2024年高中数学第三章函数的概念与性质3.4函数的应用一作业新人教A版必修第一册

函数的应用（一）A组学考过关一、选择题1．在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：x123…y135…下面的函数关系式中，能表达这种关系的是 （）A．y=2x-1 B．y=x2-1C．y=2x+1 D．y=1．5x2-2．5x+2[解析]将各数据代入y=2x-1总成立，故选A．[答案]A2．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为 （）A．y=20-2x（x≤10） B．y=20-2x（x<10）C．y=20-2x（5≤x≤10） D．y=20-2x（5<x<10）[解析]依题意，得2x+y=20，∴y=20-2x．又y>0，∴20-2x>0，∴x<10．又2x>y，∴2x>20-2x，∴x>5，∴5<x<10．[答案]D3．某厂日产手套的总成本y（元）与日产量x（双）之间的关系为y=5x+40000．而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套 （）A．2000双 B．4000双C．6000双 D．8000双[解析]由5x+40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．[答案]D4．某公司聘请员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y=4其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为 （）A．15 B．40 C．25 D．130[解析]令y=60，若4x=60，则x=15>10，不合题意；若2x+10=60，则x=25，满意题意；若1．5x=60，则x=40<100，不合题意．故拟录用25人．[答案]C5．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽视不计，精确到0．1m） （）A．6．9m B．7．0m C．7．1m D．6．8m[解析]建立如图所示的坐标系，由题设条件知抛物线的方程为y=ax2．设A点的坐标为（4，-h），则C（3，3-h）．将这两点的坐标分别代入y=ax2，可得-h=a·所以厂门的高为6．9m．[答案]A二、填空题6．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就削减2个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个元．

[解析]设涨价x元时，获得利润为y元，y=（5+x）（50-2x）=-2x2+40x+250，∴x=10时，y取最大值，此时售价为60元．[答案]607．有一批材料可以建成200m的围墙，假如用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的矩形，如图所示，则围成的矩形最大面积为m2（围墙厚度不计）．

[解析]设矩形宽为xm，则矩形长为（200-4x）m，则矩形面积S=x（200-4x）=-4（x-25）2+2500（0<x<50），∴x=25m时，Smax=2500m2．[答案]25008．某种电热水器的水箱盛满水是200升，加热到肯定温度可浴用．浴用时，已知每分钟放水34升，在放水的同时注水，t分钟注水2t2升，当水箱内水量达到最小值时，放水自动停止．现假定每人洗浴用水65升，则该热水器一次至多可供人洗澡？

