2021届数学新高考小题17

2021届新高考“8+4+4”小题狂练(17)

一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.)

1.已知集合4={1,3,4,5},集合8={xeZ|x2—4x—5<0},则4nB的子集个数为()

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【解析】

试题分析：由7-4》_5<0,解得—1<X<5,所以3={0,1,2,3,4},所以Ac3={l,3,4},所以AcB

的子集个数为23=8,故选C.

考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集.

2.已知函数g(x)=3x+t的图象不经过第二象限，则t的取值范围为

A.t<-lB.t<-l

C.t<-3D.t>-3

【答案】A

【解析】

【分析】

由指数函数的性质，可得函数g(x)恒过点坐标为(0』+。，且函数g(x)是增函数，图象不经过第二象限,

得到关于，的不等式，即可求解.

【详解】由指数函数性质，可得函数g(x)=3"+t恒过点坐标为(0,1+t),函数g(x)是增函数，图象

不经过第二象限，；.l+tW0,解得tW-1.故选A.

【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质的应用，其中熟记指数函数的图象与性质，特别是指数函

数的图象恒过定点是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

3.在一组样本数据(%,y),(林％)，…，(x,,，K)芭，马…X“不全相等)的散点图中，若所有

样本点(x,,y,)(i=l,2,…都在直线科1-3?上，则这组样本数据的样本相关系数为()

A.-3B.OC.-lD.1

【答案】C

【解析】

因为所有样本点(Xj,y)(i=l,2,…都在直线y=-3x+l上，所以回归直线方程是y=-3x+l,可得这

两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点（w，y）（i=l,2,..,〃），都在直

线上，则有卜|=1,...相关系数r=—l，故选C.

4.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设AABC的三个内角

48,。所对的边分别为“,瓦。，面积为S,贝广三斜求积”公式为5=-夜-卜厂,若

U12"

a2sinC=5sinA,（a+c）2=16+〃，则用“三斜求积”公式求得△MC的面积为（）

ATB.73C-iD.2

【答案】D

【解析】

【分析】

22

由已知利用正弦定理可求得ac,进而可求得a^+c-b=6代入“三斜求积”公式即可求得结果.

【详解】a2sinC=5sinA-a2c=5a>ac=5,因为(a+c)?=16+",

2

+c?—/??=16—2ac=6，从而△ABC的面积为卜15~一

所以，a2=2.

4

故选:D.

【点睛】本题考查正弦定理以及新定义的理解，考查分析问题的能力和计算求解能力，难度较易

5.如图是当。取三个不同值,。2，％时的三种正态曲线，那么。1，^2，。3的大小关系是（）

A.5>%>%>°B.0<b]Vb3Vb2

C.b]>%>>0D.0<CT1<cr2<cr3

【答案】D

【解析】

【分析】

由正态分布曲线性质，可得结论.

【详解】由图可知，三种正态曲线的〃都等于0

由〃一定时，。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中，b越大，曲线越“矮胖”，表示总体的

分布越分散，则0<百<%<?

故选：D

【点睛】本题主要考查了正态分布的性质的应用，属于基础题.

S,,2〃一3名

6.设数列｛4｝,｛"｝均为等差数列，它们的前〃项和分别为S“，T„,若U=—7>则言=（）

ln3〃+4b5

7151719

A.—B.—C.—D.—

19313437

【答案】B

【解析】

【分析】

由数列｛4｝，｛2｝为等差数列，根据等差数列的前〃项和公式和性质，可得率=答，即得答案.

［详解】数列｛4,｝，仍“｝均为等差数列，它们的前〃项和分别为s„,Tn,

9（%+为）

._____2_41+49_2as=%

T99（4+瓦）+h92bsb$'

2

Sn_2n-3S9_15a5_15

,7一3“+“•元一斤,.又

故选：B.

【点睛】本题考查等差数列的前"项和公式和性质，属于中档题.

