八年级数学 实数 北师大版

初二数学实数北师大版

【本讲教育信息】

一、教学内容：

实数

1、实数的意义及分类，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义

2、实数与数轴

4、实数的四则运算

二、教学目标

1、了解实数的意义，能对实数按要求进行分类。

2、了解实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义。

3、了解数轴上的点与实数一一对应，能用数轴上的点来表示无理数。

4、用类比的方法，引入实数的运算法则、运算律，并能用这些法则、运算律在实数范围

内正确计算.

5、正确运用公式

4a-y/b=yla-b(a>0,b>0);*区心。力>6.

6、能利用化简对实数进行简单的四则运算.

三、知识要点分析

1、实数的意义、分类及相反数、倒数、绝对值的意义

(这是重点)有理数与无理数统称为实数。实数的分类:

正有理数

①相反数：实数的相反数与有理数的相反数的意义一样。如果a表示一个正实数，一a

表示一个负实数。a与一a互为相反数，也就是说，a与一a可以表示任意一对互为相反数的

数。如果a,b互为相反数，则2=-b。另外规定：0的相反数是0。

②绝对值：实数的绝对值意义也和有理数一样：一个正实数的绝对值是它本身；一个负

实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0,即

a(a>0)

14o(。=°)

-a(a<Q)

互为相反数的两个数的绝对值相等。

③倒数：如果a表示一个非零数，那么a与上互为倒数。如果a与b互为倒数，则ab=1.0

<a

没有倒数。

2、实数与数轴

任何一个有理数，在数轴上都有唯一确定的点与之对应，但是，数轴上的点并不都表示

有理数，无理数也可用数轴上的点来表示。由此可见，数轴上表示有理数的点是不连续的，

而无理数、有理数合在一起，才能填满整个数轴，所以数轴上的点和实数成一一对应，即每

一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来，数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。

有理数的大小比较在实数范围内仍成立。即

在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

正数大于0,0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的数反而小。

3、实数的运算

(这是难点)在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数

的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数混合运算的运算顺序按照从左到右顺序进

行，有括号先算括号里的。

在实数运算中，当遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确

度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。

在进行计算时，注意以下两个公式的应用：

4a-4b=^a-b(a>0,b>0);=^^(a>0,b>0).

【典型例题】

考点一：实数的意义、分类及相反数、倒数、绝对值

例1.把下列各数填入相应的集合内：

—7.3,V2,~•.—,—,V27,0.99,—,-0.31

V382

(1)有理数集合：{…};

(2)无理数集合：{…};

(3)正实数集合：{…};

(4)负实数集合：{…}.

【思路分析】本题是根据实数、有理数、无理数的意义进行分类，特别注意不要只看形

式，不看实质.像本题的师，虽然带着根号，但它是个有理数.因此带根号的数不一定都是

无理数，只有开方开不尽的数才是无理数.

O------••

解：(1)有理数集合：｛—7.3,-,V27,0.99,-0.31…｝;

O

(2)无理数集合：｛近,

V32

(3)正实数集合:｛叵,V27,0.99,£…｝;

82

(4)负实数集合：｛—7.3,—J1-0.31-｝.

方法与规律：掌握实数的分类是解决本题的关键.

例2.求1-n的相反数、倒数和绝对值.

【思路分析】实数的相反数、倒数和绝对值与有理数的同名概念含义一样.或者说，虽

然数的范围扩大了，但这些概念的含义在更大的范围里得到了“默认”.

解：1一冗的相反数是一(1—n)=n—1；

1—n的倒数是一1一;1一口的绝对值是|1一口|="一1.

\-7t

过程与方法：直接利用有理数的相关概念即可.

考点二：实数与数轴

例3.如图：数轴上点A表示的数为x,则x的相反数是()

【思路分析】根据数轴可以判断点A所表示的数是-石，-指的相反数是

答案：A

友情提示：本题主要运用了数形结合的数学思想。

考点三：实数的运算

例4.化简

(1)x(29历(3)V2(V2+8)

VN3

(4)(1+75)(V5-2)(:5)(百一三)2

：/^7(。20力20)；第=聆(。20步〉0)这两个公式解

【思路分析】利用•、历=

题。

解:⑴布义白=15xg

•="=1;

,、V21xV7V21X7=肉=内=7；

6一△

(3)V2(V2+8)=(V2)2+8V2=2+8A/2；

(4)(1+V5)(75-2)=75-2+(75)2-2V5=V5-2+5-2石=3-石;

⑸(V3-=(扬2-2x6x3=3-2+泻

V3

友情提示：实数的运算过程中，也可以利用类似于多项式相乘、完全平方公式、平方差

公式进行计算。

例5.化简：(1)2V12+V48;(2)j1+V50-732；(3)3同一病一

【思路分析】1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.

