2025年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷（附答案解析）

2025年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷

一、选择题（每题3分，共24分）

1.（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

A.LBBF任DH

2.（3分）若关于x的一元二次方程（加-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0,则m的值为（）

A.-2B.0C.2D.-2或2

3.（3分）如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△N2C的顶点都

在这些小正方形的顶点上，那么sinZACB的值为（）

4.（3分）如图，电路图上有4个开关/、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关/、3或

同时闭合开关C、。都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机

事件的是（）

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

TT

5.（3分）如图，已知点C,。是以N3为直径的半圆。的三等分点，前的长为］则图中

阴影部分的面积为（)

第1页（共33页）

n37r7171V3

A.-B.一C.—D.一+一

61624124

6.（3分）如图，点/是反比例函数y=（（x>0）上的一点，过点/作/C_Ly轴，垂足为

点GNC交反比例函数y=，的图象于点3,点尸是x轴上的动点，则△以5的面积为（）

4C.6D.8

7.（3分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为4：7,且三角

板的一边长为8c〃z.则投影三角板的对应边长为（）

C.ScmD.3.2cm

8.（3分）如图，在矩形48co中，AB=4,BC=3,动点尸，。同时从点/出发，点尸沿

8一C的路径运动，点。沿N-D-C的路径运动，点尸，。的运动速度相同，当点尸

到达点C时，点。也随之停止运动，连接P。.设点P的运动路程为x,PQ?为y,则y

关于x的函数图象大致是（）

二、填空题（每题3分，共24分）

9.（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万

第2页（共33页）

户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长

率为x,可列方程为.

10.（3分）如图，在△/8C中，ZBAC=108°,将△48C绕点/按逆时针方向旋转得到4

AB'C'.若点中恰好落在8C边上，且/夕=C8',则/C'的度数为.

11.（3分）点PGn,n）在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ox+4的图象上，则加-〃的

最大值等于.

12.（3分）如图，圆锥的母线/C=8c加，侧面展开图是半圆，则底面半径OC=.

13.（3分）一个不透明的箱子里装有加个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，

每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发

现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么可以估算出优的值为.

14.（3分）如图，在矩形中，48=12,AD=9,点E是边2C上一点，连接BD

相交于点尸，连接。E,若sin/DEC=竽，则2尸=.

15.（3分）如图，已知反比例函数丫=/的图象经过△NBC的顶点/,点3在y轴负半轴，

CDAE2

点。在x轴正半轴，NC交夕轴于点。交x轴于点£,若==—==麋40=10.则

ADEB3

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16.C,点/1，A2,出，…在X轴正半轴上且

1

横坐标分别为2,4,6,,,,,过出作/iCi_Lx轴交直线y=2%+1于点C1，连接。C1，

1

A1C,且。Cl，/1C交于点尸1;过/2作出。2口轴交直线y=>+1于点。2,连接小。2,

A2C1,且/1C2,小。1交于点尸2；…按照此规律进行下去，则尸”的纵坐标

三、解答题（每小题8分，共16分）

17.（8分）已知关于x的一元二次方程X2-（2左+1）x+/2-2=0.

（1）求证：无论人为何实数，方程总有两个不相等的实数根;

（2）若方程的两个实数根XI，X2满足XI-X2=3,求左的值.

第4页（共33页）

18.（8分）如图，在RtzX/BC中，ZBAC^90°,4D_L3C于点。，点。是/C边上一点,

连接5。交于尸，OELOB交BC边于点、E.求证：£\ABF^/\COE.

四、解答题（每小题10分，共20分）

19.（10分）如图，一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=［（k>0）的图象相交于N,

8两点（N在3的右侧）.

（1）若/（3,仅），求反比例函数解析式；

Be

（2）连接/。并延长交反比例函数图象的另一分支于点C,连接8c交y轴于点。，若七；=

DD

5

求△/2C的面积.

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20.（10分）小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作.根据社区安排，志愿者被随机分到/

组（清除小广告）、8组《便民代购）和。组（环境消杀）.

（1）小红爸爸被分到B组的概率是；

（2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小

红的爸爸被分到同一组的概率.

