八年级初二数学 平行四边形知识点-+典型题附解析

八年级初二数学平行四边形知识点-+典型题附解析

一、选择题

1.如图，QABCD中，对角线AC,BD相交于O,BD=2AD,E,F,G分别是0C,0D,AB

②四边形BEFG是平行四边形

③EG=GF

④EA平分NGEF

其中正确的是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

2.如图，已知正方形ABCO的边长为8,点、E，尸分别在边BC、CO上，

ZEAF=45°.当斤=8时，AE/7的面积是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上，将ABCD沿

直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边

形CFHE是菱形；②EC平分NDCH；③线段BF的取值范围为3WBFW4；④当点H与点A

重合时，EF=275.其中正确的结论是（）

4.如图，在矩形ABC。中，8。=2b,48=4,0为边48的中点，P为矩形ABCO外

一动点，且NAPC=90，则线段OP的最大值为（）

p

D

C

A.5+囱B.3+75C.475-2D.273+1

5.如图，ABC。中，对角线AC,8。交于点O，BD=2AD，2口，G分别是

OC,OD,A3的中点.下列结论正确的是（）

①EG=EF；②△EFG也△GBE；③用平分DEFG：④石4平分NGEF：⑤四边形

8瓦6是菱形.

A.③⑤B.①②④C.①②③④D.①②③④⑤

6.如图，在平行四边形A8CO中，E、尸是对角线AC上的两点且AE=CF,下列说

法中正确的是（）

①BE=DF；②BE//DF；③AB=DE；④四边形£出工＞为平行四边形；

A.①⑥B.①②④⑥C.①②③④D.①②④⑤⑥

7.如图，E是边长为2的正方形A8CO的对角线AC上一点，且AE=AB,F为BE上

任意一点，FGAAC于点G,FHLAB于点H，则FG+FH的值是（）

C.2D.1

8.如图，在平行四边形ABC。中，对角线AC、6。相交于0,BD=2AD，E、

F、G分别是0C、OD、AB的中点，下列结论：

@BELAC-,②EG=GF；③b£FGmkGBE；④E4平分NGE/；⑤四边形

8EFG是菱形.

A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤

9.在ABCR中，BC=2AB,C£>_LA8于点。，点E为AE的中点，若

NADE=50°,则E>3的度数是（）

C.70°D.80°

10.如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D为边BC上一点、,且BD=LcD.点

2

E，产分别在边AB,AC上，且NEOF=90°,M为边族的中点，连接CM交OE

于点N.若“7/A8,则CM的长为（

B.%

C.-V3D.73

346

二、填空题

11.如图，某景区湖中有一段“九曲桥"连接湖岸A,B两点，"九曲桥"的每一段与AC平行

或BD平行，若AB=100m,ZA=ZB=60°,贝此"九曲桥"的总长度为.

12.已知：点B是线段AC上一点，分别以AB,BC为边在AC的同侧作等边和等

边BCE,点、M,N分别是AD,CE的中点，连接MN.若AC=6,设BC=2,则线段MN的

长是.

13.如图，动点E、E分别在正方形ABC。的边A。、BC上，AE=CF,过点C作

CG±EF,垂足为G,连接8G,若AB=4,则线段8G长的最小值为.

3

14.已知在矩形ABC。中，45=一,5c=3,点尸在直线8C上，点。在直线CD上，且

2

AP±PQ,当AP=PQ时，AP=.

15.如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E,若NCBF=20。，则

ZAED等于一度.

16.已知：如图，在A6C中，ADLBC,垂足为点。，BE1AC，垂足为点E，

M为A3边的中点，连结ME、MD、ED，设A3=4，N/XC=30。则

EM=；EDM的面积为，

A

17.定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在RtAABC中，ZACB

=90°,若点。是斜边A8的中点，则CD=‘4B,运用：如图2,ZkABC中，ZBAC=90°,

2

AB=2,AC=3,点。是BC的中点，将AABD沿AD翻折得到AAED连接8E,CE,DE,则

CE的长为.

