2022年高考理科数学甲卷（含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1若z=-l+6i，则—=()

ZZ—1

A.一1+后B.7-亚C,[D.四

3333

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正

确率如下图：

100%

95%

90%

树85%

曲80%*讲座前

田75%•讲座后

70%..............*

65%•……*.........

60%t......••冰.....................................................

ZXV___1111111111

U12345678910

居民编号

则()

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.设全集。={-2,-1,0,1,2,3},集合4={-1,2},8={刀|》2一4%+3=0},贝电(AuB)=()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体的体积为

()

A.8B.12C.16D.20

5.函数y=(3*—3-')cosx在区间一g：的图象大致为()

6.当x=l时，函数/(x)=alnx+2取得最大值一2,则/'(2)=()

X

11

A.—1B.---C.-D.1

22

7.在长方体ABCD-ABCQ中，已知片。与平面ABC。和平面根乃乃所成的角均为30。，贝!]()

A.AB=2ADB.48与平面所成的角为30°

C.AC=CB}D.BQ与平面84G。所成的角为45°

8.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，AB是

以。为圆心，04为半径的圆弧，。是的A5中点，。在AB上，C£＞J_A8.“会圆术”给出AB的弧长的

rn2

近似值S的计算公式：S=AB+士当。4=2,NAOB=60。时，s=（)

OA

11-3>/311-473「9-3上c9-46

-----------D.-----------C.---------D.---------

2222

9.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为

%」和%.若个上=2,贝二（)

、乙V乙

A.75B.2夜c.VioD.

4

10.椭圆。：「+与=13＞人＞0）的左顶点为A,点P,。均在C上，且关于y轴对称.若直线AP,AQ

ab

的斜率之积为则C的离心率为（）

4

AV3BV2c1D1

2223

11.设函数/O）=sin8x+/在区间（0,兀）恰有三个极值点、两个零点，则口的取值范围是（)

I37

苣13Af!28-

苣5w(11If

A.B._36JC.D.U56j

〜31,1

12.已知。=一,/?==cos一,C二=4sin—,贝！J()

3244

A.c>b>aB.b>a>cc.a>b>cD.a>c>b

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设向量。和〃的夹角的余弦值为g,且忖=邛|=3,则（2。+。”=

14.若双曲线一二=i(m>0)的渐近线与圆/+V——+3=0相切，则加=.

m"

15.从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

AT

16.已知二ABC中，点力在边BC上，ZADB=120°,A£>=2,CD=2BD.当乙上取得最小值时，

AB

BD=.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考

题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.记S“为数歹ij｛凡｝的前〃项和.已知一+〃=2%+1.

n

(1)证明：｛%｝等差数列；

(2)若%，%，%成等比数列，求S“的最小值.

18.在四棱锥P—ABCD中，尸£>_1底面43。。,。。〃4民4。=。。=。8=1,43=2,。/3=6.

(1)证明：BDLPA-,

(2)求PD与平面P4B所成的角的正弦值.

19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得。分，没有平

局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,

0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立.

(1)求甲学校获得冠军的概率；

(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.

20.设抛物线C:：/=2px(p〉0)的焦点为F,点。(〃,())，过尸的直线交C于M,N两点.当直线MZ)

垂直于x轴时，|“目=3.

(1)求C的方程；

(2)设直线与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,A3的倾斜角分别为a,£.当a-(3

取得最大值时，求直线的方程.

21.已知函数/（x）='―-\nx+x-a.

（1）若/（刈20,求a取值范围；

⑵证明：若“X）有两个零点王,马，则环玉々<1.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第

一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

［2+t

22.在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为《6（t为参数），曲线。2的参数方程为

［y=^

2+s

x---------

<6（s为参数）.

（1）写出的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G极坐标方程为2cos6>—sin6=0,

求G与G交点的直角坐标，及C3与G交点的直角坐标.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知a,b,c均为正数，且/+〃+4/=3,证明：

（1）。+〃+2。<3；

（2）若h=2c,则

答案

选择

1-5CBDBA6-12BDBCACA

填空

V3

6

35,

yf3—1—1+V3

解答题

2

17、(1)因为——-+n=2an+1,BP2Sn+n=2nan+n®

当“22时，2S._]+(n-l)-②

①一②得，2s“+“--2s—(“-1)=2"a“+〃-2(“--1)

即2a“+2”—1=一2(〃—+1

即2(〃-1)。“一2(〃-1)4“_|=2(〃-1),所以a“-a,i=l,且〃eN*

所以｛a,,｝是以1为公差的等差数列.

