初中数学-勾股定理复习和应用

勾股定理复习

1.勾股定理的内容:

如果直角三角形的两直角边分别是a、b,斜边为c,那么。2+从=02.即直角三角形

中两直角边的平方和等于斜边的平方注：勾——最短的边、股—较长的直角边、

弦——斜边。

2.勾股定理的证明：

（1）方法一：

（2）方法二

（3）方法三：

3：常用勾股数：

3、4、5；6、8、10；5、12、13；7、24、25；8、15、17...

n（n23的奇数），尤二L巴二。可用!?+（尤匚）2=（尤上1）2验证

2222

222

222

n（n24的偶数），--1上+1可用n+(--1)=(—+1)验证

4444

4:熟悉直角三角形的一些性质与基本图形、基本结论:

①直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

②直角三角形的面积:—abe£—ch

22

（3）各三角形三边之比:(由小到大)

C

基础题1.求出下列直角三角形中未知边的长度。

(1)在△ABC中，NC=90°,a=6,b=8,求c.

(2)在AABC中，/C=90",a=12,c=13,求b.

(3)RtAABC中，/C=90",/A=30",c=6,求a,b.

(4)RtAABC中，a=6,b=10,求c.

2.如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”,

他们仅仅少走了m路，却踩伤了花草.

3.如图，有两棵树，一棵高8m,另一棵高2m,两树相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢

飞到另一棵树的树梢，至少要飞m.

4题图

4.我国传统数学重要著作《九章算术》内容十分丰富，全书采用问

题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，

其中每道题有问（题目）、答（答案）、术（解题的步骤，但没有

证明），有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术.

《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问：折者高几何？”

译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子

折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部

3尺远.问：原处还有多高的竹子？（1丈=10尺）

答：原处的竹子还有尺高.

5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：''今有池方

一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”这

个数学问题的意思是说：“有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈=10尺）的

正方形，在水池正中央长有一根芦苇，芦苇露出水面1尺.如果把这根芦苇拉

向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度

各是多少？”设这个水池的深度是x尺，根据题意，可列方程为.

推导图形题型

1.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形

与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13,小

正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,

则（a+b）2的值为（）

A.13B.19C.25D.169

2、如图所示，是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三

角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的边长是13cm,小正方形的边

长为7cm,则每个直角三角形较短的一条直角边的边长是cm.

3.（北京模拟）图甲是我国古代著名的“赵爽弦图"的示意图，它是由

四个全等的直角三角形围成的.在Rt^ABC中，若直角边AC=6,BC=5,

将四个直角三角形中边长为6的直角边向外延长一倍，得到图乙所示的“数

学风车"，则这个风车外围周长（图乙中的实线）是

4.三国时期吴国赵爽创制了“勾股圆方图”（如图）证

明了勾股定理.在这幅“勾股圆方图”中，大正方形

ABCD是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形EFG”组成的.已知

小正方形的边长是2,每个直角三角形的短直角边长是6,则大正

方形A3CO的面积是.

5、如图所示，在一个4X4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD面

积之比是（）

A、3：4B、5：8C、9：16

6.图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形

都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3,则最大

正方形E的面积是

7.如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑

的四个小正方形的面积的和是lOcn?,则其中最大的正方形的边长为cm.

8、如图，是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外

作等腰直角三角形，然后再以直角边为边，分别向外作正方形②和②’......依此类推,

若正方形①的边长为64,则正方形⑦的边长为.

9.如图，直线L上有三个正方形⑦人c,若a,c的面积分别为1和9,

则力的面积为

10.在直线上依次摆着7个正方形（如图），已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1,2,

3,水平放置的4个正方形的面积是Sl，S2，$3，54，则S+S2+S3+S4=.

11.（浙江省丽江市）如图，已知^ABC中，ZABC=90",AB=BC,三角形的顶点在相互

平行的三条直线11，12,13上，且11，12之间的距离为2,

12,b之间的距离为3，则AC的长是（）

A.2肝7B.2后c.4A历D,7

折叠性题型:

1、如图所示，在三角形纸片ABC中NC=90°,ZA=30°,AC=3,折叠该纸片，使点

A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E,折痕DE的长为.

2.有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,将4ABC折叠，使点B

与点A重合，折痕是DE,求CD长。

c

A(B)E

3.如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB=6,BC=8,将直角边48折叠使它落

在斜边AC上，折痕为AD,则80=.

BD

4.如图，将矩形ABCQ沿EF折叠，使点。与点B重合，已知AB=3,AD=9,求BE的

长.