7.双曲线c的左、右焦点分别为E，K，且鸟恰好为抛物线y2=4x的焦点，设双曲线c与该抛物线的一

个交点为A,若|AE|=|EK|,则双曲线c的离心率为（）

A.1+72B.1+V3C.2+72D.2+JJ

【答案】A

【解析】

【分析】

由己知条件得双曲线、抛物线焦点，求出点A坐标，再由双曲线定义求得。的值，继而求出双曲线的离心

率

【详解】B为抛物线y2=4x的焦点，

.•.^(1,0),Ft(-1,0)

：|9|=|耳6|=2，

故A点坐标为(1,2)或(1,-2)

|A6(-1)丁+22=2及,

则2a=2a-2

解得。=也一1，又c=l

故选A

【点睛】本题主要考查了求双曲线离心率问题，运用双曲线定义结合已知条件即可得到结果，较为简单

8.设函数尸(力是函数/(x)(xeR)的导函数，当无工0时，广(司+乜3<o,则函数

g(x)=/(x)—g的零点个数为()

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数尸(力=%7(同一1,可得出g(x)=£^O,利用导数研究函数y=E(x)的单调性，得出该函数

的最大值为负数，从而可判断出函数)=/(力无零点，从而得出函数g(x)=<D的零点个数.

【详解】设/(x)=</(x)—1,则尸(x)=V/(力+3//(力=/

当xoO时，/,(x)+-^i^<0,

当x>()时，/>0,故尸'(x)<0,所以，函数y=*x)在(0,+力)上单调递减;

当尤<OE1寸，%3<0.故尸(x)>0,所以，函数y=E(x)在(F,0)上单调递增.

所以/(x)111ax所以，函数丁=/(%)没有零点，

故g(x)=/(x)-4=£^也没有零点.

故选：D.

【点睛】本题考查函数零点个数的判断，解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数，并利用导数分析

函数的单调性与最值，必要时借助零点存在定理进行判断，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.)

9.在某次高中学科知识竞赛中，对4000名考生的参赛成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，

其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],60分以下视为不及格,

若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，则下列说法中正确的是()

A.成绩在[70,80)的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000

C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分

【答案】ABC

【解析】

【分析】

因为成绩出现在［70,80］的频率最大，故A正确；不及格考生数为10X(0.010+0.015)X4000=1000,故B

正确；根据频率分布直方图估计考试的平均分为70.5,C正确；估计中位数为71.67,。错误.

【详解】由频率分布直方图可得，成绩在［70,80)的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；

成绩在［40,60)的频率为0.01x10+0.015x10=0.25,因此，不及格的人数为4000x0.25=1000,故B

正确；

考生竞赛成绩的平均分约为45x0.1+55x0.15+65x0.2+75x0.3+85x0.15+95x0.1=70.5,故C正

确；

因为成绩在［40,70)的频率为0.45,在［70,80)的频率为0.3,

所以中位数为70+10x^*71.67,故D错误.

0.3

故选ABC.

【点睛】本题考查了频率分布直方图，以及用频率分布直方图估计样本的平均数与中位数等，考查计算能

力.属于基础题.

10.已知函数/(x)=Asin(tyx+e)(A>0,69>0,|同<的最大值为、历，其图像相邻的两条对称轴之间

的距离为T，且/(力的图像关于点(一专，°)对称，则下列结论正确的是().

A.函数“X)的图像关于直线％=泊对称

B.当xe时，函数/(x)的最小值为—半

C.若/(着一“=2常，则sin"a-cos4a的值为一之

D.要得到函数/(x)的图像，只需要将g(x)=0cos2x的图像向右平移弓个单位

【答案】BD

【解析】

【分析】

首先根据函数/(x)的最大值得到A=也，根据图像相邻的两条对称轴之间的距离得到。=2,再根据

〃x)的图像关于点后,0对称得到夕=—,从而得到/(x)=J5sin|2x+/.对选项A,因为

6\6

/%土血，故人错误•对选项B,根据题意得到2彳+会-p1,从而得到“X)的最小值一为，

故B正确.对选项C,根据了仁一“=孚得到cos2a=1,再计算41?二一85%的值即可判断3错

误.对选项D,将g(x)=x^cos2x的图像向右平移弓个单位，得到y=0sin[2x+^),即可判断D正确.