18.如图，在四边形ABC。中，4)//8C,A£>=5,BC=18,E是BC的中点.点尸以每秒

1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点。运动;点Q同时以每秒3个单位长度的速度

从点C出发，沿CB向点8运动.点尸停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

f秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形，则r的值等于.

19.如图所示，已知A8=6,点C,D在线段A8上，AC=DB=1,P是线段CD上的动

点，分别以AP,PB为边在线段AB的同侧作等边△4EP和等边△PFB,连接EF,设EF的中

点为G,当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是,

B

20.如图，在平行四边形ABCZ）中，AB=5,AD=3,㈤。的平分线AE交CD于点

21.在四边形ABCD中，/A=/8=/C=N7)=9O，AB=CD=1。,

①如图1,当点E落在CD边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形（不写

作法，保留作图痕迹，用2B铅笔加粗加黑）.并直接写出此时。七=:

②如图2,若点P为BC边的中点，连接CE,则CE与AP有何位置关系？请说明理由；

（2）点Q为射线DC上的一个动点，将AOQ沿AQ翻折，点D恰好落在直线BQ上的点

£>'处，则；

22.如图，点E为。A8CD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BF=BE,连接EC并延

长，使CG=CE,连接FG.H为FG的中点，连接DH,AF.

(1)若/8A£=70°,NDCE=20°,求/DEC的度数；

(2)求证：四边形AFH。为平行四边形；

(3)连接E"，交8c于点。，若OC=OH,求证：EF±EG.

AB-3cm>BC-5cm>NB=60，G是CD的中

点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点尸，连接CE,DF.

（1）求证：四边形CEDE是平行四边形；

（2）①当AE的长为多少时，四边形CED9是矩形；

②当A£=c加时，四边形CEDE是菱形，（直接写出答案，不需要说明理由）.

24.如图，在平行四边形ABC。中，的平分线交BC于点E,交DC的延长线于

F，以EC、C尸为邻边作平行四边形ECFG.

G

（1）求证：四边形ECFG是菱形；

（2）连结6。、CG,若NABC=120。，则ABOG是等边三角形吗？为什么？

（3）若NABC=90°,AB=10,AD=24，M是所的中点，求。M的长.

25.已知正方形ABCD.

(1)(2)(3)

（1）点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧,ZAPB=45°.

①如图（1）,若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形.

②如图（2）,若点P在直线AD和BC之间，以AP,AD为邻边作UAPQD,连结AQ.求

ZPAQ的度数.

（2）如图（3）,点F在正方形ABCD内且满足BC=CF,连接BF并延长交AD边于点E,过

Ap1

点E作EHLAD交CF于点H,若EH=3,FH=1,当而=§时.请直接写出HC的长

26.（1）如图①，在正方形ABCD中，AAE尸的顶点E,F分别在BC,CD边上，高AG与

正方形的边长相等，求NE4/的度数；

（2）如图②，在用ZVLBO中，N£MO=90°,AQ=A5,点M,N是BD边上的任意两

点，且NMAN=45°，将A4W绕点A逆时针旋转90度至位置，连接NH,试判

断MN,ND,DH之间的数量关系，并说明理由：

(3)在图①中，连接BD分别交AE,AF于点M,N,若正方形ABCD的边长为12,

(图①)(图②)

27.如图，在矩形A8CD中，E是AO的中点，将AABE沿3E折叠，点A的对应点为

(1)填空：如图1,当点G恰好在5c边上时，四边形ABGE的形状是；

(2)如图2,当点G在矩形ABCO内部时，延长BG交OC边于点F.

①求证：BF=AB+DF.

②若A。=GAB,试探索线段。尸与FC的数量关系.

28.如图，点A的坐标为(—6,6),AB_Lx轴，垂足为3,AC_Ly轴，垂足为C,点

2E分别是射线B。、上的动点，且点。不与点3、。重合，ZDAE=45°.