5.如图，折叠矩形的一边AO,使点。落在BC边的点尸处，已知4B=8cm,BC=10cm,

求EC的长.

面积法应用

1.已知RtAABC中，NACB=90",CD为斜边上的高，AC=5,

BC=12,求CD.

2.在△A8C中，若/A+/B=90°,AC=5,BC=3,则AB=,AB边上的高CE

3.在AABC中，若AB=4C=20,BC=24,则8c边上的高AQ=,AC边上的高8£=

4.在△ABC中，若AC=BC,ZACB=90°,AB=IO,则AC=,AB边上的高C£>=

2、已知周长、斜边长求面积

1.直角三角形的周长为12cm,斜边长为5cm,则其面积为（

A、12cmB6cm2C8cm2D10cm

2.已知直角三角形的周长为2+后，斜边为2,则该三角形的面积是（）.

%©5

最短路径

1.一只蚂蚁从长方体的G点出发爬到点A去觅食，如果长方体的长为2,宽为3,高为

2,求蚂蚁爬行的最短路径的长。（最短距离问题）

2.如图，有一个圆柱体，它的高为20,底面半径为5.如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的

A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面B点，则蚂蚁爬的最短路线长约为（兀

取3）

3.（湖北省恩施市）如图3,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,

一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（）

A.5与

4.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm.如果用一根细线从点4开始经

过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个

侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长？

3cm

判断三角形形状

1：已知AABC中，a2+b2+c2=10a+24b+26c-338,试判定△ABC的形状。

2.已知a,b,c为△ABC的三边，且a2c2-b2c2=a4-b4,试判断三角形的形状。

在数轴上表示无理数

1.如图4,在四边形ABCD中，AB=2,CD=1,ZA=60°,ZB=ZD=90°,求四

边形ABCD的面积。

2.某片绿地的形状如图所示，其中ZA=60,AB1BC,ADLCD,AB=200m,CD=100m,

求4）、BC的长（精确到Im,6=1.732）.

3.已知：如图，四边形ABCQ中，ABLBC,AB=l,BC=2,CD=2,AD=3,求四边形

ABC。的面积.

4.已知：如图，在四边形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=1,AQ=8.求这

个四边形的面积.

5.如图，四边形ABC。中，AB=]Q,BC=13,CD=\2,AD=5,ADA.CD,南均|波形ABC。

的面积.

A

BC

c

z>

H

6.对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等

对角四边形”.

(1)己知：如图1,四边形ABCD是''等对角四边形“，ZA/ZC,乙4=70。，ZB=80°.则

NC=度，Ng度.

(2)在探究“等对角四边形”性质时：

小红画了一个“等对角四边形48CD”(如图2),其中NABC=NADC,AB=AD,此时

她发现CB=CD成立.请你证明此结论；

(3)己知：在“等对角四边形A8CQ”中，ZDAB=60°,Z4BC=90°,AB=5,AD=4.求对

角线AC的长.

7.如图，P是等边AA8C中的一个点，E4=2,尸3=2百,PC=4,则的边长是

P

BA

8己知p为正三角形内一点，AP=6,BP=S,CP=10,求证：ZAPB=]50»

9.如图，R/A4BC中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸为8c上的点，且NEAF=45。，求

证：EF2=BE2+FC2.

10在AABC中，ZA=90,AB=AC,D为斜边上任一点，求证：BD2+CD2=2AD2.

11如图，在凸四边形ABCD中，ZABC=30,ZADC=60,AD=OC,证明：80?=4出+8Cz.

A

B

C

12在AA8C中，AD是BC边上的中线，AB=0,AO=疵，AC=5^，求证：ZADB=30.

13如图，在AAfiC中，NACB=90°,AC=BC,p是AABC内的一点，且

PB=1,PC=2,PA=3,求NBPC的度数.

14如图，己知AA8C和AEC。都是等腰直角三角形，乙4cB=NOCE=90。，力为A。边上一

点，求证：AD2+AE2=DE2

15.如图，在AABC中，AB=17,AC=15,BC边上的中线AD=4,求AABC的面积.

•E

28.在△ABC中，NACB=90。，以AB为斜边作等腰直角三角形43。，且点。与点C在直线

AB的两侧，连接CD

(1)如图1,若NABC=30。，则NCA。的度数为.

(2)已知AC=1,BC=3.

①依题意将图2补全；

②求CQ的长；

小聪通过观察、实脸、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求C。长的几

种想法：

想法1:延长CB,在CB延长线上截取BE=AC,连接OE.要求C£＞的长，需证明

AACD^ABED,△COE为等腰直角三角形.

想法2:过点。作Oa_L2C于点