2024新教材高中数学第五章统计与概率5.1统计5.1.1数据的收集第3课时分层抽样导学案新人教B版必修第二册

第3课时分层抽样(老师独具内容)课程标准：1.通过实例，了解分层抽样的特点和适用范围，了解分层抽样的必要性，驾驭各层样本量比例安排的方法.2.在简洁的实际情境中，能依据实际问题的特点，设计恰当的抽样方法解决问题．教学重点：分层抽样的概念、分层抽样的步骤．教学难点：恰当选择抽样方法解决现实生活中的抽样问题.学问点分层抽样的概念一般地，假如相对于要考察的问题来说，总体可以分成有eq\o(□,\s\up3(01))明显差别的、eq\o(□,\s\up3(02))互不重叠的几部分时，每一部分可称为eq\o(□,\s\up3(03))层，在各层中按eq\o(□,\s\up3(04))层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为eq\o(□,\s\up3(05))分层随机抽样(简称为分层抽样)．1．分层抽样的几个要点(1)分层抽样适用于总体数目较多，且由明显差异的几部分组成的状况．(2)层内样本的差异要小，每层之间的样本差异要大，分成的各层互不交叉．(3)各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即eq\f(n,N)，其中n为样本容量，N为总体容量．(4)分层抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可敏捷地选用不同的抽样法．(5)在分层抽样的过程中每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层无关．2．两种抽样方法的辨析1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分层抽样事实上是按比例抽样．()(2)分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样．()(3)分层抽样中不能用简洁随机抽样．()答案(1)√(2)×(3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)为调查某班学生的平均身高，从50名学生中抽取5名，因为男生的身高和女生的身高有显著不同，所以获得样本时宜采纳________抽样．(2)一个班共有54人，其中男女人数比为5∶4，若抽取9人参与教改调查会，则应抽取男同学________人．(3)某学校有老师132人，职工33人，学生1485人．为了解食堂状况，拟采纳分层抽样的方法从以上人员中抽取50人进行抽查，则在学生中应抽取________人．答案(1)分层(2)5(3)45题型一分层抽样的概念例1分层抽样又称类型抽样，即将相像的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必需进行()A．每层等可能抽样B．每层可以不等可能抽样C．全部层按同一抽样比等可能抽样D．全部层抽取个体数量相同[解析]保证每个个体等可能地被抽取是两种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必需在全部层都按同一抽样比等可能抽取．[答案]C点睛运用分层抽样应遵循的原则1将相像的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的每个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则.2分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简洁随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.eq\a\vs4\al([跟踪训练1])某校要从高一、高二、高三共2024名学生中选取50名组成志愿团．若采纳下面的方法选取，选用简洁随机抽样的方法从2024人中剔除21人，剩下的2000人再按分层随机抽样的方法进行，则每人入选的概率()A．都相等且为eq\f(50,2024) B．都相等且为eq\f(1,40)C．不会相等 D．均不相等答案A解析由于简洁随机抽样和分层抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，因此每人入选的概率都相等．因为题中的样本容量是50，总体容量是2024，所以每人入选的概率为eq\f(50,2024).题型二分层抽样的应用例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人，为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应当怎样抽取？[解]用分层抽样来抽取样本，步骤如下：①分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．②确定每层抽取个体的数目．抽样比为eq\f(100,500)＝eq\f(1,5)，则在不到35岁的职工中抽取125×eq\f(1,5)＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×eq\f(1,5)＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×eq\f(1,5)＝19(人)．③在各层分别按随机数表法抽取样本．④汇总每层抽样，组成样本．点睛利用分层抽样抽取样本的操作步骤(1)将总体按肯定标准进行分层；(2)计算抽样比，即样本容量与总体的个体数的比；(3)按各层的个体数与抽样比的乘积确定各层应抽取的样本容量；(4)在每一层进行抽样(可用简洁随机抽样)；(5)最终将每一层抽取的样本汇总合成样本．eq\a\vs4\al([跟踪训练2])交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓状况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A．101 B．808C．1212 D．2012答案B解析依题意可知，甲社区驾驶员的人数占总人数的比例为eq\f(12,12＋21＋25＋43)＝eq\f(12,101)，因此有eq\f(96,N)＝eq\f(12,101)，解得N＝808.题型三两种抽样方法的综合应用例3为了考察某校高三年级学生眼睛的视力状况，抽查了这个学校高三年级部分学生的视力水平．为了全面地反映实际状况，实行以下两种方式进行(已知该校高三年级共有14个教学班，并且每个班内的学生都已经按随机方式编好了学号，假定该校每班人数都相同)．①从全年级14个班中随意抽取一个班，再从该班中随意抽取14人，考察他们的视力水平；②把该校高三年级的学生按成果分成优秀、良好、一般三个级别，从中抽取100名学生进行考察(已知若按成果分，该校高三学生中优秀学生有105名，良好学生有420名，一般学生有175名)．