2.一般情况下应用法则

4a_[a

4a-y[h=y[a^b(。20,(g0,fe>0)

或法则的逆运算的总结.

解：

(1)2V12+=273^4+V16^3=2xV3xV4+V16xV3=473+4V3=8V3

(2).^+V50-V32=^-+A/25X2-716X2=—+5>/2-4V2=-V2

V9V933

(3)3V20-V45-.P-=3xV4xV5-V9^5-A^=675-375--=—V5

V5\2555

方法与规律总结：化简的实质就是两公式的应用，化简的结果中不能含有分母和开得尽

的因数。

考点四：拓展应用

例6.根据下面提供的等式：

(V2+l)(V2-l)=l,/+行斯-0)=1,(V4+V3)(V4-V3)=l,-

请你猜想：

-J—+.厂I+・厂+•­•+~尸的结果，并证明你猜想的结果。

V2+1V3+V2VJ4+V3y/n+1+y/n

【思路分析】利用分数的基本性质与平方差公式，可以把分母都变成1,这样便可以进

行计算。

解:

5/2+15/3+5/2A/4+*x/3J=+1+

V2—1V3—V2V4-V3+1—y[~n

=--------+------------+------------+・•・+----------------

—A/2-1+V3-V2+V4-V3+…++1-

—J”+1—1

友情提示：本题我们利用平方差公式，把分母直接变成了有理数。对于实数的运算，当

分母中含有有理数和无理数时，不妨采用这种方法把分母变成有理数。

【本讲涉及的数学思想和方法】

本讲主要讲了实数的意义及分类，在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义，实数

与数轴'两个公式：…O）与1（a>0,/?>0）,以及实数的四

则运算。在学习实数与数轴时，运用了数形结合的数学思想。同时，在学习本讲内容时，我

们是对比有理数的相关运算及性质来进行的，故也采用了类比的数学思想。

预习导学案

（平移）

（一）预习前知

1、什么是平移？决定平移的两个条件是什么？

2、平移具有哪些性质？

3、如何画平移图形？

（二）预习导学

探究与反思

探究任务1：平移的性质

1、平移不改变图形的形状和大小。

【反思】（1）经过平移，对应点所连的线段;

（2）经过平移，对应线段;对应角.

探究任务2：画平移图形

2、根据平移的性质画平移图形

【反思】平移作图的一般步骤是：

（1）找出表示图形的;

（2）将原图形的关键点与其移动后的位置点连结起来；

（3）过其他关键点分别作线段，使得它们与确定线段,再连结这些关键点的对

应点，所得的图形就是原来图形平移后的图形.

（三）牛刀小试

1.一个图形经过平移变换后，有以下几种说法，其中不适当的说法是（）

A.平移后，图形的形状和大小都不改变

B.平移后的图形与原图形的对应线段、对应角都相等

C.平移后的图形形状不变，但大小可以改变

D.利用基本图形的平移可以设计美丽的图案.

2.将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是（）

A.3cmB.23cmC.20cmD.17cm.

3.如下图图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是（）

0"

亦©0000

A

4.将图形A向右平移3个单位得到图形B,再将图形B向左平移5个单位得到图形C.

如果直接将图形A平移到图形C,则平移的方向和距离是（）

A.向右2个单位B.向右8个单位

C.向左8个单位D.向左2个单位.

5.下列运动属于平移的是（）

A,冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡

B.急刹车时汽车在地面上的滑动

C.投篮时的篮球运动

D.随风飘动的树叶在空中的运动.

【模拟试题】（答题时间：60分钟，满分100分）

一、选择题（每小题4分，共40分）

1.下列说法中正确的是（）

A.和数轴上一一对应的数是有理数

B.数轴上的点可以表示所有的实数

C.带根号的数都是无理数

D.不带根号的数都是无理数

2.在实数中，有（）

A.最大的数B.最小的数

C.绝对值最大的数D.绝对值最小的数

3.下列各式中，计算正确的是（

A.V2+V3=B.2+72=2-72

D,运电L4+E=2+3=5

C.aVx—bVx=（a—b）y/x

2

*4.下列命题中，错误的一个是（

A.如果a、b互为相反数，那么a+1和b-l仍是互为相反数;

B.不论x是什么实数，/-2%+/的值总是大于0；

C.n是自然数，，〃2+1一定是一个无理数;

D.如果&是一个无理数，那么a是非完全平方数.