(1)如图L当点。在线段30上时，求&D0E的周长；

(2)如图2,当点。在线段8。的延长线上时，设AAD£的面积为5，4。0七的面积为

邑，请猜想S1与S2之间的等量关系，并证明你的猜想.

29.已知：如下图，A3C和BCD中，N8AC=NB£>C=90"，E为8C的中点，连

接DE、AE.若DCAE,在。C上取一点尸，使得=连接“交AZ)于。.

(1)求证：EFrDA.

(2)若8。=4,4。=2百，求EF的长.

30.在正方形AMFN中，以AM为BC边上的高作等边三角形ABC,将AB绕点A逆时针旋

转90。至点D,D点恰好落在NF上，连接BD,AC与BD交于点E,连接CD,

(1)如图1,求证：AAMC^AAND；

(2)如图1,若DF=5求AE的长；

⑶如图2,将ACDF绕点D顺时针旋转«(0<a<90),点C,F的对应点分别为G、F\，

AG

连接4月、8C一点G是BG的中点，连接AG,试探索隹是否为定值，若是定值，则求

出该值；若不是，请说明理由.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.B

解析：B

【解析】

【分析】

由平行四边形的性质可得。B=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性

质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF,BG〃EF〃CD可证四边形BEFG是平行四

边形，可得②正确.由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确.

【详解】

•••四边形ABCD是平行四边形，

1

BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,ABIIBC,

2

又BD=2AD,

OB=BC=OD=DA,且点E是OC中点，

BE±AC,

故①正确，

1••E、F分别是OC、OD的中点，

1

EFIICD,EF=-CD,

2

•.•点G是RtAABE斜边AB上的中点，

1

GE=-AB=AG=BG,

2

EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,

故③错误，

BG=EF,BGIIEFIICD,

四边形BEFG是平行四边形，

故②正确，

•••EFIICDIIAB,

ZBAC=NACD=NAEF,

•••AG=GE,

ZGAE=NAEG,

ZAEG=ZAEF,

：.AE平分NGEF,故④正确，

故选B.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定

理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

2.D

解析：D

【分析】

如图：Z\ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,可得AH=AF,ZBAH=ZDAF,进

一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用"边角边"证明4AEF和4AEH全等，再根据全等三

角形的面积相等，即可解答.

【详解】

解：如图，将4ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,

根据旋转的性质可得：AH=AF,NBAH=/DAF,

；NEAF=45°,/BAD=90°

；.NEAH=/EAF=45°

在AAEF和AAEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

，EH=EF=8,

SAFE=SZ\AEH=--x8X8=32.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作

辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.

3.D

解析：D

【分析】

①先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH,然后根据邻边相等

的平行四边形是菱形证明即可判断出①正确；

②根据菱形的对角线平分一组对角可得/BCH=NECH,然后求出只有NDCE=30°时EC平分

ZDCH,即可判断出②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,表示出AF=FC=8-x,利用勾股定理列出方程求解得到BF的

最小值，点G与点D重合时，CF=CD,求出BF=4,然后写出BF的取值范围，即可判断出

③正确；

④过点F作FMJ_AD于M,求出ME,再利用勾股定理列式求解得到EF,即可判断出④正

确.

【详解】

①：FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD、BC的一部分，

；.FH〃CG,EH〃CF,

，四边形CFHE是平行四边形，

由翻折的性质得,CF=FH,

四边形CFHE是菱形，故①正确；

②•••四边形CFHE是菱形，

.\ZBCH=ZECH,

,只有/DCE=30°时EC平分NDCH,故②错误；

③点H与点A重合时，设BF=x,则AF=FC=8-x,

在Rt/XABF中，AB2+BF2=AF2,BP42+x2=(8-x)2,

解得x=3,

点G与点D重合时，CF=CD=4,

；.BF=4,

线段BF的取值范围为3WBFW4,故③正确；

④如图，过点F作FMJ_AD于M,

由勾股定理得，EF=JM产+ME?=2后,故④正确；

综上所述，结论正确的有①③④，

故选：D.