(2)解：由(1)可得％=。1+3a7=fl]+6。9=4+8

又a4a7为成等比数列，所以％2=%七9

即(q+6)2=(q+3>(%+8),解得％=_12

._*g”°.cn(n-l)125\(25丫625

所ec以ra”—“-13,所以s“=—12nH----------n2~n_n

"222212J8

所以，当〃=12或〃=13时.(S,)*=-78.

18、(1)证明：在四边形ABC。中，作DELAB于E，CE_LAB于尸

因为CD//AB,AD=CD=CB—1,AB=2

所以四边形ABC。为等腰梯形

所以4£=8/=’

2

故OE=3，BD=^DE2+BE2=V3

所以A£>2+3£)2

所以AD_L8O

因为9_L平面ABC。，8。u平面ABC。

所以PD1.BD

又PDcAD=D

所以8。，平面PAD

又因PAu平面PAD

所以即J_B4；

(2)如图，以点力为原点建立空间直角坐标系

BD=6

则A(1,0,0),8(0,"0),P(0,0,6)

则AP=(-1,0,⑹,6P=,,-瓜叫DP=(0,0,⑹

设平面Q48的法向量〃=(x,y,z)

n-AP=-x+也z=0

则有｛可取〃二(G/,1)

n-BP=->/3y+Gz=0

n-DP75

则cos(〃,£)P)=

U\DP\5

所以PO与平面248所成角的正弦值为正.

19、(1)设甲在三个项目中获胜的事件依次记为A,B,C,所以甲学校获得冠军的概率为

P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)

=0.5x0.4x0.8+0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2

=0.16+0.16+0.24+0.()4=0.6.

(2)依题可知，X的可能取值为010,20,30,所以

X=0)=0.5X0.4X0.8=0.16

X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44

P(X=20)=0.5x0.6x().8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34

产(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

P0.160.440.340.06

期望E(X)=0X0.16+10X().44+20X().34+3()X0.()6=13.

20、（1）抛物线的准线为x=—",当"O与x轴垂直时，点M的横坐标为〃

21、此时阿尸|="+5=3,所以〃=2

所以抛物线C的方程为V=4x

(2)设MJy,N与，必,A?，%,8

—,y4，直线MN:x=my+l

x=mv+1、

由《o'可得y2_4my_4=0,A>0,yxy2=-4

y=4x

k=X—%=4=%--=4

由斜率公式可得抽一片一正一,+必，‘"一必_,一为+乂

4444

mx,—2个，4（X1—2）

直线MD:x=」——y+2，代入抛物线方程可得J?一_」__L.ys=0

y>X

八〉°，乂%=一8，所以为=2%，同理可得”=2乂

44=%,

所以&8

%+%2(,+%)2

又因为直线MN、AB的倾斜角分别为a,力

tana

所以原8=tanB==

若要使£一万最大，则尸

Qrtana_tan__:_1.1=及

设“MN=2颔8=2%>0,则1+tanatanp1+2k2-+2koM4

%\k

I6

当且仅当一=2%即％=卫时，等号成立

k2

所以当夕-尸最大时以B=Y2

AB2

设直线AB:x=y[2y+n

代入抛物线方程可得V-46y-4〃=0

△〉0,%”=-4〃=今比=T6

所以〃=4

所以直线AB:x=VIy+4.

21、(1)f(x)的定义域为(0,+8)

令/(幻=0,得x=l

当xe(0,l)"'(x)<0,/(x)单调递减

当xG(l,+oo),/'(X)>0,/(x)单调递增/(%)>/(I)=e+1-。,

若f(x)20,则e+1—。20,即aWe+1

所以。的取值范围为(—8,e+1]

(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设玉<1<%2

1

要证玉々<1,即证西〈——

X2

1(1

因为X，—e(0,l),即证/・(%)>——

X2(冗2.

(]、

因为/(x)=/(w),即证—

\X27

v

e-1

即证----Inx+x-xe*-Inx——>0,XG(1,+OO)

XX

即证----W—2Inx——(x>0

XX

下面证明1>1时：--xer>0,lnx--|fx1

<0

XX

4i

WI

1--ex-ex

X

X—1r

——e->0n

X

所以p(x)>0(l)=e,而/<e

所以J—e>0,所以g'OO

X

所以g(x)在(1,+8)单调递增

即g(x)>g⑴=0,所以^-一m>0

瓮])2

<0

2f

所以〃。)在(l,y)单调递减

1

即〃(x)</z(l)=0,所以111工一31x<0

x

…e”上-1

综上，----xc'-2InX——Ix—>0,所以演Z<1•

xX

选考题

22、（1）因为％=卫y=4t所以x=3W即C的普