2024秋高中数学第六章导数及其应用6.2利用导数研究函数的性质6.2.1导数与函数的单调性课后习题新人教B版选择性必修第三册

PAGEPAGE16.2利用导数探讨函数的性质6.2.1导数与函数的单调性必备学问基础练1.设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图所示,则y=f(x)的图象可能是()2.已知函数f(x)=lgx-12x,f(m)=1,且0<p<m<n,则()A.f(n)<1且f(p)>1 B.f(n)>1且f(p)>1C.f(n)>1且f(p)<1 D.f(n)<1且f(p)<13.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-3)∪[3,+∞)B.[-3,C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,4.若函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,则实数a的取值范围是.

5.函数f(x)=x2e-x在区间(-∞,0)上的单调性为.

6.已知函数f(x)=x3+ax在R上单调递增,则实数a的取值范围是.

7.(2024河南驻马店高二期中)已知函数f(x)=ex-ax+a,a为常数.(1)探讨函数f(x)的单调性;(2)若对于随意实数x≥0,有f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围.关键实力提升练8.设函数f'(x)是奇函数f(x)的导函数,f(-1)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)9.(多选题)已知f(x)是可导的函数,且f'(x)<f(x)对于x∈R恒成立,则下列不等关系正确的是()A.f(1)<ef(0),f(2022)<e2022f(0)B.f(1)>ef(0),f(1)>e2f(-1)C.f(1)<ef(0),f(1)<e2f(-1)D.f(1)>ef(0),f(2022)>e2022f(0)10.若函数f(x)=x2-ax+lnx在区间(1,e)上单调递增,则a的取值范围是()A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.[3,e2+1] D.[e2+1,3]11.(多选题)已知定义在0,π2上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函数,且恒有cosxf'(x)+sinxf(x)<A.fπ6B.3fπC.fπ6D.212.若函数f(x)=x3+bx2+cx+d的单调递减区间为(-1,3),则b+c=.

13.已知f(x)=-12x2+bln(x+2)在(-1,+∞)上单调递减,则实数b的取值范围是14.已知函数y=f(x)的定义域为-32,3,且y=f(x)的图象如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f'(x),则不等式x·f'(x)15.已知函数f(x)=(ax2+x-1)ex,其中e是自然对数的底数,a∈R.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a=-1,求f(x)的单调区间.16.(1)已知函数f(x)=axekx-1,g(x)=lnx+kx.当a=1时,若f(x)在(1,+∞)上为减函数,g(x)在(0,1)上为增函数,求实数k的值.(2)已知函数f(x)=x+ax-2lnx,a∈R,探讨函数f(x)的单调区间学科素养创新练17.已知函数f(x)=ax2ex-1(a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)已知a>0且x∈[1,+∞),若函数f(x)没有零点,求实数a的取值范围.