*5.下列计算正确的是()

A.2A/5x3V5=6^/5B.2V5X3A/5=5A/5

C.2A/5X3V5=5V10D.2V5X3A/5=30

6.如果Jx(x-6)=Vx-Jx-6成立,贝|J()

A.x26B.x20C.0WxW6D.x为任意实数

*7.下列运算正确的是()

A.V7+V5=V12B.5+V2=5A/2

*8.下列算式中正确的是()

A.m-y/S—n-\/5=m—n-\/5

B.5y[x+3y[y=Sy[xy

C.14a+3&=10

D

-舟柠=2有

9.i后2=』姿成立的条件是

)

VXVX

九一2

A.---->0B.xWOC.x，2D.x>0

x

*10.计算3X9+6的结果是

()

A.3B.9C.1D.373

二、填空题(每题3分，共24分)

____/72

11,在实数3.14,-70.36,--,0.13241324…，我，一!■中，无理数的个数

63

是.

12.一痛的相反数是,绝对值等于.

*13.等腰三角形的两条边长分别为2后和5J5,那么这个三角形的周长等于.

14.yfl2_36=.

15.我的倒数是_____.

*16.计算：；J为+6秒一22后的结果是.

*17.设正方形的边长为a,面积为S。

(1)如果S=50cm2,贝!]a=cm。

(2)如果S=242cmL则a=cm。

*18.设直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边是c。

(1)如果a=6,b=9,则c=o

(2)如果c=15,b=10,则a=o

三、解答题(共38分)

19.(本题6分)在数轴上作出一正对应的点。

*20.(本题8分)己知三角形的三边a、b、c的长分别为J芯cm、V80cm>Jl25cm,

求这个三角形的周长和面积.

*21.(本题12分)化简：

(1)5V2+V8-7V18

(2)V12+旧-专

(3)(1+V2)2

**22.(本题10分)观察下列各式及验证过程:

(1)按照上述四个等式及其验证过程的基本思路,的变形结果并进行

验证；

(2)针对上述各式反映的规律，写出用〃(〃22为整数)表示的等式，并进行验证。

【试题答案】

1.B【思路分析】每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来数轴上的每一个点都表

示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。

2.D【思路分析】根据绝对值的意义可知，任何一个数的绝对值都是非负数，所以最小是

0,因此选D。

3.C【思路分析】A选项，两个无理数被开方数不相同，不能相加;B选项，有理数和无理

数不能相加;D选项，无理数和有理数不能直接相除.本题答案是C.

4.C【思路分析】A选项，由a、b互为相反数知a+b=0,知a+1+b—l=a+b=0,故a+1

和b—1互为相反数;B选项，可举不同的有理数进行验证;C选项，当n=0时，是

有理数.本题答案是C.

5.D【思路分析】两无理数相乘，让有理数部分、无理数部分分别相乘，故

V5X3A/5=(2X3)X(V5XV5)=6X5=30«

x>0__

6.A【思路分析】使式子成立，必有!解得x26.

x-6>0

7.D【思路分析】-TU--V3—^1--1T3=-V3--A/3=0.

V279V27xV3999

8.C【思路分析】两个无理数，如果化简后被开方数不相同，则不能相加；当两个无理数

被开方数相同时，有理部分相加，无理部分不变，故本题答案是D。

9.C【思路分析】保证被开方数是非负数的情况下，还要保证分母不为零。

10.1【思路分析】3X—尸4-^3=3X―产x--=—1.

V3V3V3

11.3【思路分析】无理数分别是一如，血，一〃，共三个。

6

12.V6,V6【思路分析】求无理数的相反数、绝对值与有理数相同。

13.10及+2g【思路分析】分两种情况：一、若2g为腰，则三边长分别是2JL2Q,

50,此时2g+2石=46<50,故此种情况不成立;二、若5血为腰，则三边长分别

为5VL5>/2,2V3,此时三角形的周长为5血+5返+26=]0拒+2括.

14.-V3【思路分析】7i2-3V3=V4^3-3V3=2V3-3V3=-V3.,

15.—【思路分析】正的倒数是1==乙且=也。

2V2V2x22

16.2Vn【思路分析】,顾TH+9“1—2Z」一=JH+3JH—2jn=2jn0

32Vllxll

17.5V2,11V2【思路分析】边长a是面积的算术平方根，当S=50时，

a=450=V25X2=572；当S