[解析]设最多用t分钟，则水箱内水量y=200+2t2-34t，当t=172时y有最小值此时共放水34×172=289（升），可供4人洗澡[答案]4三、解答题9．北京市的一家报摊主从报社买进《北京晚报》的价格是每份0．40元，卖出的价格是每份0．50元，卖不掉的报纸还可以以每份0．08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必需相同，他应当每天从报社买进多少份，才能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？[解析]设报摊主每天买进报纸x份，每月利润为y元（x为正整数）．当x<250时，y=0．1×30×x=3x．当250≤x<400时，y=0．1×20×x+0．1×10×250-（x-250）×0．32×10=2x+250-3．2x+800=1050-1．2x．当x≥400时，y=0．1×20×400+0．1×10×250-（x-400）×0．32×20-（x-250）×0．32×10=800+250-6．4x+2560-3．2x+800=-9．6x+4410．当x≤250时，取x=250，ymax=3×250=750（元）．当250≤x≤400时，取x=250，ymax=750（元）．当x≥400时，取x=400，ymax=570（元）．故他应当每天从报社买进250份报纸，才能使每月所获得的利润最大，最大值为750元．10．某商品在近30天内每件的销售价格p（元）与时间t（天）的函数关系是p=t+20,0<t<25,t∈N,-t+100,25≤t≤30,t∈N.该商品的日销售量Q（件）与时间t（[解析]设日销售金额为y（元），则y=p·Q．∴y=-=-(当0<t<25，t∈N，t=10时，ymax=900（元）；当25≤t≤30，t∈N，t=25时，ymax=1125（元）．由1125>900，得ymax=1125（元），且t=25．即这种商品的日销售金额的最大值为1125，日销售金额最大的一天是30天中的第25天．B组等级测评一、选择题1．商店某种货物的进价下降了8%，但销售价不变，于是这种货物的销售利润率（销售价-进价进价×100%）由原来的r%增加到（r+10）%，则r的值等于 （A．12 B．15 C．25 D．50[解析]设原销售价为a，原进价为x，可以列出方程组：a解这个方程组，消去a，x，可得r=15．[答案]B2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知该商品每个涨价1元时，其销售量就会削减20个，为了获得最大的利润，其售价应定为 （）A．110元/个 B．105元/个C．100元/个 D．95元/个[解析]设每个商品涨价x元，利润为y元，则销售量为（400-20x）个，依据题意，有y=（10+x）（400-20x）=-20x2+200x+4000=-20（x-5）2+4500．所以当x=5时，y取得最大值，且为4500，即当每个涨价5元，也就是售价为95元/个时，可以获得最大利润为4500元．[答案]D3．国家规定个人稿费纳税方法：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4000元的按全部稿酬的11．2%纳税，已知某人出版一本书，共纳税420元，则这个人应得稿费（扣税前）为 （）A．2800元 B．3000元C．3800元 D．3818元[解析]由题意，知纳税额y（单位：元）与稿费（扣税前）x（单位：元）之间的函数关系式为y=0由于此人纳税420元，所以800<x≤4000时，令（x-800）×0．14=420，解得x=3800，x>4000时，令0．112x=420，解得x=3750（舍去），故这个人应得稿费（扣税前）为3800元．故选C．[答案]C4．在股票买卖过程中，常常用两种曲线来描述价格改变状况：一种是即时价格曲线y=f（x），另一种是平均价格曲线y=g（x），如，f（2）=3表示股票起先买卖后2小时的即时价格为3元；g（2）=3表示2小时内的平均价格为3元．下面给出了四个图象，实线表示y=f（x），虚线表示y=g（x），其中可能正确的是 （）[解析]依据即时价格与平均价格的相互依靠关系，可知，当即时价格上升时，对应平均价格也上升；反之，当即时价格降低时，对应平均价格也降低，故选项C中的图象可能正确．[答案]C二、填空题5．经市场调查，某商品的日销售量（单位：件）和价格（单位：元/件）均为时间t（单位：天）的函数．日销售量为f（t）=2t+100，价格为g（t）=t+4，则该种商品的日销售额S（单位：元）与时间t的函数解析式为S（t）=．

[解析]日销售额=日销售量×价格，故S=f（t）×g（t）=（2t+100）×（t+4）=2t2+108t+400，t∈N．[答案]2t2+108t+400，t∈N6．某电脑公司2024年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收入的40%．该公司预料2024年经营总收入要达到1690万元，且安排从2024年到2024年，每年经营总收入的年增长率相同，2024年预料经营总收入为万元．

[解析]设年增长率为x，则有40040%×（1+x）2=1690，1+x=因此2024年预料经营总收入为40040%×1310=1300（[答案]1300三、解答题7．某厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0．5万元，但每生产100台，须要加可变成本（即另增加投入）0．25万元．市场对此产品的年需求量为500台．销售的收入函数为R（x）=5x-x22（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台（1）把利润表示为年产量的函数；（2）年产量是多少时，工厂所得利润最大？（3）年产量是多少时，工厂才不亏本？[解析]（1）设利润为L（x），成本为C（x）．当x≤5时，产品能全部售出；当x>5时，只能售出500台，故利润函数为L（x）=R（x）-C（x）=(=4（2）当0≤x≤5时，L（x）=4．75x-x22-0．当x=4．75时，L（x）max=10．78125（万元）；当x>5时，L（x）<12-1．25=10．75（万元）．∴生产475台时利润最大．（3）由0≤x≤5,4得5≥x≥4．75-21.5625≈0．11或5<x≤∴产品年产量在11台到4800台时，工厂不亏本．8．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1．2万元/辆，年销量为1000．为适应市场需求，安排提高产品档次，适度增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x（0<x<1），则出厂价相应的提高比例为0．75x，同时预料年销售量增加的比例为0．6x，利润=（出厂价-投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预