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文档简介
初二数学实数北师大版
【本讲教育信息】
一、教学内容:
实数
1、实数的意义及分类,在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义
2、实数与数轴
4、实数的四则运算
二、教学目标
1、了解实数的意义,能对实数按要求进行分类。
2、了解实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义。
3、了解数轴上的点与实数一一对应,能用数轴上的点来表示无理数。
4、用类比的方法,引入实数的运算法则、运算律,并能用这些法则、运算律在实数范围
内正确计算.
5、正确运用公式
4a-y/b=yla-b(a>0,b>0);*区心。力>6.
6、能利用化简对实数进行简单的四则运算.
三、知识要点分析
1、实数的意义、分类及相反数、倒数、绝对值的意义
(这是重点)有理数与无理数统称为实数。实数的分类:
正有理数
①相反数:实数的相反数与有理数的相反数的意义一样。如果a表示一个正实数,一a
表示一个负实数。a与一a互为相反数,也就是说,a与一a可以表示任意一对互为相反数的
数。如果a,b互为相反数,则2=-b。另外规定:0的相反数是0。
②绝对值:实数的绝对值意义也和有理数一样:一个正实数的绝对值是它本身;一个负
实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0,即
a(a>0)
14o(。=°)
-a(a<Q)
互为相反数的两个数的绝对值相等。
③倒数:如果a表示一个非零数,那么a与上互为倒数。如果a与b互为倒数,则ab=1.0
<a
没有倒数。
2、实数与数轴
任何一个有理数,在数轴上都有唯一确定的点与之对应,但是,数轴上的点并不都表示
有理数,无理数也可用数轴上的点来表示。由此可见,数轴上表示有理数的点是不连续的,
而无理数、有理数合在一起,才能填满整个数轴,所以数轴上的点和实数成一一对应,即每
一个实数都可以用数轴上的一个点表示;反过来,数轴上的每一个点都可以用一个实数表示。
有理数的大小比较在实数范围内仍成立。即
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。
正数大于0,0大于负数,正数大于一切负数,两个负数比较,绝对值大的数反而小。
3、实数的运算
(这是难点)在实数范围内,可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算,而且有理数
的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。实数混合运算的运算顺序按照从左到右顺序进
行,有括号先算括号里的。
在实数运算中,当遇到无理数,并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确
度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算。
在进行计算时,注意以下两个公式的应用:
4a-4b=^a-b(a>0,b>0);=^^(a>0,b>0).
【典型例题】
考点一:实数的意义、分类及相反数、倒数、绝对值
例1.把下列各数填入相应的集合内:
—7.3,V2,~•.—,—,V27,0.99,—,-0.31
V382
(1)有理数集合:{…};
(2)无理数集合:{…};
(3)正实数集合:{…};
(4)负实数集合:{…}.
【思路分析】本题是根据实数、有理数、无理数的意义进行分类,特别注意不要只看形
式,不看实质.像本题的师,虽然带着根号,但它是个有理数.因此带根号的数不一定都是
无理数,只有开方开不尽的数才是无理数.
O------••
解:(1)有理数集合:{—7.3,-,V27,0.99,-0.31…};
O
(2)无理数集合:{近,
V32
(3)正实数集合:{叵,V27,0.99,£…};
82
(4)负实数集合:{—7.3,—J1-0.31-}.
方法与规律:掌握实数的分类是解决本题的关键.
例2.求1-n的相反数、倒数和绝对值.
【思路分析】实数的相反数、倒数和绝对值与有理数的同名概念含义一样.或者说,虽
然数的范围扩大了,但这些概念的含义在更大的范围里得到了“默认”.
解:1一冗的相反数是一(1—n)=n—1;
1—n的倒数是一1一;1一口的绝对值是|1一口|="一1.
\-7t
过程与方法:直接利用有理数的相关概念即可.
考点二:实数与数轴
例3.如图:数轴上点A表示的数为x,则x的相反数是()
【思路分析】根据数轴可以判断点A所表示的数是-石,-指的相反数是
答案:A
友情提示:本题主要运用了数形结合的数学思想。
考点三:实数的运算
例4.化简
(1)x(29历(3)V2(V2+8)
VN3
(4)(1+75)(V5-2)(:5)(百一三)2
:/^7(。20力20);第=聆(。20步〉0)这两个公式解
【思路分析】利用•、历=
题。
解:⑴布义白=15xg
•="=1;
,、V21xV7V21X7=肉=内=7;
6一△
(3)V2(V2+8)=(V2)2+8V2=2+8A/2;
(4)(1+V5)(75-2)=75-2+(75)2-2V5=V5-2+5-2石=3-石;
⑸(V3-=(扬2-2x6x3=3-2+泻
V3
友情提示:实数的运算过程中,也可以利用类似于多项式相乘、完全平方公式、平方差
公式进行计算。
例5.化简:(1)2V12+V48;(2)j1+V50-732;(3)3同一病一
【思路分析】1.若被开方数中含有分母或者含有能开得尽的因数的式子的化简.
