2024新教材高中数学第五章统计与概率章末复习导学案新人教B版必修第二册

第五章统计与概率章末复习学问系统整合堵点自记：

规律方法保藏1．抽样方法的选择和设计本章学习了比较典型和常用的抽样方法：简洁随机抽样、分层抽样，它们的共同点：①都是不放回抽样；②在抽样过程中，每个个体被抽到的可能性相等，体现了抽样的客观性和公允性．(1)抽样方法的要点①简洁随机抽样：是抽样中一个最基本的方法——逐一不放回地抽取．一次抽取全部样本和抽取样本检查后放回样本都不是简洁随机抽样．②分层抽样：将总体分成若干层，在各层中依据该层个体数在总体中所占比例随机抽取肯定的样本．(2)抽样方法应用的留意点①抽签法中，留意运用已有编号，号签形态、大小一样，搅拌匀称；随机数表法中，首先对个体所编号码位数要相同，当题目所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数，其次是留意编号去重，即舍去抽中的相同编号．②分层抽样中，依据实际状况，可对每层所抽取的数目进行适当的微小调整．如某中学中学学生有900名，为了考察他们的体重状况，准备抽取一个容量为45的样本．已知高一有402名学生，高二有296名学生，高三有202名学生．采纳分层抽样，样本容量与总体容量的比为45∶900＝1∶20，则应从这三个年级中抽取的学生数分别为eq\f(402,20)＝20.1；eq\f(296,20)＝14.8；eq\f(202,20)＝10.1，而学生人数只能是整数，对以上结果进行适当调整，应从三个年级中分别抽取20名，15名，10名学生．(3)抽样方法的适用原则①看总体是否由差别明显的几个部分组成．若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简洁随机抽样．②看总体容量和样本容量的大小．当总体容量较小时，采纳抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采纳随机数表法．(4)抽样方法的设计设计抽样方法时，最核心的问题就是要考虑如何使抽取的样本具有代表性，为此在设计抽样方法时，充分利用对总体状况的了解是特别重要的．2．用样本估计总体现实中的总体所包含的个体数往往是许多的，因此我们可通过获得样本数据，分析样本的数字特征和样本的分布，进而对总体作出估计．(1)估计总体的数字特征通常我们用样本的平均数和方差(标准差)来近似代替总体的平均数和方差(标准差)，呈现样本数据的集中趋势及波动大小，从而实现对总体的估计．①一般状况下，须要将平均数和标准差结合，得到更多样本数据的信息，从而对总体作出较好的估计．因为平均数简洁掩盖一些极端状况，使我们对总体作出片面的推断，而标准差较好地避开了极端状况．②若两组数据的平均数差别很大，也可以仅比较平均数，估计总体的平均水平，从而作出推断．(2)估计总体的分布①样本的分布以图表的形式给出，常见的统计图表有频率分布表、频率分布直方图、茎叶图，三者的优缺点如下：表示样本分布的方法优点缺点频率分布表在数量表示上比较准确不够直观、形象，损失了样本的一些信息，分析数据分布的总体状况不够便利频率分布直方图能够很简洁地表示大量数据，特别直观地表示数据分布的状况，使我们能够看到在频率分布表中看不清晰的数据模式从直方图本身不能得出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的数据信息被抹掉了茎叶图一是全部的信息都可以从这个茎叶图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，能够展示数据的分布状况样本数据较多或数据位数较多时，不便利表示数据②频率分布直方图中相关计算的常用结论a．图中小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．b．全部小矩形的面积之和为1.须要留意的是：通过样本数据的统计图表和数字特征，我们能够估计总体的信息，而且样本容量越大，这种估计也就越精确．当样本数据发生变更时，总体的这些信息不会变更．3．对随机事务的理解(1)随机事务是指肯定条件下出现的某种结果，即随着条件的变更其结果也会不同，因此必需强调同一事务在相同的条件下进行探讨．(2)随机事务在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事务的发生是有规律的．4．频率与概率的联系与区分随机事务的频率，是指事务发生的次数与试验总次数的比值．它具有肯定的稳定性，总在某个常数旁边摇摆，但随着试验次数的不断增加，摇摆幅度越来越小，这时可把这个常数作为这个事务的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事务发生的可能性的大小．在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事务的概率．5．互斥事务与对立事务(1)互斥事务是不行能同时发生的两个事务；对立事务除要求这两个事务不能同时发生外，还要求二者必需有一个发生．因此对立事务肯定是互斥事务，但互斥事务不肯定是对立事务，对立事务是互斥事务的特别状况．(2)应用互斥事务的概率加法公式时，要留意首先确定诸事务彼此互斥，然后分别求出各事务发生的概率，再求和．求困难事务的概率通常有两种方法：一是将所求事务转化成彼此互斥的事务的和；二是先求其对立事务的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))求解．6．古典概型对于古典概型概率的计算，关键是分清样本空间中样本点的总个数n与事务中包含的样本点个数m，有时需用列举法把样本空间中的样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事务的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必需做到不重复、不遗漏．7．事务相互独立的推断利用相互独立事务的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定两个事务是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为精确、坚决地推断两个事务是否相互独立．因此我们必需娴熟驾驭这种方法，但须要留意的是互斥事务与相互独立事务之间有肯定的关系，也就是若两个事务相互独立，则肯定不能互斥(对立)；反之，若两个事务互斥(对立)，则不能相互独立．学科思想培优一、抽样方法的选取及应用随机抽样方法有简洁随机抽样、分层抽样两种．[典例1](1)某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为()A．6 B．8C．10 D．