初中数学知识点归纳总结

初中数学知识点归纳总结

目录

七年级上册知识点汇总

第一章丰富的图形世界

第二章有理数及其运算

第三章整式及其加减

第四章基本平面图形

第五章一元一次方程

第六章数据的收集与整理

七年级下册知识点总结

第一章整式的乘除

第二章平行线与相交线

第三章变量之间的关系

第四章三角形

第五章生活中的轴对称

第六章概率的初步

八年级上册知识点汇总

第一章勾股定理

第二章实数

第三章位置与坐标

第四章一次函数

第五章二元一次方程组

第六章数据的分析

第七章平行线的证明

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八年级下册知识点汇总

第一章等腰三角形

第二章一元一次不等式与不等式组

第三章图形的平移与旋转

第四章因式分解

第五章分式与分式方程

第六章平行四边形

九年级上册知识点汇总

第一章特殊的平行四边形

第二章一元二次方程

第三章概率的进一步认识

第四章相似三角形

第五章视图与投影

第六章反比例函数

九年级下册知识点汇总

第一章直角三角形边的关系

第二章二次函数

弟二早圆

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七年级上册知识点汇总

第一章丰富的图形世界

知识点一：几何体的分类

圆柱：底面是圆，侧面是曲面

［棱柱：底面是多边形，侧面是正方形或长方形

侪/.］圆锥：底面是圆，侧面是曲面

椎体，［棱锥：底面是多边形，侧面是三角形

球体：由球面围成的（球面是曲面）

知识点二：棱柱的相关定义

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱。

侧棱：相邻两个侧面的交线叫做啰棱，所有侧棱长都相等。

棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是长方形。

根据底面图形的边数，人们将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形

的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形……长方体和正方体都是四棱柱。

知识点三：展开与折叠

正方体的展开图有11种，“二二二型”“三三型”，，二三一型”，，一四一型”；

长方体、圆柱、棱柱，圆锥，棱锥的展开图；

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第二章有理数及其运算

知识点一：有理数的分类

’正整数(如:1,2,3…)

整数零(0)

负整数(如:1,2,3…)

有理数4

,正分数(如：；，5.3,3.8-)

分数'负分数(如:-2.3,-4.8-)

知识点二：数轴

1.数轴的定义

画一条水平直线，在直线上取一点0(叫做原点)，选取有一长度作为单位长度，规定直线

上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴。即数轴的三要素：原点、正方向、单位长度(三

者缺一不可)。

2.数轴的特性

(1)任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。(反过来，不能说数轴上所有的点

都表示有理数)

(2)数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0,在原点的右边，负数小于0,

在原点的左边。

----越来越.大--〉

_____________111।।।।A

-3-2-1013

知识点三：绝对值

1.相反数定义及意义

(1)如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个

数互为相反数。特别地，0的相反数是0。

(2)相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点

的距离相等；相反数的代数意义：两个数。与6互为相反数=。+6=0。

(3)相反数的求法：在这个数前面添上负号。

2.绝对值

(1)绝对值的定义：在数轴上，一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。

数a的绝对值记作|a|。

(2)绝对值的性质

①正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；。的绝对值是0。

a(a>0)

a(a>0)

\Cl\<0(<7=0)或\a\<

-a(a<0)

-a(a<0)

第4页

②除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0外）的

绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即lal'O

③比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

知识点四：有理数的加减乘除以及乘方运算

1.有理数加法法则

（1）同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用

较大数的绝对值减去较小数的绝对值；

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

注：加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。

2.有理数的减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

注：有理数减法运算时注意两“变”：①改变运算符号；②改变减数的性质符号（变为相反

数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法

没有交换律。

3.有理数乘法法则

（1）两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘；

（2）任何数与0相乘，积仍为0。

注：乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。

4.如果两个数互为倒数，则它们的乘积为1。（如：-2与1一、3'与5‘…等）

253

5.有理数乘法运算步骤

（1）先确定积的符号；

（2）求出各因数的绝对值的积。

注：①零没有倒数。②求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化

成假分数。③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

6.有理数除法法则

（1）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）0除以任何非0的数都得0。0不可作为除数，否则无意义。