2.一般情况下应用法则
4a_[a
4a-y[h=y[a^b(。20,(g0,fe>0)
或法则的逆运算的总结.
解:
(1)2V12+=273^4+V16^3=2xV3xV4+V16xV3=473+4V3=8V3
(2).^+V50-V32=^-+A/25X2-716X2=—+5>/2-4V2=-V2
V9V933
(3)3V20-V45-.P-=3xV4xV5-V9^5-A^=675-375--=—V5
V5\2555
方法与规律总结:化简的实质就是两公式的应用,化简的结果中不能含有分母和开得尽
的因数。
考点四:拓展应用
例6.根据下面提供的等式:
(V2+l)(V2-l)=l,/+行斯-0)=1,(V4+V3)(V4-V3)=l,-
请你猜想:
-J—+.厂I+・厂+••+~尸的结果,并证明你猜想的结果。
V2+1V3+V2VJ4+V3y/n+1+y/n
【思路分析】利用分数的基本性质与平方差公式,可以把分母都变成1,这样便可以进
行计算。
解:
5/2+15/3+5/2A/4+*x/3J=+1+
V2—1V3—V2V4-V3+1—y[~n
=--------+------------+------------+・•・+----------------
—A/2-1+V3-V2+V4-V3+…++1-
—J”+1—1
友情提示:本题我们利用平方差公式,把分母直接变成了有理数。对于实数的运算,当
分母中含有有理数和无理数时,不妨采用这种方法把分母变成有理数。
【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲了实数的意义及分类,在实数范围内,相反数、倒数、绝对值的意义,实数
与数轴'两个公式:…O)与1(a>0,/?>0),以及实数的四
则运算。在学习实数与数轴时,运用了数形结合的数学思想。同时,在学习本讲内容时,我
们是对比有理数的相关运算及性质来进行的,故也采用了类比的数学思想。
预习导学案
(平移)
(一)预习前知
1、什么是平移?决定平移的两个条件是什么?
2、平移具有哪些性质?
3、如何画平移图形?
(二)预习导学
探究与反思
探究任务1:平移的性质
1、平移不改变图形的形状和大小。
【反思】(1)经过平移,对应点所连的线段;
(2)经过平移,对应线段;对应角.
探究任务2:画平移图形
2、根据平移的性质画平移图形
【反思】平移作图的一般步骤是:
(1)找出表示图形的;
(2)将原图形的关键点与其移动后的位置点连结起来;
(3)过其他关键点分别作线段,使得它们与确定线段,再连结这些关键点的对
应点,所得的图形就是原来图形平移后的图形.
(三)牛刀小试
1.一个图形经过平移变换后,有以下几种说法,其中不适当的说法是()
A.平移后,图形的形状和大小都不改变
B.平移后的图形与原图形的对应线段、对应角都相等
C.平移后的图形形状不变,但大小可以改变
D.利用基本图形的平移可以设计美丽的图案.
2.将长度为3cm的线段向上平移20cm,所得线段的长度是()
A.3cmB.23cmC.20cmD.17cm.
3.如下图图案中可以看作由图案自身的一部分经过平移后而得到的是()
0"
亦©0000
A
4.将图形A向右平移3个单位得到图形B,再将图形B向左平移5个单位得到图形C.
如果直接将图形A平移到图形C,则平移的方向和距离是()
A.向右2个单位B.向右8个单位
C.向左8个单位D.向左2个单位.
5.下列运动属于平移的是()
A,冷水加热过程中小气泡上升成为大气泡
B.急刹车时汽车在地面上的滑动
C.投篮时的篮球运动
D.随风飘动的树叶在空中的运动.
【模拟试题】(答题时间:60分钟,满分100分)
一、选择题(每小题4分,共40分)
1.下列说法中正确的是()
A.和数轴上一一对应的数是有理数
B.数轴上的点可以表示所有的实数
C.带根号的数都是无理数
D.不带根号的数都是无理数
2.在实数中,有()
A.最大的数B.最小的数
C.绝对值最大的数D.绝对值最小的数
3.下列各式中,计算正确的是(
A.V2+V3=B.2+72=2-72
D,运电L4+E=2+3=5
C.aVx—bVx=(a—b)y/x
2
*4.下列命题中,错误的一个是(
A.如果a、b互为相反数,那么a+1和b-l仍是互为相反数;
B.不论x是什么实数,/-2%+/的值总是大于0;
C.n是自然数,,〃2+1一定是一个无理数;
D.如果&是一个无理数,那么a是非完全平方数.