依据上面的叙述，试回答下列问题：(1)上面两种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面两种抽取方式各自采纳何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面两种抽取方法各自抽取样本的步骤．[解](1)这两种抽取方式中，其总体都是指该校高三年级全体学生的视力水平，个体都是指高三年级每个学生的视力水平．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的14名学生的视力水平，样本容量为14；其次种抽取方式中样本为所抽取的100名学生的视力水平，样本容量为100.(2)上面两种抽取方式中，第一种方式采纳的方法是简洁随机抽样法；其次种方式采纳的方法是分层抽样法和简洁随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步：在这14个班中用抽签法随意抽取一个班；其次步：从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取14名学生，考察其视力水平．其次种方式抽样的步骤如下：第一步：分层，因为若按成果分，其中优秀学生共105人，良好学生共420人，一般学生共175人，所以在抽取样本中，应当把全体学生分成三个层次；其次步：确定各个层次抽取的人数，因为样本容量与总体数的比为100∶700＝1∶7，所以在每层抽取的个体数依次为eq\f(105,7)，eq\f(420,7)，eq\f(175,7)，即15,60,25；第三步：按层分别抽取，在优秀学生中用简洁随机抽样法抽取15人，在良好学生中用简洁随机抽样法抽取60人，在一般学生中用简洁随机抽样法抽取25人；第四步：将所抽取的个体组合在一起构成样本．点睛(1)简洁随机抽样和分层抽样是两种常用的抽样方法，在实际生活中有着广泛的应用．(2)两种抽样的适用范围不同，各自的特点也不同，但两种方法间又有亲密联系．在应用时要依据实际状况选取合适的方法．(3)两种抽样中每个个体被抽到的可能性都是相同的．eq\a\vs4\al([跟踪训练3])下列问题中，宜采纳的抽样方法依次为：(1)________；(2)________；(3)________．(1)从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；(2)某社区有1200户家庭，其中高收入家庭420户，中等收入家庭470户，低收入家庭310户，为了调查该社区购买力的某项指标，要从全部家庭中抽取一个容量为120的样本；(3)某学校有160名教职工，其中老师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的看法，拟抽取一个容量为20的样本．答案(1)抽签法(2)分层抽样(3)分层抽样解析题号推断缘由分析(1)抽签法总体容量较小，宜采纳抽签法(2)分层抽样社区中家庭收入层次明显，宜采纳分层抽样(3)分层抽样由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，故宜采纳分层抽样1．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中随意抽取25人，从女生中随意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A．简洁随机抽样 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样答案D解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层抽样．2．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是()A.eq\f(1,24)B.eq\f(1,36)C.eq\f(1,60)D.eq\f(1,6)答案D解析在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为eq\f(样本容量,总体容量)，所以每个个体被抽取的可能性是eq\f(20,120)＝eq\f(1,6).3．甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的状况，安排采纳分层抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生()A．30人，30人，30人 B．30人，45人，15人C．20人，30人，10人 D．30人，50人，10人答案B解析先求抽样比为eq\f(90,3600＋5400＋1800)＝eq\f(1,120)，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×eq\f(1,120)＝30(人)，乙校抽取5400×eq\f(1,120)＝45(人)，丙校抽取1800×eq\f(1,120)＝15(人)．故选B.4．某高校为了解在校本科生对参与某项社会实践活动的意向，拟采纳分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．答案60解析依据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.5．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了探讨血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．依据分层抽样方法抽取样本，各种血型的人分别抽多少？解依据分层抽样方法抽样，∵eq\f(20,500)＝eq\f(1,25)，∴200×eq\f(1,25)＝8,125×eq\f(1,25)＝5,50×eq\f(1,25)＝2.故O型血抽8人，A型血抽5人，B型血抽5人，AB型血抽2人．

一、选择题1．将A，B，C三种性质的个体按1∶2∶4的比例进行分层抽样调查，若抽取的样本容量为21，则A，B，C三种性质的个体分别抽取()A．12,6,3 B．12,3,6C．3,6,12 D．3,12,6答案C解析由分层抽样的概念，知A，B，C三种性质的个体应分别抽取21×eq\f(1,7)＝3,21×eq\f(2,7)＝6,21×eq\f(4,7)＝12.2．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n等于()A．60 B．70C．80 D．90答案C解析由题意知，总体中A种型号产品所占的比例是eq\f(2,2＋3＋5)＝eq\f(1,5)，因样本中A种型号产品有16件，则eq\f(1,5)·n＝16，解得n＝80.故选C.3．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品平安检测．若采纳分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()A．4 B．5C．6 D．