7.有理数的乘方

一般地，几个相同的因数。相乘，记作。"，即

n个a________

'A'_/I-指

axaxax....xci—a<底娄（

幕

这样求几个相同的因数a的积的运算叫做乘方，乘法的结果叫做暴，a叫做底数，〃叫做指

数，a"读作"a的几次幕”（或“a的〃次方）

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注：①一个数可以看作是本身的一次方，如5=51

②当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。

③正数的任何次募都是正数；负数的奇次累是负数，负数的偶次哥是正数；

④1的任何次塞都得1,0的任何次塞都得0；

⑤在运算过程中，首先要确定累的符号，然后再计算募的绝对值。

8.有理数混合运算法则

（1）先算乘方，再算乘除,最后算加减；

（2）如果有括号，先算括号里面的.

9.“24点”游戏：从一幅扑克牌中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张

牌只能用一次），使得运算结果为24.

知识点五：科学计数法

一般地，一个大于10的数可以表示成。X10”的是形式，其中lWa<10,〃是正整数，这

种计数方法叫做科学计数法。

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第三章整式及其加减

知识点一：代数式

1.用运算符号(加、减、乘除、乘方、开方等)把数与表示数的字母连接而成的式子叫做住

寥武。单独的一个数或一个字母也是代数式。

注：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；

②代数式中不含有“=、＞、＜、W”等符号。等式和不等式都不是代数式，但等号和不

等号两边的式子一般都是代数式；

2.代数式的书写格式

(1)代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt；

(2)数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a；但数字与数字相乘，仍用“X”号

(3)带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后与字母相乘，如2-X。应写作

33

4

(4)在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如4+(a-4)应写作——；

(2-4

注意：分数线具有“小”号和括号的双重作用。

(5)代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问

题的意义。在表示和(或)差的代差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再

将单位名称写在式子的后面，如52一/)平方米。

知识点二：整式

1.单项式：数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式,单独的一个数或者一个字母也是单

项式。单项式中的数字中的数字因数叫做代数式的系数。如3x,4y的系数分别为3,4。所

有字母的指数和叫做这个单项式的次数。单项式与多项式统称为整式。

注：只含字母因数的代数式的系数是1或-1,如-ab的系数是-1。a3b的系数是1

2.多项式：几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。一个多

项式中，次数最高项的次数,叫做这个多项式的次数。其中把不含字母的项叫做常数项。

知识点三：整式的加减

1.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。

注：①同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；②几个常数项也是同类项。

2.合并同类项：把代数式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项的法则是把

同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。合并同类项的理论根据是

逆用乘法分配律

3.去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变

符号；括号前面是“一”号去掉，括号里各项都改变符号。

注：①去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；

②去括号时，首先要弄清楚括号前是“+”号还是“一”号；

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第四章基本的平面图形

知识点一：线段、射线、直线

1.正确理解直线、射线、线段的概念以及它们的区别:

名称图形表示方法端点长度

1直线/庾或BA）

直线无端点无法度量

AB直线/

射线0M射线0M1个无法度量

1线段46（或BA）

线段2个可度量长度

AB线段/

2.直线公理:经过两点有且只有一条直线.这一事实可以简述为：两点确定一条直线。

知识点二：比较线段的长短

1.线段公理:两点间所有的连线中，线段最短;我们把两点之间线段的长度叫做这两点之间

的距离.

2.比较线段长短的两种方法：

①圆规截取比较法;②刻度尺度量比较法.

3.点M把线段AB分成相等的两条线段AM,BM,点M叫做线段AB的中点。这时AM=BM=-AB.

2

知识点三：角

1.角的定义：角由两条具有共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这

两条射线叫做角的边.