【点睛】

本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键.

4.B

解析：B

【分析】

连接AC,取AC的中点E,根据矩形的性质求出AC,0E,再根据直角三角形斜边上的中线

等于斜边的一半可得PE=-ACf然后根据三角形的任意两边之和大于第三边可得0、

2

E、P三点共线时0P最大.

【详解】

解：如图，连接AC,取AC的中点E,

•..矩形ABCD中，BC=2®AB=4,0为AB的中点,

:.AC=\lAB2+BC2=6,OE=-BC=\[5,

2

VAP1CP,

:.PE=-AC=-x6=3,

22

由三角形的三边关系得，0、E、P三点共线时0P最大，

此时O埸大=3+#).

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的性质、三角形的三边关系、勾股定理、中位线定理.能正确构造辅助

线，并根据三角形三边关系确定0P最大值是解题关键.

5.B

解析：B

【分析】

由中点的性质可得出E户//CZ),且EF=gc/)=8G,结合平行即可证得②结论成立，由

5£>=23。得出30=8。，即而得出BE1AC，由中线的性质可知G尸〃鹿，且

GP=；BE,AO=EO,通过证DAPG@DEPG得出AG=EG=EF得出①成立，再证

DG/>E@DfP£；得出④成立，此题得解.

【详解】

解：令GF和AC的交点为点P,如图

:.EFHCD,S.EF=-CD,

2

四边形A8CD为平行四边形，

:.ABHCD，且45=C£>,

：.AB//EF

\?FEG?BGE(两直线平行，内错角相等)，

点G为A3的中点，

\BG=-AB=-CD=FE,

22

pG=FE

在AEFG和AGBE中，T?FEG?BGE,

|GE=EG

\DEFG@DGBE(SAS),即②成立，

\?EGF?GEB,FE=BG,

\GFIIBE(内错角相等，两直线平行)，

=25。，点0为平行四边形对角线交点,

\BO=-BD=BC,

2

E为0C中点，

:.BELOC,

\GPAAC,

\?APG2EPG90?

QGP//BE,G为AB中点，

r.P为AE中点，即AP=P£，且GP=！BE,

2

?AP=EP

在A4PG和AECP中，i?APG?EPG,

|GP=GP

\DAPG@DEPG(SAS),

\AG=EG=-AB,

2

:.EG=EF,即①成立，

EF//BG,GFIIBE,

四边形BGFE为平行四边形，

:.GF=BE,

QGP=-BE^-GF,

22

\GP=FP,

QGF"AC,

\2GPE2FPE90?

iGP=FP

在DG总和AFPE中，GPE?FPE,

\EP=EP

\DGPE@DFPE(SAS),

\?GEP?FEP,

.•.E4平分NGE/7,即④成立，

综上所述，正确的有①②④，

故选：B.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、中位线定理以及平行线的性质定理，解题的关键是

利用中位线，寻找等量关系，借助于证明全等三角形找到边角相等.

6.D

解析：D

【分析】

先根据全等三角形进行证明，即可判断①和②，然后作辅助线，推出。D=OF,得出四边形

BEDF是平行四边形，求出BM=DM即可判断④和⑤，最后根据AE=CF,即可判断⑥.

【详解】

①：四边形ABCD是平行四边形，

AB〃DC,AB=DC,

ZBAC=ZADC,

在AABE和4DFC中

AE=FC

<ABAC=AADC

AB=DC

/.△ABE^ADFC(SAS),

；.BE=DF,

故①正确.

©VAABE^ADFC,

ZAEB=ZDFC,

ZBEF=ZDFE,

；.BE〃DF,

故②正确.

③根据已知的条件不能推AB=DE,故③错误.