7答案C解析分层抽样中，分层抽取时都按相同的抽样比来抽取，本题中抽样比为eq\f(20,40＋10＋30＋20)＝eq\f(1,5)，因此植物油类食品应抽取10×eq\f(1,5)＝2(种)，果蔬类食品应抽取20×eq\f(1,5)＝4(种)，因此从植物油类和果蔬类食品中抽取的种数之和为2＋4＝6.4．某校老年、中年和青年老师的人数见下表，采纳分层抽样的方法调查老师的身体状况，在抽取的样本中，青年老师有320人，则该样本中的老年老师人数为()类别人数老年老师900中年老师1800青年老师1600合计4300A．90 B．100C．180 D．300答案C解析设样本中的老年老师人数为x，则eq\f(320,1600)＝eq\f(x,900)，解得x＝180.5．(多选)某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3600件产品，在出厂前要检查这批产品的质量，确定采纳分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且满足a＋c＝2b，则下列说法正确的是()A．一车间在12月份生产的产品数为800B．二车间在12月份生产的产品数为1200C．三车间在12月份生产的产品数为1600D．一、三车间在12月份共生产的产品数为2400答案BD解析因为2b＝a＋c，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，二车间在12月份生产的产品数占总数的三分之一，即为3600×eq\f(1,3)＝1200，一、三车间在12月份共生产的产品数为3600×eq\f(2,3)＝2400.故选BD.二、填空题6．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采纳分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．答案1800解析设乙设备生产的产品总数为x件，则甲设备生产的产品总数为(4800－x)件．由题意，得eq\f(50,80)＝eq\f(4800－x,4800)，解得x＝1800.7．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，则这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________．答案6,30,10解析设三种型号的轿车依次抽取x辆、y辆、z辆，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,1200)＝\f(y,6000)＝\f(z,2000)，,x＋y＋z＝46，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝30，,z＝10.))8．某单位200名职工的年龄分布状况如图，现要从中抽取40名职工作样本．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人，50岁以上年龄段应抽取________人．答案208解析由题意知，分层抽样时，由于40岁以下年龄段占总数的50%,50岁以上年龄段占总数的20%，故容量为40的样本中在40岁以下年龄段中应抽取40×50%＝20(人)，在50岁以上年龄段应抽取40×20%＝8(人)．三、解答题9．某网站欲调查网民对当前网页的满足程度，在登录的全部网民中收回有效帖子共50000份，其中持各种看法的份数如下表所示：很满足满足一般不满足10800124001560011200为了了解网民的详细想法和看法，以便确定如何更改才能使网页更完备，准备从中抽选500份，为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？解因为eq\f(500,50000)＝eq\f(1,100)，所以eq\f(10800,100)＝108，eq\f(12400,100)＝124，eq\f(15600,100)＝156，eq\f(11200,100)＝112.故应从持四种看法的帖子中分别抽取108份，124份，156份，112份进行调查．10．某中学实行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名中学生中作问卷调查，假如要在全部答卷中抽出120份用于评估．(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，假如采纳简洁随机抽样，应如何操作？解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和中学生产生的影响不会相同，所以应当实行分层抽样的方法进行抽样．因为样本容量为120，总体个数为500＋3000＋4000＝7500，则抽样比为eq\f(120,7500)＝eq\f(2,125)，所以有500×eq\f(2,125)＝8,3000×eq\f(2,125)＝48,4000×eq\f(2,125)＝64，所以在教职员工、初中生、中学生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤是：①分层：分为教职员工、初中生、中学生，共三层；②确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、中学生中抽取的个体数分别是8,48,64；③各层分别按简洁随机抽样的方法抽取样本；④综合每层抽样，组成样本．这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．(2)由于简洁随机抽样常用的有两种方法：抽签法和随机数表法．假如用抽签法，要作3000个号签，费时费劲，因此采纳随机数表法抽取样本，步骤是：①编号：将3000份答卷都编上号码：0001,0002,0003，…，3000；②在随机数表上随机选取一个起始位置；③规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，假如读取的4位数大于3000，则去掉，假如遇到相同号码则只取一个，这样始终到取满48个号码为止．1．某企业五月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，依据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不当心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清晰，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你依据以上信息补全表格中的数据．解依据题意，可设A产品的数量为m件，样本容量为n，则C产品的数量为(1700－m)件，样本容量为n－10.依据分层抽样的特征可得eq\f(n,m)＝eq\f(n－10,1700－m)＝eq\f(130,1300)，解得m＝900，n＝90，所以1700－900＝800,90－10＝80.补全表格如下：产品类型ABC产品数量(件)9001300800样本容量90130802．某地区中小学生人数的分布状况如下表