2.角的表示法：角的符号为

①用三个字母表示，如图1所示/AOB

②用一个字母表示，如图2所示/b

③用一个数字表示，如图3所示/I

④用希腊字母表示，如图4所示NB

3.一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，

所成的角叫做平角。如图6所示：____________、

-平角图6

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4.终边继续旋转，当它又和始边重合时，

所成的角叫做周角。如图7所示：、------------------

一'周角图7

5.1°=60,r=60"（这里涉及到计算题和钟表问题）

6.角平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做

这个角的平分线。

知识点四：多边形和圆的初步认识

1.三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形。当各边相等、各角也相等的多边形叫做

正多边形。连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。

2.平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆，顶点

叫做圆心，定长叫做半径。圆上任意两点A、B间的部分叫做圆弧，简称“弧"。一条弧AB

和经过这条弧的端点的两条半径0A和OB所组成的图形叫做扇形，顶点在圆心的角叫做圆心

角。

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第五章一元一次方程

知识点一：认识一元一次方程

在一个方程中，只含有一个未知数X（元），并且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做

一元一次方程。使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解

知识点二：等式的基本性质

等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

知识点三：求解一元一次方程

1.把原方程中的-2改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项

2.解方程的步骤：解一元一次方程，一般要通过去分母、去括号、移项、合并同类项、未知

数的系数化为1等几个步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式。

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第六章数据的收集与整理

知识点一：普查和抽样调查

普查：为某一特定目的而对所有考察对象进行全面调查叫做普查。普查可以获得总体的情况,

但有时总体中个体数目较多，普查的工作量较大。这时，人们往往从总体中抽取部分个体进

行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。

知识点二：统计图的特点

折线统计图：能够清晰地反映同一事物在不同时期的变化情况。

条形统计图：能够清晰地反映每个项目的具体数目及之间的大小关系。

扇形统计图：能够清晰地表示各部分在总体中所占的百分比及各部分之间的大小关系

知识点三：统计图对统计的作用

(1)可以清晰有效地表达数据。

(2)可以对数据进行分析。

(3)可以获得许多的信息。

(4)可以帮助人们作出合理的决策。

知识点四：总体、个体、样本、样本容量

L总体：所要考察的全体对象叫做总体。

2.个体：组成总体的每一个考察对象叫做个体。

3.样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。

4.样本容量：样本中包含个体的数目叫做样本容量(不带单位)

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七年级下册知识点总结

第一章整式的运算

知识点一：四个法则

1.同底数幕的乘法法则

同底数幕的乘法法则：am・an=a"l+n（m,〃都是正数）

注：①法则使用的前提条件是：塞的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字

式字母，也可以是一个单项或多项式；

②指数是1时，不要误以为没有指数；

③不要将同底数募的乘法与整式的加法相混淆,对乘法，只要底数相同指数就可以相加;

而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；

④当三个或三个以上同底数哥相乘时，法则可推广为。<相.标=。次'+〃（其中m、n、

P均为正数）；

⑤公式还可以逆用：am+n=am+an（m、n均为正整数）。

2.幕的乘方法则

暴的乘方法则：（am）"=a'nn5,〃都是正数）

拓展：（屋）"=（废）"'=产

注：底数有负号时,运算时要注意,底数是a与（-a）时不是同底，但可以利用乘方法则化成同

底，如将（-a）3化成-a，

d（当〃为偶数时），

一般地,（一。=<

（当〃为奇数时）.

3.积的乘方法则

积的乘方法则：（n为正整数）。积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，

再把所得的事相乘。塞的乘方与积乘方法则均可逆向运用。

4.同底数塞的除法法则

（1）同底数累的除法法则：。"'+废=。吩"（aWO,m、n都是正数，且m>n）。同底数累相除，底

数不变,指数相减。

（2）q°=1（。。0）任何非零实数的零次幕是1.