④连接BD交AC于0,过D作DM_LAC于M,过B作BN_LAC于N,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

.\DO=BO,OA=OC,

VAE=CF,

；.OE=OF,

...四边形BEDF是平行四边形，

故④正确.

@VBN±AC,DM±AC,

AZBN0=ZDM0=90°,

在△BNO和△DMO中

ZBN0=ZDM0

.ZB0N=ZD0M

OB=OD

AABNO^ADMO(AAS)

...BN=DM

VS.=—xAExDM,S-xAExBN

△AADr)EP2AABE?

''°AADEaAABE，

故⑤正确.

(6)VAE=CF,

；.AE+EF=CF+EF,

；.AF=CE,

故⑥正确.

故答案是D.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定以及性质，熟练掌握相关的性质是

解题的关键.

7.B

解析：B

【分析】

过点E作EMJ_AB,连接AF,先求出EM,由SAABE=AB・EM='AE・GF+'AB・FH,可得

222

FG+FH=EM,则FG+FH的值可求.

【详解】

解：如图，过点E作EM_LAB,连接AF,

D.

AMH

:四边形ABCD是正方形，

AZACB=45°,

/.△AEM是等腰直角三角形，

VAB=AE=2,

AM2+EM2=1EM-=AE2=4

SAABE=SAAEF+SAABF，

111

-0ABE=—AB・EM=-AE・GF+-AB・FH,

222

.,.EM=FG+FH=V2;

故选:B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解

题的关键.

8.B

解析：B

【分析】

由平行四边形的性质可得OB=BC,由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性

质和三角形中位线定理可判断②错误，通过证四边形BGFE是平行四边形，可判断③正

确，由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确，由/BACX30。可判断⑤错误.

【详解】

解：；四边形ABCD是平行四边形

1

；.BO=DO=-BD,AD=BC,AB=CD,AB〃BC,

2

又：BD=2AD,

.".OB=BC=OD=DA,且点E是。C中点，

ABEXAC,故①正确，

；E、F分别是OC、OD的中点，

1

，EF〃CD,EF=-CD,

2

丁点G是RtAABE斜边AB上的中点，

1

；.GE=—AB=AG=BG

2

，EG=EF=AG=BG,无法证明GE=GF,故②错误，

；BG=EF,AB〃CD〃EF

四边形BGFE是平行四边形，

；.GF=BE,且BG=EF,GE=GE,

...△BGE丝ZXFEG(SSS)故③正确

：EF〃CD〃AB,

ZBAC=ZACD=ZAEF,

VAG=GE,

.•.ZGAE=ZAEG,

AZAEG=ZAEF,

；.AE平分NGEF,故④正确，

若四边形BEFG是菱形

1

；.BE=BG=-AB,

2

AZBAC=30°

与题意不符合，故⑤错误

故选：B.

【点睛】

本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定

理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键.

9.D

解析：D

【分析】

连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,根据已知条件和平行四边形的性质可证明

/XNAE^ACFE,所以N£=CE,NA=CF,再由已知条件CDJ_AB于D,NAOE=50°,即可

求出N8的度数.

【详解】

解：连结CE,并延长CE,交BA的延长线于点N,

•.•四边形ABCF是平行四边形,

：.AB//CF,AB=CF,

；.NNAE=NF,

••,点E是的AF中点，

：.AE^FE,

在△/VAE和ACFE中，

'NNAE=NF

<AE=FE,

NAEN=NFEC

:.△NAEgACFE(ASA),

:.NE=CE,NA=CF,

"：AB=CF,

：.NA=AB,BPBN=2AB,

"：BC=2AB,

；.BC=BN,NN=NNCB,

•.•CD_1_A8于。，即NNDC=90°且NE=CE,

：.DE=-NC=NE,

2

/N=/NDE=50°=NNCB,

AZB=80°.