*5.下列计算正确的是()
A.2A/5x3V5=6^/5B.2V5X3A/5=5A/5
C.2A/5X3V5=5V10D.2V5X3A/5=30
6.如果Jx(x-6)=Vx-Jx-6成立,贝|J()
A.x26B.x20C.0WxW6D.x为任意实数
*7.下列运算正确的是()
A.V7+V5=V12B.5+V2=5A/2
*8.下列算式中正确的是()
A.m-y/S—n-\/5=m—n-\/5
B.5y[x+3y[y=Sy[xy
C.14a+3&=10
D
-舟柠=2有
9.i后2=』姿成立的条件是
)
VXVX
九一2
A.---->0B.xWOC.x,2D.x>0
x
*10.计算3X9+6的结果是
()
A.3B.9C.1D.373
二、填空题(每题3分,共24分)
____/72
11,在实数3.14,-70.36,--,0.13241324…,我,一!■中,无理数的个数
63
是.
12.一痛的相反数是,绝对值等于.
*13.等腰三角形的两条边长分别为2后和5J5,那么这个三角形的周长等于.
14.yfl2_36=.
15.我的倒数是_____.
*16.计算:;J为+6秒一22后的结果是.
*17.设正方形的边长为a,面积为S。
(1)如果S=50cm2,贝!]a=cm。
(2)如果S=242cmL则a=cm。
*18.设直角三角形的两条直角边分别为a、b,斜边是c。
(1)如果a=6,b=9,则c=o
(2)如果c=15,b=10,则a=o
三、解答题(共38分)
19.(本题6分)在数轴上作出一正对应的点。
*20.(本题8分)己知三角形的三边a、b、c的长分别为J芯cm、V80cm>Jl25cm,
求这个三角形的周长和面积.
*21.(本题12分)化简:
(1)5V2+V8-7V18
(2)V12+旧-专
(3)(1+V2)2
**22.(本题10分)观察下列各式及验证过程:
(1)按照上述四个等式及其验证过程的基本思路,的变形结果并进行
验证;
(2)针对上述各式反映的规律,写出用〃(〃22为整数)表示的等式,并进行验证。
【试题答案】
1.B【思路分析】每一个实数都可以用数轴上的点来表示;反过来数轴上的每一个点都表
示一个实数。即实数和数轴上的点是一一对应的。
2.D【思路分析】根据绝对值的意义可知,任何一个数的绝对值都是非负数,所以最小是
0,因此选D。
3.C【思路分析】A选项,两个无理数被开方数不相同,不能相加;B选项,有理数和无理
数不能相加;D选项,无理数和有理数不能直接相除.本题答案是C.
4.C【思路分析】A选项,由a、b互为相反数知a+b=0,知a+1+b—l=a+b=0,故a+1
和b—1互为相反数;B选项,可举不同的有理数进行验证;C选项,当n=0时,是
有理数.本题答案是C.
5.D【思路分析】两无理数相乘,让有理数部分、无理数部分分别相乘,故
V5X3A/5=(2X3)X(V5XV5)=6X5=30«
x>0__
6.A【思路分析】使式子成立,必有!解得x26.
x-6>0
7.D【思路分析】-TU--V3—^1--1T3=-V3--A/3=0.
V279V27xV3999
8.C【思路分析】两个无理数,如果化简后被开方数不相同,则不能相加;当两个无理数
被开方数相同时,有理部分相加,无理部分不变,故本题答案是D。
9.C【思路分析】保证被开方数是非负数的情况下,还要保证分母不为零。
10.1【思路分析】3X—尸4-^3=3X―产x--=—1.
V3V3V3
11.3【思路分析】无理数分别是一如,血,一〃,共三个。
6
12.V6,V6【思路分析】求无理数的相反数、绝对值与有理数相同。
13.10及+2g【思路分析】分两种情况:一、若2g为腰,则三边长分别是2JL2Q,
50,此时2g+2石=46<50,故此种情况不成立;二、若5血为腰,则三边长分别
为5VL5>/2,2V3,此时三角形的周长为5血+5返+26=]0拒+2括.
14.-V3【思路分析】7i2-3V3=V4^3-3V3=2V3-3V3=-V3.,
15.—【思路分析】正的倒数是1==乙且=也。
2V2V2x22
16.2Vn【思路分析】,顾TH+9“1—2Z」一=JH+3JH—2jn=2jn0
32Vllxll
17.5V2,11V2【思路分析】边长a是面积的算术平方根,当S=50时,
a=450=V25X2=572;当S
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