（3）a-。=。0,p是正整数）当。>0时，。-。的值一定是正的；当a<0,。”的

ap

值可能是正的也可能是负的。

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知识点二：整式的乘法

1.单项式与单项式相乘

单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同

它的指数作为积的一个因式。

注：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值。

②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；

③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；

④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；

⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

2.单项式与多项式相乘

单项式乘以多项式，是通过乘法对加法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式

与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

注：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；

③在混合运算时，要注意运算顺序。

3.多项式与多项式相乘

多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的

积相力口O

注：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数

应等于原两个多项式项数的积；

②多项式相乘的结果应注意合并同类项；

③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘

(x+a\x+b)=x2+(a+b)x+ab,其二次项系数为1,一次项系数等于两个因式中常数项

的和，常数项是两个因式中常数项的积。对于一次项系数不为1的两个一次二项式(〃吠+。)和

(nx+b)相乘可以得到(mx+a)(nx+b)=mnx2+(ma+mb)x+ab

知识点三：两个重要公式

1.平方差公式

平方差公式:两数和与这两数差的积,等于它们的平方差,，即(a+b)(a-b)=a2-b2.

例题：(1)(5+6x)(5-6%)；

(3)(cib+—8)；(4)(0.2x+0.3)(0.2x-0.3)；

(5)(an+b\an-b)；(6)(a+l)(a-1)(7+1)

(7)1007x993；(8)108x112

2.完全平方公式

完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2

倍，即(a士=a?±+〃；

拓展：(1)(。+劝、=a，++3。匕~+匕3；(。一=a'—3。-匕+3。6~—匕3；

a'—吩=(。一匕+ab+)；tz3+Z?3=(tz+—ab+匕~)；

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(2)完全平方公式的变形公式

〃+〃=(〃+_2ab=(Q-Z?)2+2ab；

lab=(a+b)2-{cr+Z?2)=(tz2+Z?2)-(tz-Z?)2；

(3)(a+b+c)~=a2+b2+c~+lab+2bc+lac；

例题：(1)(x+3)~—%2；(2)(a+Z?+3)(a+匕-3)；

(3)1972；(4)(X+5)2-(X-2)(X-3)；

知识点四：整式的除法

1.单项式除法单项式

单项式相除，把系数、同底数哥分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，

则连同它的指数作为商的一个因式；

2.多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把

多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还

要特别注意符号。

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第二章相交线与平行线

知识点一：相交与平行

1.两条直线的位置关系

在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。若两条直线只有一个公共点，我们

称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

2.对顶角

直线AB与CD相交于点0,N1与/2有公共顶点0,它们的两边互为反向延长线，具有这种位置

关系的两个角叫做对顶角。对顶角相等。

3.余角与补角

如果两个角的和为90°（或直角），那么这两个角互为余角；

如果两个角的和为180。（或平角），那么这两个角互为补角；

余角或补角的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等。

4.垂直的相关概念

（1）两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一

条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足，通常用符号“J_”表示两条直线互相

垂直。

,平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

常考知识点：＜

直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

（2）过点A作/的垂线，垂足为B,线段AB的长度叫做点A到直线/的距离。

知识点二：平行的判定

1.三线八角

同位角：在截线同旁，被截线相同的一侧的两角。

内错角：在截线两旁，被截线之内的两角

同旁内角：在截线同旁，被截线之内的两角

同位角的边构成“F”形，内错角的边构成"Z“形,

同旁内角的边构成"U“形。

2.平行的判定

（1）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两条直线平行；

简称为：同位角相等，两直线平行；

（2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两条直线平行；

简称为：内错角相等，两直线平行；

（3）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两条直线平行;

简称为：同旁内角互补，两直线平行。

（4）平行于同一条直线的两条直线平行；

若a〃b,b//c,则。〃c；

3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

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知识点三：平行线的性质

(1)两直线平行，同位角相等；

(2)两直线平行，内错角相等；

(3)两直线平行，同旁内角互补。

知识点四：用尺规作角

1.尺规作图是指只用圆规和没有刻度的直尺来作图。

2.己知：NA03

求作：/A'0'B'