五、解答题（每小题10分，共20分）

21.（10分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼N2

的高度进行测量，先测得居民楼N3与CO之间的距离/C为35%,后站在M点处测得居

民楼8的顶端。的仰角为45°,居民楼48的顶端2的仰角为55°,已知居民楼CD

的高度为16.6加，小莹的观测点N距地面1.6加.求居民楼的高度（精确到1根）.（参

考数据：sin55°仁0.82,cos55°仁0.57,tan55°21.43）.

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22.（10分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷.为此，李老

师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）.某校九年级（1）

班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图,

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次参与调查的共有人,在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆

心角的度数为;

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校有6000人在使用手机：请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数.

瀛方式

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六、解答题（每小题10分，共20分）

23.（10分）如图，N8为。。的直径，D、£是。。上的两点，延长至点C,连接CD,

NBDC=/BAD.

（1）求证：CD是。。的切线.

9

（2）若tan/3£D=1AC=9,求。。的半径.

24.（10分）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销.据市场调查,

销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量

就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为了元.

（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为元，每件商品的利润为

元，每周的商品销售量为件；

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

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七、解答题（满分12分）

25.（12分）在△48C中，AB=AC,ZBAC=90°，点、D,£分别是NC,8c的中点，点产

是射线DE上一点，连接AP,将线段R4绕点P顺时针旋转90°得到线段PM,连接AM,

CM.

（1）如图①，当点尸与点。重合时，线段CM与PE的数量关系

是,ZACM=°；

PE

（2）如图②当点尸在射线DE上运动时（不与点。，E重合），求说的值；

A（J

（3）连接尸C,当△PCM是等边三角形时，请直接写出二二的值.

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八、解答题（满分14分）

26.（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=f+bx+c与y轴交于点C,与x

轴交于4,8两点，直线y=-x+3恰好经过/,C两点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。是抛物线上一动点，连接CD,AD,若△/CD的面积为6,求点。的坐标;

（3）点£是抛物线上一动点，连接若NABE=2NACB,直接写出点£的坐标.

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2025年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共24分）.

1.（3分）如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图是（）

2.（3分）若关于x的一元二次方程（机-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0,则m的值为（）

A.-2B.0C.2D.-2或2

解：,一元二次方程（.m-2）-4=0的一个根为0,

-4=0且"Z-2W0,解得：m=-2.故选：A.

3.（3分）如图，在4X5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,△/BC的顶点都

在这些小正方形的顶点上，那么sinZACB的值为（）

解：如图，过点/作8c于”.

在RtZ"S中，'：AH=4,CH=3,

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--------------------------AU4

.,.AC=y/AH2+CH2—V42+32=5,.,.sinXACH-故选：D.

4.（3分）如图，电路图上有4个开关/、B、C、。和1个小灯泡，同时闭合开关/、3或

同时闭合开关C、。都可以使小灯泡发光.下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机

事件的是（）

A.只闭合1个开关B.只闭合2个开关

C.只闭合3个开关D.闭合4个开关

解：4只闭合1个开关，小灯泡不会发光，属于不可能事件，不符合题意；

B,只闭合2个开关，小灯泡可能发光也可能不发光，是随机事件，符合题意;

C、只闭合3个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

。、闭合4个开关，小灯泡一定会发光，是必然事件，不符合题意；

故选：B.

7T

5.（3分）如图，已知点C,。是以N3为直径的半圆。的三等分点，口的长为了则图中

VC,D是以N2为直径的半圆的三等分点，；./AOC=/COD=/DOB=60°,4C=

CD,

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又・・・CM=OC=。。，•,•△CMC、△OCT）是等边三角形,

AZAOC=ZOCDf：.CD//AB,：.SAACD=SAOCDF

160nr1

•弧CD的长为二兀，・二=,冗，解得：r=l,

Dlol）3

•0—,607rx1.27T_L»,、生.

・・3阴影=3扇形。CD=-—二石・改琏：A.

6.（3分）如图，点/是反比例函数y=（（x>0）上的一点，过点/作/CJ_y轴，垂足为

点G/C交反比例函数y=，的图象于点8,点尸是x轴上的动点，则△E4B的面积为（）

解：如图，连接ON、OB、PC.