12(2)问题：①某小区有800户家庭，其中高收入家庭200户，中等收入家庭480户，低收入家庭120户，为了了解有关家用轿车购买力的某个指标，要从中抽取一个容量为100的样本；②从10名学生中抽取3人参与座谈会．方法：a.简洁随机抽样；b.分层抽样．则问题与方法配对正确的是()A．①a，②b B．①b，②bC．①a，②a D．①b，②a解析(1)分层抽样的原理是依据各部分所占的比例抽取样本．设从高二年级抽取的学生数为n，则eq\f(30,40)＝eq\f(6,n)，解得n＝8.(2)问题①中的总体是由差别明显的几部分组成的，故可采纳分层抽样方法；问题②中总体的个数较少，故可采纳简洁随机抽样．故匹配正确的是D.答案(1)B(2)D二、用样本的数字特征估计总体的数字特征样本的数字特征可分为两大类，一类反映样本数据的集中趋势，包括样本平均数、众数、中位数；另一类反映样本数据的波动大小，包括样本方差及标准差．通常，我们用样本的数字特征估计总体的数字特征．有关样本平均数及方差的计算和应用是高考考查的热点．[典例2]甲、乙两人在相同的条件下各射靶10次，每次射靶成果(单位：环)如图所示．(1)填写下表：平均数中位数命中9环及以上甲7________1乙________________3(2)请从四个不同的角度对这次测试进行分析：①结合平均数和方差，分析偏离程度；②结合平均数和中位数，分析谁的成果好些；③结合平均数和命中9环及以上的次数，看谁的成果好些；④结合折线图上两人射击命中环数及走势，分析谁更有潜力．解(1)甲的射靶环数从小到大排列为5,6,6,7,7,7,7,8,8,9，∴其中位数为7.乙的射靶环数依次为2,4,6,8,7,7,8,9,9,10，∴eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)×(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7.乙的射靶环数从小到大排列为2,4,6,7,7,8,8,9,9,10，∴其中位数是eq\f(7＋8,2)＝7.5.于是填充后的表格，如下所示：平均数中位数命中9环及以上甲771乙77.53(2)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)×[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝1.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝5.4.①甲、乙的平均数相同，均为7，但seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大．②甲、乙的平均数相同，而乙的中位数比甲大，说明乙的射靶成果好些．③甲、乙的平均数相同，而乙命中9环及以上的次数比甲多2次，可知乙的射靶成果比甲好．④从折线图上看，乙的成果呈上升趋势，而甲的成果在平均线上波动不大，说明乙的状态在提升，更有潜力．[典例3]为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成果状况，用简洁随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成果(百分制)作为样本，样本数据的茎叶图如图．(1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成果的及格率(60分及60分以上为及格)；(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成果分别为eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，估计eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的值．解(1)设甲校高三年级学生总人数为n.由题意，知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.样本中甲校高三年级学生数学成果不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成果的及格率为1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)设甲、乙两校样本平均数分别为eq\o(x,\s\up6(－))1′，eq\o(x,\s\up6(－))2′.依据样本茎叶图知，30(eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′)＝30eq\o(x,\s\up6(－))1′－30eq\o(x,\s\up6(－))2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′＝eq\f(15,30)＝0.5，所以eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的估计值为0.5分．三、函数与方程思想(1)函数思想是中学数学中最重要的基本思想，也是高考考查的重点，函数思想是统计中把握数据、用数据说话的有力工具．(2)方程思想是一种重要的数学思想，当一个问题可能与某个方程有关联时，可尝试构造方程解决该问题．[典例4]已知样本数据由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13,19,20，且样本的中位数为10.5，若要使该样本的方差最小，则a，b的值分别为()A．9.5,11.5 B．10.5,9.5C．10,11 D．10.5,10.5解析由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，所以依题意，得eq\f(a＋b,2)＝10.5，即b＝21－a.因为平均数eq\o(x,\s\up6(－))＝(2＋3＋3＋7＋a＋b＋12＋13＋19＋20)÷10＝10，所以要使该样本的方差最小，只需(a－10)2＋(b－10)2最小．又(a－10)2＋(b－10)2＝(a－10)2＋(21－a－10)2＝2a2－42a＋221，所以当a＝－eq\f(－42,2×2)＝10.5时，(a－10)2＋(b－10)2最小，即该样本的方差最小，此时b＝10.5.答案D[典例5]经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜爱”“不喜爱”和“一般”三种看法，其中持“一般”看法的比“不喜爱”的多12人，按分层抽样法从全班选出部分学生参与摄影座谈会，其中5位“喜爱”摄影，1位“不喜爱”摄影，3位持“一般”看法．那么全班学生中“喜爱”摄影的人数为________．解析设班里持“喜爱”看法的有y人，持“一般”看法的有x人，则持“不喜爱”看法的有(x－12)人．