作法：(1)作射线。父'；

(2)以点。为圆心，以任意长为半径作弧，交。4于点C,交0B于点D；

(3)以点。'为圆心，以。。长为半径作弧，交0W与点C'；

(4)以点C'为圆心，以CD长为半径作弧，交前面的弧于点。'；

(5)过点。'作射线。/A'。'&就是所求的角。

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第三章变量之间的关系

知识点一：变量、自变量、因变量

1.在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2.如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

自变量与因变量的确定：

（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

3.在变化过程中数值始终不变的量叫做常量。

知识点二：关系式法

1.用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数

式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。

2.关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3.求两个变量之间关系式的途径：

（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关

系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；

（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4.关系式的应用：

（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；

（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因

变量的值）。

知识点三：表格法

1.表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；

（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；

（3）结合实际情境理解它们之间的关系。

2.绘制表格表示两个变量之间关系

（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；

（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；

（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；

（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量

与自变量之间的关系。

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知识点四：图象法

1.图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2.图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3.用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，

用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。

4.图象上的点：

（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值;

（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个

点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因

变量的相应值。

（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5.图象理解

（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；

（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

知识点五：速度图象

1.弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2.准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

知识点六：路程图象

1.弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2.准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；

（2）水平的线：与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（3）下降的线：从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

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第四章三角形

知识点一：认识三角形

1.关于三角形的概念及其按角的分类

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

（1）组成三角形的三条线段要“不在同一直线上”；如果在同一壹装上，三角形就不存在;

（2）三条线段“首尾是顺次相接"，是指三条线段两两之间有一个公共端点，这个公共端

点就是三角形的顶点。

2.三角形内角和定理

定理：三角形内角和等于180°

3.三角形的分类

锐角三角形：三个内角都是锐角

直角三角形：有一个内角是直角，直角三角形的两锐角互余

钝角三角形：有个内角是钝角

4.三角形三条边的关系

三角形任意两边之和大于第三边。

三角形任意两边之差小于第三边。

5.三角形的中线、高线和中线

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的

三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。

（2）在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫

做三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。

（3）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形

的高线，简称三角形的高。三角形的三条高所在的直线交于一点。

注：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线；

②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高；

③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不

同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部，如图1;直角三角形有一条高在

三角形的内部，另两条高恰好是它两条边，如图2；钝角三角形一条高在三角形的内

部，另两条高在三角形的外部，如图3。

④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于

一点。

知识点二：图形的全等

1.能够完全重合的图形称为全等形。全等图形的形状和大小都相同。只是形状相同而大小不

同，或者说只是满足面积相同但形状不同的两个图形都不是全等的图形。

2.全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫

做对应边，互相重合的角叫做对应施

全鼻三鬲形的对应边相等，对应扁相等。

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知识点三：全等的判定

1.三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”

2.有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”

3.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”