故选：D.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，综合性较强，难度较大，解答本题的关键是正确作出辅助

线，构造全等三角形，在利用等腰三角形的性质解答.

10.C

解析：C

【分析】

根据等边三角形边长为2,在RtABDE中求得OE的长，再根据CM垂直平分。E，在

RtACDN中求得CN,利用三角形中位线求得MN的长，最后根据线段和可得CM的

长.

【详解】

解：等边三角形边长为2,BD^-CD,

2

24

ABD=-,CD=~,

33

等边三角形ABC中，DF//AB,

:.ZFDC=ZB=6O°,

NEDF=9。。,

:.ZBDE=30°,

：.DE±BE，

如图，连接DW，贝URtADEF中，DM=-EF=FM,

2

ZFDC=ZFCD=60°f

.•.△CDb是等边三角形，

4

；.CD=CF=—,

3

...C以垂直平分。/，

.-.ZDCN=30°,

42,C

r.RtACDN中，DF=—，DN=—，CN=—,

333

'：EM=FM,DN=FN,

.....i„„G

•"MN=—ED=—，

26

r..2G后5n

CM=CN+MN=-------b——=--------.

366

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定

理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等.熟练掌握这些性质是解题的关键.

二、填空题

11.200m

【分析】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M,则四边形EDHF,

四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形，4ABC是等边三角形，由此即可解决问题.

【详解】

如图，延长AC、BD交于点E,延长HK交AE于F,延长NJ交FH于M

E

由题意可知，四边形EDHF,四边形MNCF,四边形MKGJ是平行四边形

：/A=/B=60°

NE=18()-ZA—ZB=60

•••△ABC是等边三角形

，ED=FM+MK+KH=CN+JG+HK,EC=EF+FC=JN+KG+DH

"九曲桥"的总长度是AE+EB=2AB=200m

故答案为：200m.

【点睛】

本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行

四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解.

12.V21

【分析】

如图(见解析)，先根据等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质可得

MEHAB,ME=AB=4,再根据平行线的性质可得NFEN=NC=60°,然后利用直角

三角形的性质、勾股定理可得后尸=2,"尸=26，从而可得/W=3,最后在HrFMN

中，利用勾股定理即可得.

【详解】

如图，连接ME,过点M作MELCE,交CE延长线于点F,

A/WD和3CE都是等边三角形，BC=2,

:.ZA=ZCBE=ZC=60°,BE=CE=BC^2,AD=AB,

:.ADHBE,

AC=6,

AD=AB=6—2=4,

点M,N分别是AD,CE的中点，

.■.AM=-AD^2,EN=-CE^\,

22

•••四边形ABEM是平行四边形，

：.ME//AB,ME=AB=4,

.•.NFEM=NC=60。，

在RtAEFM中，NEMF=90°-60°=30°,

EF=-ME=2,MF=yjME2-EF2=26,

2

:.FN=EN+EF=1+2=3,

则在必FMN中,MN=J/+M产=,2+(2后=后,

故答案为：＞/21•

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质

等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形和平行四边形是解题关键.

13.V10-V2

【分析】

连结AC,取OC中点M,连结MB,MG,则MB,MG为定长，利用两点之间线段最短解

决问题即可.

【详解】

连接AC,交EF于。，

.\ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

：AE=CF,

.,.△AEO^ACFO(ASA),

AOA=OC,

二0是正方形的中心，

VAB=BC=4,

.•.AC=40,0c=20,

取0C中点M,连结MB,MG,过点M作MH_LBC于H,

VMC=y0C=V2>

，MH=CH=1,

ABH=4-1=3,

由勾股定理可得MB=J32+货=,

在RtAGOC中，M是OC的中点，则MG=/oC=&,

•/BG>BM-MG=VlO-V2，

当B,M,G三点共线时，BG最小=标-近，

故答案为：V10-

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，根据正方形的性质得出当E,F运动到AD,BC的中点时，

MG最小是解决本题的关键.

