,2=6-
在RtBQC中,CQ2+BC2=BQ2,
(10-x)2+82=(x+6)2,
x=4,
DQ=4.
②如图3-2中,当点Q在线段DC的延长线上时,
/.NDQA=/QAB,
/DQA=NAQB,
.•./QAB=/AQB,
AB=BQ=10,
在RtBCQ中,CQ=jBQ2_BC2=6,
..DQ=DC+CQ=16,
综上所述,满足条件的DQ的值为4或16.
故答案为4和16.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了矩形的性质,翻折变换,勾股定理等知识,解题的关键
是学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
22.(1)50。;(2)见解析;(3)见解析
【分析】
(1)由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可;
(2)由平行四边形的性质得出AD=8C,AD//BC-,证明BC是△EFG的中位线,得出
BC//FG,BC=;FG,证出AD〃FH,AD//FH,由平行四边形的判定方法即可得出结论;
(3)连接EH,CH,根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结
论.
【详解】
明:(1)•四边形A8CD是平行四边形,
:.ZBAE=ZBCD=70°,AD//BC,
:NDCE=20。,
'SAB//CD,
:.ZCDE=180°-ZBAE=1W°,
:.ZDEC=180°-ZDCE-ZCD£=50°;
(2).四边形A8CD是平行四边形,
:.AD=BC,AD//BC,N8AE=/BCD,
:BF=8E,CG=CE,
;.BC是AFFG的中位线,
:.BC//FG,BC=」FG,
2
,:H为FG的中点,
:.FH=LFG,
2
:.BC//FH,BC=FH,
:.AD//F
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