4.两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

知识点四：用尺规作三角形

1.已知两个角及其夹边，求作三角形，是利用三角形全等条件“角边角”即（“ASA”）来

作图的。

2.已知两条边及其夹角，求作三角形，是利用三角形全等条件“边角边”即（“SAS”）来

作图的。

3.已知三条边，求作三角形，是利用三角形全等条件“边边边”即（“SSS”）来作图的。

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第五章生活中的轴对称

知识点一：轴对称图形

1.如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做软

对称图形;这条直线叫做对称轴。

2.如第两个平面图形沿一家宣线对折后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条

直线叫做这两个图形的对称轴。

知识点二：轴对称的性质

1.在轴对称图形或者两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线

段相等，对应角相等。

知识点三：简单的轴对称图形

1.等腰三角形

（1）等腰三角形是轴对称图形

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），

它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

（3）等腰三角形的两个底角相等。

2.线段

线段是轴对称图形，垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴。垂直于一条线段，并且平

分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线），线段垂直平分线上的点到

这条线段两个端点的距离相等。

例题1：如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，奶站应建在在什么

地方，才能使A,B到它的距离之和最短？

例题2：利用尺规，做线段AB的垂直平分线

3.角

角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。角平分线上的点到角两边距离相等。

例题：利用尺规，作NAOB的平分线

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八年级上册知识点汇总

第一章勾股定理

知识点一：勾股定理

直角三角形两直角边的平和等于斜边的平方。如果用。，6和C分别表示直角三角形的两直

角边和斜边，那么/+/=。2。

知识点二：勾股定理逆定理

1.如果三角形的三边长a,b,c满足/+〃=°2,那么这个三角形是直角三角形。

2.满足条件/+。2=,2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数组有：(3,4,5)；(5,

12,13)；(8,15,17)；(7,24,25)；(20,21,29)；(9,40,41)；(这些勾股数组

的倍数仍是勾股数)

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第二章实数

知识点一：无理数

，含根号且开不尽方的数

三种形式＜化简后有"

有规律但却不循环的无限小数

知识点二：算术平方根与平方根

1.一般地，如果一个正数x的平方等于。，即尤2=。，那么正数X叫做。的算术平方根。记

作8，读作“根号a”，特别地，0的算术平方根是0,即、历=0

2.一般地，如果一个数x的平方根等于a,即炉=。，那么数x就叫做。的平方根。

正数有两个平方根，一个是。的算术平方根折，另一个是-后，它们互为相反数；。只有

一个平方根，就是它本身；负数没有平方根.

3.两个重要公式：叱与（后）2

a(a>0)

一a(a<0)

知识点三：立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即犬=。，那么这个数x叫做a的立方根。每个数a

都有一个立方根，记作〃\读作“三次根号a"，正数有且只有一个正立方根，负数有且

只有一个负的立方根，0的立方根是0。

知识点四：估算

知识点五：实数

正整数

正有理数

正实数正分数

、正无理数

实数

「负整数

负有理数，、

负实数［负分数

负无理数

在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的意义完全一样。事实上，每

一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即

实数和数轴上的点是一一对应的。（在这里需要掌握用数轴来表示无理数）

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知识点六：二次根式

1.定义

一般地，形如后(4/>0)的式子叫做二次根式，。叫做被开方数

注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须

注意，因为负数没有平方根，所以a20是后为二次根式的前提条件

2.性质

(1)二次根式具有双重非负性，即被开方数a20,二次分式320

(2)(V«y=a.=\a\

(3)4ab=4a-4b(a>0,Z?>0)；=(a>0,Z?>0)

3.最简二次根式

(1)一般地，被开方数中都不含分母，也不含能开的尽方的因数或因式，这样的二次根式,

叫做最简二次根式。(被开方数的因数是整数，分母中不能含有根号)

(2)分母有理化

①有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，则这两个代数式互为

有理化因式；

②分母有理化：将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，化去分母中的分号，成为分母有

理化。

4.二次根式的运算

(1)先把二次根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式合并。

(2)4ab=4a-4b(a>0,Z?>0)；(a>0,Z?>0)

(3)二次根式的混合运算

①二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，

有括号先算括号里的(或者先去掉括号)

