新教材2024年秋高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第1课时函数的极值学生用书无答案新人教A版选择性必修第二册

5.3.2函数的极值与最大(小)值第1课时函数的极值学习任务1．了解函数的极值及相关的概念．(数学抽象)2．能利用导数求某些函数的极值．(数学运算)3．体会导数在求极值中的应用．(数学运算)4．能利用导数探讨与函数极值等相关的问题．(数学运算)“横看成岭侧成峰，远近凹凸各不同”．说的是庐山的凹凸起伏，错落有致，在群山之中，各个山峰的顶端，虽不肯定是群山的最高处，但它却是其旁边的最高点．由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”．这就是我们这节课探讨的函数的极值．学问点1极值点与极值(1)微小值点与微小值若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a旁边其他点处的函数值都小，f′(a)＝__；而且在点x＝a旁边的左侧________________，右侧________________，就把点a叫做函数y＝f(x)的微小值点，__________叫做函数y＝f(x)的微小值．(2)极大值点与极大值若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b旁边其他点处的函数值都大，f′(b)＝__；而且在点x＝b旁边的左侧________________，右侧________________，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，__________叫做函数y＝f(x)的极大值．(3)极大值点、微小值点统称为______；极大值、微小值统称为____．极值点是函数单调性的转折点，因此若f(x)在(a，b)内有极值，则f(x)在(a，b)内不是单调函数．学问点2求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：(1)假如在x0旁边的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是______；(2)假如在x0旁边的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是______．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)极大值肯定比微小值大． ()(2)每一个函数都至少有一个极大值或微小值． ()(3)若f′(x0)＝0，则x0肯定是极值点． ()2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)()A．无极大值点，有四个微小值点B．有三个极大值点，两个微小值点C．有两个极大值点，两个微小值点D．有四个极大值点，无微小值点3．(多选)下列四个函数中，在x＝0处取得极值的函数是()A．y＝x3 B．y＝x2＋1C．y＝|x| D．y＝2x类型1不含参数的函数求极值【例1】(1)函数f(x)＝lnx－x的极大值与微小值分别为()A．微小值为0，极大值为－1B．极大值为－1，无微小值C．微小值为－1，极大值为0D．微小值为－1，无极大值(2)(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝x3－x＋1，则()A．f(x)有两个极值点B．f(x)有三个零点C．点(0，1)是曲线y＝f(x)的对称中心D．直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线(3)函数f(x)＝32x2－lnxA．0，1，－1 B．3C．－33 D．33[尝试解答]求可导函数f(x)极值的步骤(1)定义域：求函数的定义域；(2)求导：求函数的导数f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出方程f′(x)＝0全部的根x0，即导函数f′(x)的零点；(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f′(x)，f(x)在每个区间内的改变状况列在一个表格内；(5)结论：若导数f′(x)在x0旁边左正右负，则函数f(x)在x0处取得极大值；若左负右正，则函数f(x)取得微小值．[跟进训练]1．(源于人教B版教材)已知函数f(x)＝13x3－4x类型2含参数的函数求极值【例2】已知函数f(x)＝13x3－(a＋1)x2＋4ax＋2(a为实数)，求函数f(x[思路引导]对函数f(x)求导，得到f′(x)＝x2－2(a＋1)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，依据导函数的零点2和2a的大小，分类探讨函数的单调性，依据函数的单调性确定函数的极值．[尝试解答]1．推断一个函数是否有极值的方法推断一个函数是否有极值，不仅要求解f′(x)＝0，还要依据函数的极值定义，函数在某点处若存在极值，则应在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反；若单调性相同，则不是极值点．2．分类探讨求极值求解析式中含有参数的函数极值时，有时须要用分类探讨的思想才能解决问题．探讨的依据有两种：一是看参数是否对f′(x)的零点有影响，若有影响，则须要分类探讨；二是看f′(x)在其零点旁边的符号的确定是否与参数有关，若有关，则须要分类探讨．[跟进训练]2．若函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．类型3由极值求参数的值或取值范围【例3】(1)已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和微小值，则a的取值范围为()A．(－1，2)B．(－3，6)C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)(2)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，则a＝()A．4或－3 B．4或－11C．4 D．－3[尝试解答]已知函数极值状况，逆向应用确定函数的解析式，进而探讨函数性质时，应留意两点：(1)常依据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必需验证根的合理性．[跟进训练]3．已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，求a，b的值．类型4极值问题的综合应用【例4】已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围．[思路引导]求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，微小值小于0，由此可得a的取值范围．[尝试解答][母题探究]1．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0恰有两个根，则实数a的值如何求解？2．(变条件)本例中，若方程f(x)＝0有且只有一个实根，求实数a的范围．解决函数零点的留意点(1)探讨函数零点(方程根)的状况，可以通过导数探讨函数的单调性、极大值、微小值、改变趋势等，依据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清楚、直观的整体呈现．(2)解决由函数零点(方程根)的存在状况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解．[跟进训练]4．求函数g(x)＝x－3x－4lnx1．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值点，且x＝1是f(x)的微小值点，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤02．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有