14.3血或」师

22

【分析】

根据点P在直线BC上，点。在直线CO上，分两种情况：LP、Q点位于线段上；2.P、Q

点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.

【详解】

解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时：

四边形ABCD是矩形

APLPQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABPsPCQ

333

pc=AB=-,BP=BC-PC=3--=-

222

・•.AP=J（”+（2）2=3亚

V222

当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:

•••四边形ABCD是矩形

AP±PQ,

：.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

AP=PQ

ABP=PCQ

339

PC=AB=-,BP=BC+PC=3+二=一

222

・•・AP-/（-）2+（-）2=-Vio

V222

故答案为：,或二jny

22

【点睛】

此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题

的关键.

15.65

【分析】

先由正方形的性质得到NABF的角度，从而得到NAEB的大小，再证4AEB^^AED,得到

ZAED的大小

【详解】

:四边形ABCD是正方形

AZACB=ZACD=ZBAC=ZCAD=45°,ZABC=90",AB=AD

VZFBC=200,.\ABF=70°

.•.在△ABE中，ZAEB=65°

在aABE与AADE中

AB=AD

<NBAE=NEAD=45°

AE^AE

AAABE^AADE

/.ZAED=ZAEB=65°

故答案为：65°

【点睛】

本题考查正方形的性质和三角形全等的证明，解题关键是利用正方形的性质，推导出

ZAEB的大小.

16.2G

【分析】

根据EW是斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可

求出的长；根据已知条件推导出。腔是等边三角形，且边长为2,进一步计算即

可得解.

【详解】

解：•••AOLBC,M为边的中点，A3=4

.,.在RtAAB。中，DM=AM=1AB=-X4=2

22

同理，在HrAABE中，EM=AM=-AB=-x4^2

22

AZMDA=ZMAD，ZMEA^ZMAE

,**ZBME=ZMEA+ZMAE=2ZMAE，ZBMD=ZMDA+ZMAD=2ZMAD

•••ZDME=ZBME-ZBMD

=2ZMAE-2ZMAD

=2(NMAE-NMAD)

=2ZQ4C

=60°

•：DM=EM

DME是等边三角形,且边长为2

=—x2x-\/3=6

,,SEDM

2

故答案是：2；73

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质、三角形的外角定理、角的和差以及等边三角

形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是进行推理论证的前提.

175V13

13

【分析】

根据』・8C・AH=』・4B・AC,可得AH=^,根据'A°・8O='BDWH,得。B=

221322

生叵，再根据8E=2O8=吆叵，运用勾股定理可得EC.

1313

【详解】

设BE交4?于。，作AH_LBC于H.

在R"BC中，N8AC=90°,A8=2,AC=3,

由勾股定理得：BC=V13,

:点。是8c的中点，

/7T

：.AD=DC=DB^^—,

2

•/-・BC・AH=-»AB»AC,

22

・AH-6屈

13

；AE=AB,DE=DB,

点人在BE的垂直平分线上，点。在8E的垂直平分线上,

：.AD垂直平分线段8E,

-AD*BO=-BD»AH,

22

・CA-6任

••C/D--------9

13

.DC-^D_12V13

••DC.-ZUD----------j

13

VDE=DB=CD/

AZDBE=ZDEB,ZDEC=ZDCE,

.\ZDEB+ZDEC=-X18O°=90°,即：ZBEC=90°,

2

...在RtABCf中，EC=ylBC2-BE2='(715)2-(今皆)2=

故答案为：士叵.

13

【点睛】

本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及翻折的性质，掌握“直角三角形斜边长的

中线等于斜边的一半”以及面积法求三角形的高，是解题的关键.

18.2或3.5

【分析】

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

【详解】

1

/.BE=CE=-BC=9,

2

①当Q运动到E和B之间，则得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，则得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

19.2

【分析】

分别延长AE,BF交于点H,易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则

G的运动轨迹为AHCD的中位线MN,再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长

度即可.