②有理数的加法交换律、结合律和乘法交换律、结合律、分配律，以及多项式的乘法公式都

适用于二次根式的运算。

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第三章位置与坐标

知识点一：平面直角坐标系

1.定义：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系，水平的数轴叫

X轴或横轴；铅垂的数轴叫y轴或纵轴，两数轴的交点。称为原点。建立平面直角坐标系,

平面内的点就可以用一组有序实数对来表示。

2.点的坐标：在平面内一点P,过P向x轴、y轴分别作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数

a、6分别叫P点的横坐标和纵坐标，则有序实数对Q,。）叫做P点的坐标。

3.在直角坐标系中，两条坐标轴将坐标平面分成了四部分，右上方的部分叫做第一象限，其

他三部分按逆时针方向依次叫做第二象限，第三象限和第四象限。坐标轴上的点不在任何一

个象限。

4.在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个有序实数对（即点的坐标）与

它对应；反过来，对于任意一个有序实数对，都有平面上唯一的一点与它对应。

知识点二：轴对称与坐标变化

点的位置坐标特征

象限角平分线一、三象限角分线上的点横纵坐标都相等，记为x=y

上的点

二、四象限角分线上的点横纵坐标互为相反数，记为x=-y

平行线上的点平行于X轴的直线上的点纵坐标相同，记为丁二加

平行于y轴的直线上的点横坐标相同，记为x=m

关于X轴对称的点横同纵反，记为（a,-。）

点（。力）

关于y轴对称的点横反纵同，记为（-a,。）

关于原点对称的点横反纵反，记为（-a,-b）

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第四章一次函数

知识点一：函数的概念

1.变量与常量

在一个变化过程中，数值发生变化的量成为变量，数值始终保持不变的量成为常量。

例1.设圆柱的底面半径r不变，圆柱体积V与圆柱的高的关系式是丫="2人，在这个式

子中常量和变量分别是什么？

2.函数的概念

一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y,并且对于变量x的每一个值，变量y都

有唯一的值与它对应，那么我们就称y是x的函数，其中％是自变量

注：函数的三要素：①有两个变量；②一个变量的值随着另一个变量的值得变化而变化；③

在变量每一个确定的值，函数都有一个且只有一个值与之对应。

例2.下列关于变量x和y的关系：①3x—2y=5；②y=|x|；@2x-/=10；其中表示y

是x的函数的是___________________

3.函数中自变量的取值范围

在一个变化过程中，自变量的取值通常有一定的范围，这个范围我们叫它为自变量的取值范

围，确定自变量的取值范围通常要从两个方面考虑：一是使含自变量的代数式有意义；二是

结合实际意义，使函数在实际情况下有意义。

例3.求下列自变量的取值范围：

I1/。________

(1)y=3x+2；(2)y=——；(3)y=—^=；(4)y=」x-3+」5-x

-1Jx+2

4.函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值，如x=a,该函数有唯一确定的对应值，这个对

应值叫做当x=a时的函数值，简称函数值

知识点二：函数的表示方法

1.列表法：用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个自变量之间的函数关系

2.图象法：一般地，对于一个函数，如果把自变量x与函数y的每一对对应值分别作为点的

横坐标与纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点所组成的图形，就是这个函数的图象。

图象的画法：描点法画函数图象的一般步骤

①列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；

②描点：在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格

中数值的对应的各点；

③连线：按照自变量有小到大的顺序，把所描各点用平滑曲线连接起来

注：画函数图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点是，要注意端点是否有等号，有

等号画实心，无等号画空心

3.关系式法：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，是描述函数的常用方

法，这种式子叫做函数的表达式。

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知识点三：正比例函数

1.正比例函数

一般地，形如y=入（左为常数，kWO）的函数，叫做正比例函数，其中左叫做比例系数

2.正比例函数的图象与性质

正比例函数y=kx（k丰b）的图象是经过原点（0，0）的一条直线，我们称它为直线y=kx

3.画正比例函数的图象：由于两点确定一条直线，所以在平面直角坐标系中画正比例函数的

图象时，先描出适合关系式的两点，过这两点画直线即可。

4.一次函数y=日+6与正比例函数y=Ax的图象的关系

一次函数丁=履+6（左。0,6。0）的图象可以由正比例函数y=依（左。0）的图象平

移得到，当人>0时，y=kx（左。0）的图象沿y轴向上平移6个单位得到丁=h+人的

图象；当6<0时，y=kx（左。0）的图象沿y轴向下平移6个单位得到y=日+6的图

象。

5.用待定系数法求函数关系式的步骤

（1）设：根据题意设出函数关系式（'=履+6）；

（2）代：代入已知的两点的坐标，组成方程（组）；

（3）解：解出所列方程（组）的解；

（4）还原：把求得的字母的值代入关系式，从而确定函数关系式；

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知识点四：一次函数

1.一次函数的概念

一般地，形如y=Ax+6(k,6为常数，左W0)的函数，叫做一次函数，正比例函数是