11

AC.Ly轴，.•・SMPC=14OC=Ix|6|=3,SABPC=S^BOC=1x|2|=l,

**•S^R4B=S/^APC-S^BPC=2.故选：A.

7.（3分）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为4：7,且三角

板的一边长为8c%则投影三角板的对应边长为（）

解：设投影三角板的对应边长为必冽，

・・•三角板与其投影的相似比为4：7,且三角板的一边长为8c冽,

48

.•・一=—,.*.%=14.故选：B.

7x

第13页（共33页）

8.（3分）如图，在矩形/BCD中，48=4,BC=3,动点尸，。同时从点/出发，点尸沿

N-B-C的路径运动，点0沿/一。一C的路径运动，点尸，0的运动速度相同，当点P

到达点C时，点。也随之停止运动，连接P。.设点尸的运动路程为x,尸。2为外则y

关于x的函数图象大致是（）

D,---------------------------1c

解：当0WxW3时，在RtzX/尸。中，ZQAP=90°,AP=4Q=x,

.".PQ2=2X2..,.y—PQ2—2x2；

当3WxW4时，DQ=x-3,AP=x,.*.J=/?22=32+32=18；

当4WxW7时，CP=1-x,CQ=1-x,：,y=PQ2=CP2+CQ2^2x2-28x+98.

故选：C.

二、填空题（每题3分，共24分）

9.（3分）目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展，某市2019年底有5G用户2万

户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长

率为x,可列方程为2（1+x）2=8.72.

解：设全市5G用户数年平均增长率为x,

依题意，得：2（1+x）2=8.72,

故答案为：2（1+x）2=8.72.

10.（3分）如图，在△/8C中，/A4c=108°,将△48C绕点/按逆时针方向旋转得到4

AB'C.若点"恰好落在8C边上，且45'=CB',则/C'的度数为24°.

C

\\B'

AB

C〃

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解：・；AB'=CB',

:・/C=/CAB，,

：.NAB，B=NC+NCAB』2NC,

•・,将绕点4按逆时针方向旋转得到△/8C,

：.ZC=ZC,AB=AB\

：./B=/AB，B=2/C,

VZB+ZC+ZCAB=180°,

.,.3ZC=180°-108°,

AZC=24°,

/.ZC=ZC=24°,

故答案为：24。.

11.（3分）点尸（m,n）在以歹轴为对称轴的二次函数V=，+QX+4的图象上，则加-〃的

最大值等于苧—.

解：：点尸（处"）在以y轴为对称轴的二次函数＞=，+公+4的图象上，

.*.a=0,

・,•几=/+4,

zlx15

・••加-n=m-(m2+4)=-m2+m-4=（冽一天2一下，

当m=■^时,m-n取得最大值，此时m-n=—苧

故答案为：—不.

12.（3分）如图，圆锥的母线4C=8c机，侧面展开图是半圆，则底面半径。。=4。冽

解：•・•圆锥的母线ZC=8c冽，侧面展开图是半圆,

，侧面展开扇形的弧长为：871c机，

设圆锥的底面半径OC=rcm,

第15页（共33页）

2Tl尸=8n,

解得：r=4.

故答案为：4cm.

13.（3分）一个不透明的箱子里装有加个球，其中红球有3个，这些球除颜色外都相同，

每次将箱子里的球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发

现，摸到红球的频率稳定在0.25,那么可以估算出%的值为12.

解：•大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.25,

3

，任意摸出一个球，摸到红球的概率为0.25,，一=0.25,

m

解得比=12,经检验：加=12是原方程的解，

故答案为：12.

14.（3分）如图，在矩形/8CO中，48=12,/。=9,点E是边8C上一点，连接BD

相交于点凡连接若sin/D£C=等，贝1]3尸=苧.

5——4—

AD

解：•・•四边形45CQ是矩形，：.CD=AB=12,BC=AD=9,ZC=90°,

：.BD=<BC2+CD2=15,・.・sinNQEC=誉，:・DE=6瓜：.CE=VDE2-CD2=6,

ADDF9

:・BE=3,•:AB〃BC,:•△ADFs^EBF,：.—=—=-=3,

BEBF3

1ic15

；.BF=±BD=容.故答案为：—.