参考答案6.2利用导数探讨函数的性质6.2.1导数与函数的单调性1.D依据导函数图象,y=f(x)的单调递增区间为(-3,-1),(0,1),单调递减区间为(-1,0),(1,3),视察选项可得D符合,故选D.2.C∵f'(x)=1xln10-12x·ln12=1xln10+12xln2,∴当x>0时,f'(x)>0,函数f∵0<p<m<n,且f(m)=1,∴f(p)<f(m)=1<f(n).故选C.3.Bf'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,且不恒为0,则Δ=4a2-12≤0,解得-3≤a≤3.4.-∞,32f(x)=(-x2+ax)ex,则f'(x)=ex(-x2+ax-2x+a),函数f(x)=(-x2+ax)ex在区间(-1,1)上存在单调递减区间,只需-x2+ax+a-2x≤0在区间(-1,1)上有解,记g(x)=-x2+(a-2)x+a,其图象的对称轴为直线x=a-22g(-1)=-1-(a-2)+a=1>0,只需g(1)<0,所以-1+a-2+a<0,解得a<32故答案为-∞,32.5.单调递减依题意,f(x)=x2ex,所以f'(x)=2x-x26.[0,+∞)由题意,得f'(x)=3x2+a≥0在R上恒成立,即a≥-3x2恒成立,故a≥0,所以a的取值范围是[0,+∞).7.解(1)因为f(x)的定义域为R,f'(x)=ex-a,当a≤0时,f'(x)>0,则f(x)在R上单调递增;当a>0时,由f'(x)=0,解得x=lna,当x∈(-∞,lna)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈(lna,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上知,当a≤0时,f(x)在R上单调递增,当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,lna),单调递增区间为(lna,+∞).(2)对于随意实数x≥0,有f(x)≥a恒成立,等价于ex≥ax,x∈[0,+∞)恒成立.①当x=0时,e≥0·a恒成立,∴a∈R;②当x>0时,原不等式等价于a≤exx恒成立,设h(x)=exx(x>0),则只需a≤h(∵h'(x)=ex(x-1)x2,当0<x<1时,h'(x)当x>1时,h'(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)的最小值为h(1)=e,∴a≤e.综合①②,知实数a的取值范围为{a|a≤e}.8.B令g(x)=f(x)x,则g'(x因为当x>0时,xf'(x)-f(x)<0,则g'(x)<0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递减.又因为函数f(x)是奇函数,所以g(x)在(-∞,0)上单调递减.又f(-1)=0,则f(1)=0,所以f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).故选B.9.AC构造函数g(x)=f(所以g'(x)=f'(因为f'(x)<f(x)在R上恒成立,所以g'(x)<0,所以g(x)是R上的减函数,所以g(1)<g(0),g(2024)<g(0),g(1)<g(-1),即f(1)<ef(0),f(2024)<e2024f(0),f(1)<e2f(-1),故选AC.10.B依题意f'(x)=2x-a+1x≥0在区间(1,e)上恒成立即a≤2x+1x在区间(1,e)上恒成立令g(x)=2x+1x(1<x<g'(x)=2-1x2g(x)在(1,e)上单调递增,g(1)=3,所以a≤3.所以a的取值范围是(-∞,3].故选B.11.CD设g(x)=f(x)cosx,则g'(因为x∈0,π2时,cosxf'(x)+sinxf(x)<0,所以x∈0,π2时,g'(因此g(x)在0,π所以gπ6>gπ3,gπ6即fπ即fπ6即2f故选CD.12.-12由题意f'(x)=3x2+2bx+c,所以3x2+2bx+c=0的两根为-1和3,所以-所以b=-3,c=-9,b+c=-12.13.(-∞,-1]由题意,可知f'(x)=-x+bx+2≤0在x∈(-1,+∞)即b≤x(x+2)在x∈(-1,+∞)上恒成立,令f(x)=x(x+2)=x2+2x,x∈(-1,+∞),∴f(x)>-1,∴要使b≤x(x+2),则b≤-1,故实数b的取值范围为(-∞,-1].14.-32,-12∪(0,1)当x<0时,y=f(x)在-32,-12上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在-12,0上单调递减,因此f'(x当x>0时,y=f(x)在(0,1)上单调递减,因此f'(x)<0,故x·f'(x)<0成立;y=f(x)在(1,3)上单调递增,因此f'(x)>0,故x·f'(x)<0不成立,所以x·f'(x)<0的解集是-32,-12∪(0,1).15.解f'(x)=(ax+2a+1)xex.(1)若a=1,则f'(x)=(x+3)xex,f(x)=(x2+x-1)ex,所以f'(1)=4e,f(1)=e.所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=4e(x-1),即4ex-y-3e=0.(2)若a=-1,则f'(x)=-(x+1)xex.令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=0.当x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0;当x∈(-1,0)时,f'(x)>0;当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0;所以f(x)的单调递增区间为[-1,0],单调递减区间为(-∞,-1]和[0,+∞).16.解(1)当a=1时,f(x)=xekx-1,∴f'(x)=(kx+1)ekx,g'(x)=1x∵f(x)在(1,+∞)上单调递减,则对于随意x>1,f'(x)≤0⇔k≤-1x∴k≤-1.∵g(x)在(0,1)上单调递增,则对于随意x∈(0,1),g'(x)≥0⇔k≥-1x,∴k≥-1综上所述,k=-1.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),∴f'(x)=1-ax①当Δ=4+4a≤0,即a≤-1时,得x2-2x-a≥0,则f'(x)≥0.∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.②当Δ=4+4a>0,即a>-1时,令f'(x)=0,得x2-2x-a=0,解得x1=1-1+a,x2=1+1+a>(ⅰ)若-1<a<0,则x1=1-1+a>∵x∈(0,+∞),∴f(x)在(0,1-1+a),(1+1+a,+∞)在(1-1+a,1+1+a)(ⅱ)若a≥0,则x1≤0,当x∈(0,1+1+a)时,f'(x)<0,当x∈(1+1+a,+∞)时,f'(x)∴函数f(x)在区间(0,1+1+a)上单调递减在区间(1+1+a,+∞)上单调递增17.解(1)f'(x)=2axex+ax2ex=axex(2+x),令f'(x)=0,则x=0或x=-2.①若a>0,当x<-2时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当-2<x<0时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x>0时,f'(x)>0,f(x)单调递增.②若a<0,当x<-2时,f'(x)<0,f(x)单调递