拓展：直线的位置与常数上和6之间的关系

c1)一次函数中左的作用

①阳的大小决定直线的倾斜程度，阳越大，直线越陡，即直线越靠近y轴；闷越小，直线

越缓，即直线越远离y轴；

②左值相等且6值不相等，两直线平行，反之亦然；

③两直线斜率相乘为-1,则两直线垂直；

(2)6决定直线与y轴的交点的位置

①6>0=直线与y轴的交点在y轴正半轴;

②>=0=直线经过原点；

③b<0=直线与y轴的交点在y轴负半轴;

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第五章二元一次方程组

知识点一：二元一次方程

1.含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。识别二元一

次方程要抓住以下三点：①是整式方程(即分母中不含有字母)；⑤含石两个未知数；③含

有未知数的项的次数都是1.

2.一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解。二元

一次方程有无数组解，但是它的正整数、非负正数解有时是有限的。

知识点二：二元一次方程组

1.含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的两个一次方程所组成的方程叫做二

元一次方程组。二元一次方程组必须具备以下三个条件：①由两个整式方程组成，常用大括

号把这两个方程联立在一起；②方程组中含有两个不同的未知数；③方程组中每个方程经过

整理后，都是一次方程。

2.一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解

3.二元一次方程组的解法

(1)代入消元法

把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，在代入另

一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法。

(2)加减消元法

当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，把这个方程的两边分别

相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法。

知识点三：二元一次方程组的应用和与一次函数的综合应用以练题为主

知识点四：三元一次方程组

1.含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1,这样的方程叫做三元一次方程。

2.共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组。

3.三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。

4.解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”一把“三元”化为“二元”一再化为“一元”。

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第六章数据的分析

知识点一：平均数、中位数和众数

L算术平均数：一般地，我们把几个数再，々，--，%的和与〃的比叫做这〃个数的算术

——1

平均数，记作“X”读作“X拔”，即x=—Gi+x,+...+%),平均数反应了一组数据的一

n

般水平和集中趋势，是一组数据的重心，用来衡量一组数据的“一般水平”

拓展：如果一组数据西，九2，•…，%〃的平均数是工，那么数据。七±b,ax2±b,...,

axn±b的平均数是

2.加权平均数：如果在〃个数中，玉出现了力次，声出现了当，...，血出现了力次，

那么这〃个数的平均数可表示为1="/+"于2+…+”力，这样求得的平均数叫做加权平

n

均数，其中力，于2,.一一，力分别叫做王，/，•一，%的权。

3.中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，

则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则称中间两个数据的平

均数为这组数据的平均数，所以一组数据的中位数不一定是这组数据中的数据。中位数的优

点是计算简单，且不受极端值的影响。

4.众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，众数描述一组数据的集

中趋势的量。当一组数据有较多的重复数据是，往往要考察众数，一组数据中的众数不一定

是唯一的。

知识点二：极差、方差与标准差

1.极善：一组数据中最大数据与最小数据的差称为极差。

2.设工是几个数据玉，马，•-，Z的平均值，各数据与它们的平均数上的差的平方的平均

数叫做这〃个数据的方差，用/来表示，即/=L(七-X，+(/-%)一+…+(x〃-xj，方

n

差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动程

度越大，数据越不稳定。而标准差就是方差的算术平方根。

拓展：将一组数据的每一个数都乘同一个数a,所得数据的方差是原数据的方差的/的倍。

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第七章平行线证明

知识点一：定义与命题

1.一般地，对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，称为定义.定义必须是严密的.

一般避免使用含糊不清的术语，例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定义中出现.

2.可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题.一般地，每个命题都有条件和结论两部分

组成，通常有“如果，那么正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

要说明一个命题是假命题，常常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的

结论，这种例子称为