444

15.（3分）如图，已知反比例函数旷=/的图象经过△/8C的顶点/,点3在夕轴负半轴，

CDAE2

点。在X轴正半轴，NC交y轴于点。,A8交X轴于点£,若==—=&ZBC=10.则

ADEB3

解：作/ALLy轴于

第16页（共33页）

设4(m,n),则4Vf=-冽，OM=n,

八CDAE2

,・ZM〃x轴，一———，

ADEB3

eOCCD2OEOBBE3

**7M=AD=3fAM~BM~AB~5’

,冽，薪,

OC=^AM=-I■加,0E=^AM=—0B=

：.CE=-1m-|m=-那,

[11QS

:・SAABC=S“c吩SABCE=]CE・BM=3'(一记血)x2n=10'

解得

mn=—4I^zf-

•.•反比例函数y=5的图象经过A/BC的顶点/,

.•…"T

16.。，点4,血，/3，…在x轴正半轴上且

1

横坐标分别为2,4,6,过4作4Ci，x轴交直线y=*x+1于点Ci，连接OCi，

4G且。Ci,4C交于点尸i；过山作出。2口轴交直线y=>+l于点Q,连接4Q,

A2C1,且4Q,加。1交于点尸2；…按照此规律进行下去，则尸篦的纵坐标为

n(n+l)

2n+l-

第17页（共33页）

.•.点C坐标为(0,1),

:点小，42,Ai,…在X轴正半轴上且横坐标分别为2,4,6,-

_1

・••点G纵坐标为5><2+1=2,

一1

点Q纵坐标为5x4+1=3,

一1

点。3纵坐标为5x6+1=4,

•••，

轴，

/.OC//A1C1,

：.ZOCP^ZCiA\Pi,ZCOPi^ZAiCiPi，

.♦.△COps/NCiPi,

：.OC：AxC\=OP\-.PiCi，

即Op：P1C1=1：2,

过点尸1作尸轴于点X,如图所示：

则/Pi"O=NCi/iO=90°,

•/ZPiOH=ZCiOAi，

：./\P\HO^^\C\A\O,

：.PiH：CM=OPi：0cl=1：3,

2

：.P1H=3,

...点Pl纵坐标为,，

过点尸2作尸2Q，X轴，

同理可得Pl纵坐标为

第18页（共33页）

尸3纵坐标为亍,

按照以上规律，纵坐标为”学,

n(n+l)

故答案为:

2n+l

17.(8分)已知关于x的一元二次方程x?-(2H1)x+^k1-2=0.

(1)求证：无论左为何实数，方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根XI,X2满足XLX2=3,求左的值.

解：(1)VA=[-(2R1)]2-4X1X(1^-2)

=4严+4左+1-2/+8

=2乒+4上+9

=2(H1)2+7>0,

:无论先为何实数，2(什1)峰0,

/.2(H1)2+7>0,

•••无论人为何实数，方程总有两个不相等的实数根;

(2)由根与系数的关系得出XI+X2=2左+1,XIX2--2,

•XI-X2=3,

...(XI-X2)2=9,

(X1+X2)2-4x1X2—9,

...⑵+1)2-4X(二/-2)=9,

化简得m+2左=0,

第19页(共33页)

解得k=0或左=-2.

18.（8分）如图，在RtZ\45C中，ZBAC=90°,/O_L5c于点。，点。是4。边上一点,

连接5。交4。于产，OELOB交BC边于点E.求证：△ABFsACOE.

：.ZBOA+ZCOE=90°,

■:NBOA+/ABF=90°,

'NABF=/COE,

U：ADLBC,

：.ZDAC+ZC=90°,

VZBAC=90°,

AZBAF+ZDAC=90°,

：.NBAF=/C.

：.AABF〜ACOE.

四、解答题（每小题10分，共20分）

19.（10分）如图，一次函数y=-2x+10的图象与反比例函数y=q（k＞。）的图象相交于4，

3两点（/在8的右侧）.

（1）若/（3,加），求反比例函数解析式；

Be

（2）连接/。并延长交反比例函数图象的另一分支于点C,连接3C交y轴于点。，若一=

BD

|,求△/BC的面积.