【详解】

解：如图，分别延长AE,BF交于点H,

VZA=ZFPB=60°,

AAHIIPF,

VZB=ZEPA=60°,

ABHIIPE

四边形EPFH为平行四边形，

AEF与HP互相平分，

•.•点G为EF的中点,

...点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，

AG的运动轨迹为aHCD的中位线MN,

VCD=6-1-1=4,

Z.MN=-CD=2,

2

，点G移动路径的长是2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得

出G的运动轨迹为aHCD的中位线MN.

20.1072

【分析】

根据平行四边形的性质、角平分线的性质证明AD=DE=3,再根据=证明

BC=BE,由此根据三角形的三线合一及勾股定理求出BF,即可求出平行四边形的面积.

【详解】

过点3作跖，8于点尸，如图所示.

；AE是/明。的平分线，

ZDAE^ZBAE.

V四边形ABCD是平行四边形，

ACD=AB=5,BC=AD=3,NBAD=NBCE,AB//CD,

：.ZBAE=ZDEA，

：.ZDAE^ZDEA,

DE—AD-3，

CE=CD-DE=2.

•：/BAD=/BEC,

：.ZBCE=ZBEC,

；.BC=BE,

/.CF=EF=-CE=1,

2

BF=ylBC2-CF2=732-l2=2V2•

平行四边形ABCD的面积为6DCO=2拒x5=10C.

故答案为：10匹.

【点睛】

此题考查平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等，等腰三角形的等角对等边的性

质、三线合一的性质，勾股定理.

三、解答题

21.(1)①6；②结论：EC//PA；(2)为4和16.

【分析】

(1)①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作NEAB的平分线交BC于点

P,点P即为所求•理由勾股定理可得DE.

②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PALBE，EC_LBE即可解决问题.

(2)分两种情形分别求解即可解决问题.

【详解】

解：(1)①如图1中，以A为圆心AB为半径画弧交CD于E,作NE43的平分线交BC于

点P,点P即为所求.

图1

在RtADE中，/£)=90>AE—AB—10>AD-S>

DE=ylAE2-AD2=V102-82=6,

故答案为6.

②如图2中，结论：EC//PA.

图2

理由：由翻折不变性可知：AE^AB，PE=PB，

.•.B4垂直平分线段BE,

即24,BE，

PB=PC=PE,

BEC=90，

••.EC上BE,

：.EC//PA.

BD'=>/AB2-AD,2=6-

在RtBQC中，CQ2+BC2=BQ2,

(10-x)2+82=(x+6)2,

x=4，

DQ=4.

②如图3-2中，当点Q在线段DC的延长线上时,

/.NDQA=/QAB,

/DQA=NAQB,

.•./QAB=/AQB,

AB=BQ=10,

在RtBCQ中，CQ=jBQ2_BC2=6,

..DQ=DC+CQ=16,

综上所述，满足条件的DQ的值为4或16.

故答案为4和16.

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键

是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

22.(1)50。；(2)见解析；(3)见解析

【分析】

(1)由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；

(2)由平行四边形的性质得出AD=8C,AD//BC-,证明BC是△EFG的中位线，得出

BC//FG,BC=；FG,证出AD〃FH,AD//FH,由平行四边形的判定方法即可得出结论；

(3)连接EH,CH,根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结

论.

【详解】

明：(1)•四边形A8CD是平行四边形，

：.ZBAE=ZBCD=70°,AD//BC,

：NDCE=20。，

'SAB//CD,

：.ZCDE=180°-ZBAE=1W°,

：.ZDEC=180°-ZDCE-ZCD£=50°；

(2).四边形A8CD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,N8AE=/BCD,

：BF=8E,CG=CE,

；.BC是AFFG的中位线，

：.BC//FG,BC=」FG,

2

,:H为FG的中点,

：.FH=LFG,

2

：.BC//FH,BC=FH,

：.AD//F