由题意得eq\f(x－12,x)＝eq\f(1,3)，解得x＝18.又eq\f(y,18)＝eq\f(5,3)，所以y＝30.故全班学生中“喜爱”摄影的人数为30.答案30四、数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法，在解决有关统计问题时，其作用尤为突出，常结合统计图提取信息．例如，由频率分布直方图可得出相应的频率、频数等．[典例6]以下三个图表，表示的都是某工厂在一到三月的生产产值状况，那么其中图表________表示前三个月的产值最高．解析A表示一月份的产值是10万元，二月份的产值是20万元，三月份的产值是30万元，前三个月的产值合计是60万元；B表示一月末的产值是10万元(还不肯定是一月份的产值，也可能是从头一年某个时间起累积的产值)，二月末的产值是20万元(也就是说二月份的产值是10万元)，三月末的产值是30万元(也就是说三月份的产值是10万元)，这样计算下来，前三个月的产值最多也就30万元；C表示一月份的产值增长了10万元(不考虑出现负产值的状况，则一月份的产值至少有10万元)，二月份的产值则在一月份产值的基础上增长了20万元(二月份的产值至少有30万元)，而三月份的产值则在二月份产值的基础上增长了30万元(三月份的产值至少有60万元)．由此可见，前三个月的产值至少有100万元；综上可知，C对应的产值最高，故填C.答案C[典例7]某校100名学生期中考试语文成果的频率分布直方图如图所示，其中成果分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)依据频率分布直方图，估计这100名学生语文成果的平均分；(3)若这100名学生语文成果某些分数段的人数(x)与数学成果相应分数段的人数(y)之比如表所示，求数学成果在[50,90)之外的人数．分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y1∶12∶13∶44∶5解(1)依题意，得10×(2a＋0.02＋0.03＋0.04)＝1，解得a＝0.005.(2)这100名学生语文成果的平均分为55×0.05＋65×0.4＋75×0.3＋85×0.2＋95×0.05＝73.(3)数学成果在[50,60)的人数为100×0.05＝5，数学成果在[60,70)的人数为100×0.4×eq\f(1,2)＝20，数学成果在[70,80)的人数为100×0.3×eq\f(4,3)＝40，数学成果在[80,90)的人数为100×0.2×eq\f(5,4)＝25.所以数学成果在[50,90)之外的人数为100－5－20－40－25＝10.五、频率与概率的关系(1)求一个事务的概率的一种方法是通过大量的重复试验．(2)只有当频率在某个常数旁边摇摆时，这个常数才可看作该事务的概率．(3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值．(4)概率反映了随机事务发生的可能性的大小．(5)必定事务的概率为1，不行能事务的概率为0，故0≤P(A)≤1.[典例8]对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率eq\f(b,a)(1)计算表中次品的频率(结果保留到小数点后三位)；(2)从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够刚好更换，要销售2000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.060,0.040,0.025,0.017,0.020,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02旁边摇摆，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02.(3)设须要进货x个U盘，为保证其中有2000个正品U盘，则x(1－0.02)≥2000，因为x是正整数，所以x≥2041，即至少需进货2041个U盘．六、互斥事务、对立事务及其概率不能同时发生的是互斥事务，反映在集合上就是两事务的交集为空．在互斥的基础上必有一个发生的是对立事务，互为对立的两个事务概率之和为1.分类探讨思想是解决互斥事务有一个发生的概率问题的关键．其中互斥加法与对立加法概率公式可以推广到有限个事务，即假如事务A1，A2，…，An是两两互斥关系，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．[典例9]如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于从A地赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解(1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(1)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；P(B1)＝1－0.2＝0.8，P(B2)＝1－0.1＝0.9，因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2.七、古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，常常出现此种概型的题目．用古典概型计算概率时，肯定要验证所构造的样本空间的样本点是否是等可能的，同时要弄清所求事务所包含的等可能出现的结果(样本点)的个数．[典例10]某高速马路服务区临时停车场按时段收费，收费标准为：每辆汽车一次停车不超过1小时收费5元，超过1小时的部分每小时收费7元(不足1小时的部分按1小时计算)．现有甲、乙两人在该服务区临时停车，两人停车都不超过4小时．(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为eq\f(1,4)，停车付费多于12元的概率为eq\f(7,12)，求甲停车付费恰为5元的概率；(2)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停车付费之和为38元的概率．解(1)设“甲停车付费恰为5元”为事务A，则P(A)＝1－eq\f(1,4)－eq\f(7,12)＝eq\f(1,6).所以甲停车付费恰为5元的概率是eq\f(1,6).(2)甲停车付费a元，乙停车付费b元．其中a，b＝5,12,19,26.则甲、乙两人的停车费用构成的样本空间的样本点为(5,5)，(5,12)，(5,19)，(5,26)，(12,5)，(12,12)，(12,19)，(12,26)，(19,5)，(19,12)，(19,19)，(19,26)，(26,5)，(2