第20页（共33页）

卜y

解：(1):一次函数>=-2%+10的图象过点/(3,加)，

：.m=-2X3+10=4,

：.A(3,4),

..•点/在反比例函数y=5(k>0)的图象上，

.•"=3X4=12,

...反比例函数的解析式为y=~

(2)过点B作BM±y轴于M,过点C作CNLy轴于N,则BM//CN,连接4D,

:.△BMDs^CND,

.BMBD

"CN-CD'

••_B_C5

•—，

BD2

.BMBD2

・*CN一CD-3’

设9=2x,则CN=3x,

.,.点B(2x,竿)，点C(—3无，—白)，

.•.点A(3x,1),

第21页（共33页）

_2x3%+10=-L

3XA

—2x2%+10=2X

解得仁1

12'

・,•点4(3,4),点5(2,6),点C(-3,-4),

设直线BC的解析式为>=加工+〃，

则有｛2：+：=6解得41=]

直线BC的解析式为y=2x+2,

:点D是直线3C与y轴的交点，

:.点,D(0,2),

..•点F是直线4B与y轴的交点，

点?(0,10),

11

S^ABD—S^ADF-S^BDF—x(10—2)X3—X(10—2)X2=4,

..SAABD_毁_£

S"BCBC5,

^AABC=2s△ABD=2义4=10.

20.(10分)小红的爸爸积极参加社区志愿服务工作.根据社区安排，志愿者被随机分到/

组(清除小广告)、2组(便民代购)和C组(环境消杀).

(1)小红爸爸被分到8组的概率是_1_；

(2)某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，请用画树状图或列表的方法求他和小

红的爸爸被分到同一组的概率.

解：⑴小红爸爸被分到3组的概率为提

,,心一,1

故答案为：—：

(2)小红爸爸和王老师分组可用树状图表示如下：

第22页(共33页)

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中小红爸爸和王老师被分到同一组的结果有三

种，

.p_3_1

•,卜（小红爸爸和王老师被分到同一组）-9-3,

五、解答题（每小题10分，共20分）

21.（10分）如图，小莹在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识对某小区居民楼

的高度进行测量，先测得居民楼N3与CD之间的距离/C为35机，后站在M点处测得居

民楼CD的顶端。的仰角为45°,居民楼的顶端8的仰角为55°,已知居民楼CD

的高度为16.6加，小莹的观测点N距地面1.6〃?.求居民楼45的高度（精确到1小）.（参

考数据：sin55°20.82,cos55°-0.57,tan55°-1.43）.

AMC

解：过点N作斯〃ZC交ZB于点E,交CD于点尸，

Ib…..…

AA/C

则AE=MN=CF=1.6m,

EF—AC—35m,

ZBEN=ZDFN=90°,

EN=AM,NF=MC,

则。尸=DC-C/=16.6-1.6=15（m）,

在RtZXDEN中，

VZDNF=45°,

:.NF=DF=15m,

：.EN=EF-NF=35-15=20（m）,

在RtZ\BEN中，

第23页（共33页）

■:tanNBNE=

:.BE=EN・tan/BNE=20Xtan55°心20X1.43=28.6（m）,

：.AB=BE+AE=28.6+l.6^30（m）.

答：居民楼的高度约为30〃?.

22.（10分）随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷.为此，李老

师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）.某校九年级（1）

班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图,

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次参与调查的共有2000人,在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心

角的度数为144。；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校有6000人在使用手机：请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数.

800

700

600

500

400

300

200

100

0一由W适殖徵信QQ沟底方式

解：（1）这次参与调查的共有400+20%=2000（人），

•••最喜欢用“短信”进行沟通的人数为2000X5%=100（人），

...最喜欢用“微信”进行沟通的人数为2000-400-100-440-260=800（人）,

，表示“微信”的扇形圆心角的度数为360°x揣=144。，

故答案为：2000,144°；

（2）补全条形统计图如下：

第24页（共33页）

（3）该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数为6000x^=2400（人）.

六、解答题（每小题10分，共20分）

23.（10分）如图，为。。的直径，D、£是。。上的两点，延长至点C,连接C。,

/BDC=/BAD.

（1）求证：是。。的切线.

⑵若tanN8£D=t，AC=9,求。。的半径.

图1

•；AB为OO的直径,

第25页（共33页）

：・NADB=90°,

/.ZA+ZABD=90°,

•：OB=OD,

：./ABD=/ODB,

丁ZBDC=ZA,

：.ZBDC+ZODB=90°,

：.ZODC=90°,

：.ODLCD,

TOD是。。的半径，

・・・CQ是。。的切线；

2

（2）解：VZADB=90°,tanZBED=

•处£

"AD一3，

•；/DCB=ZACD,/BDC=ABAD,

:.丛BDCs丛DAC,

,CDBCBD2

"AC~CD~DA~3'

：/C=9,

.CD2

：.CD=6,

.£££

"6-3’

：.BC=4,

：.AB=AC-BC=9-4=5.

，。。的半径为|.

24.（10分）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销.据市场调查，

销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量

就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为V元.

（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为x+40元，每件商品的利润为x+10

元，每周的商品销售量为180-5x件;

（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

第26页（共33页）

（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？

解：（1）每件商品的销售价为：（x+40）兀，每件商品的利润为：（x+10）兀,

每周的商品销售量为：（180-5x）件；

故答案为：x+40,x+10,180-5x；

(2)所求函数关系式为：y=(x+10)(180-5x)

即＞=-5X2+130X+1800；

（3）:在产-5/+130工+1800中，

a=-5<0,6=130,x=1800,

.•.当工=一§=一^^=13时，x+40=13+40=53,

4ac—b2ian2

y有最大值且最大值为：F-=1800-浮耳=2645（元），

当售价为53元时，可获得最大利润2645元.

七、解答题（满分12分）

25.（12分）在△N3C中，AB=AC,/A4c=90°,点。，E分别是/C,的中点，点P

是射线DE上一点，连接AP,将线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PM,连接AM,

CM.

（1）如图①，当点尸与点。重合时，线段CM与PE的数量关系是CM=五PE

ZACM=45°；

PE

（2）如图②当点尸在射线上运动时（不与点。，£重合），求石彳的值；

（3）连接尸C,当■是等边三角形时，请直接写出不二的值.

解：（1）由旋转得：DM=AD,ZCDM=ZADM=900,

:点。是NC的中点，

第27页（共33页）

.CD=AD,

：.DM=CD,

：.ZACM^ZCMD=45°,

是8c的中点，

：.PE=^AB,

'：AB=AC,

：.PE=^AC^CD,

：.CM=V2CD=42PE,

故答案为：CM=<^PE,45

(2)如图1,

图1

连接

'：AB=AC,ZBAC=9Q°,

/4CB=/B=45°,

又是2C的中点，

：.AE±BC,

：.ZAEC=9Q°,

在Rt/XNEC中，sin^ACE=^|=^,ZEAC=900-NACE=45

由旋转的性质得：PM=PA,ZAPM=90°,

ZPAM=ZPMA=45°,sin^PMA=焉=字，

.AEPAV2

"AC~AM

：./EAC=ZPAM,

：.ZPAE=/MAC,

第28页（共33页）

.,.△PAEs^MAC,

.PEAEV2

"CM~AC~2

(3)如图2,

连接力£,

由(2)知：APAEs^MAC,

：.ZACM=ZAEP=45°,

：△PCM是等边三角形，

：.PM=PC,ZPAfC=60°,

AZAMC^ZPMC+ZAMP=6Q°+45°=105°,

/.ZAPE=]05°,

作M0L4C于0,

：.CM=2CQ=2MQ,

设CQ=CM=1,则CM=V2,

VAAMQ=AAMC-ACMQ=105°-45°=60°,

：.AQ=y[3MQ=V3,

：.AC=AQ+CQ=43+1,

.ACV3+1V6+V2

:'~CM=F=

如图3,

第29页（共33页）

A

当点尸在工。的延长线上时，

作MG_L/C,交NC的延长线于G,

〈N4PC=NAPM-/CPM=90°-60°=30°,AP=PM=PC,

：.ZACP=ZR4C=75°,

；.NACM=NACP+/PCM=15°+60°=135°,

/.ZMCG=45°,

AZCMG=90°-/MCG=45°,

：.ZGMC=ZGCM,

：.CG=MG,

设CG=MG=1,则CM=V2,

由（2）知：APAEs^MAC,

：.ZAMC=ZAPD=15°,

4G=180°-