【详解】由题知：函数/(x)的最大值为&,所以A=&-

因为函数/(x)图像相邻的两条对称轴之间的距离为m,

所以工=&,T=—=7i,3=2,/(%)=V2sin(2x+^)

22(o

又因为/(X)的图像关于点上方,(^对称，

所以总=血$皿(_看+4=0,~^+(p=k7T,keZ.

所以9=工+上乃，左eZ.因为时〈工，所以夕=£.

626

即“X)=后5山12%+看).

对选项A,三万]=J^sin乃=0。±a，故A错误.

,,,7171717171

对选项B,XE.,—,2xHE----,一,

66」6162」

当21+e二・已时，/(x)取得最小值一日，故B正确.

对选项C,f—~a\=\/2sin(—-2a)-V2cos2a-^3L,

16)25

3

得到cos2a=-.

因为sin4a_cos,a=®n2a+cos?(7)(sin2tz-cos2a)=-cos2a=--,

故C错误.

对选项D,

g(x)=&cos2x的图像向右平移2个单位得到

6

y=\/2cos2=\/2cos^2x-y^=>/2sin^+(2x-q)]=&sin(2x+5，

故D正确.

故选：BD

【点睛】本题主要考查y=Asin(Q)x+s)的图象性质，同时图象的平移变换，属于中档题.

11.在AABC中，D,E,尸分别是边BC,AC,AB中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-Ai)=6

B.~DA+EB+FC=Q

c.若空+£=更竺，则而是丽在胫的投影向量

\AB\\AC\|AD|

—.—一1

D.若点P是线段AO上的动点，且满足5P=484+“8C，则4"的最大值为一

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对选项A,B,利用平面向量的加减法即可判断A错误，B正确.对选项C,首先根据已知得到AO为N54C

的平分线，即AQLBC,再利用平面向量的投影概念即可判断C正确.对选项D,首先根据AP,。三点共

A-t

线，设BP=tBA+(]-t)BD,()</<1,再根据已知得到,1—/,从而得到

2

y=lm=t^-)=--(t--)+-,即可判断选项D正确.

2228

【详解】如图所示:

A

F.E

C

BD

对选项A,AB+AC-AD^2AD-AD^AD^6>故A错误.

对选项B,DA+EB+FC^--(AB+AC)--(BA+BC)--(CA+CB)

222

^LAB-LAC-^BA-^BC-^CA-^CB

^--AB--AC+-AB—BCH—ACH—BC-0,故B正确.

222222

ACTn

对选项c,———，一一；,■Y■分别表示平行于通，AC,通的单位向量,

|A8|IAC|\AD\

Aji

由平面向量加法可知：咨为NR4C的平分线表示的向量.

\AB\|AC|

ABACyf3AD

因为---H—.=~.-所以AE＞为NBAC的平分线,

\AB\\AC\\AD\

所以丽是丽在前的投影向量，故选项C正确.

对选项D,如图所示:

A

因为尸在A£>上，即AP,。三点共线，

设分户=加印+（1-0<?<l.

又因为丽=工豆心，所以丽=r丽+生”前.

22

A=t

因为8户=284+〃月C，则<_\-t<（）</<1.

当，=工时，取得最大值为故选项D正确.

28

故选：BCD

【点睛】本题主要考查平面向量的加法，减法的几何意义，数形结合为解决本题的关键，属于中档题.

12.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1,1,2,3,5,8,…，

该数列的特点是：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列

数组成的数列｛力｝称为斐波那契数列.并将数列｛4｝中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为

｛5,｝，则下列结论正确的是（）

A-g2<M9=2B.（力&）一（力2『+（%%）—（以『=0

C.+^2+8i*■^2019=2688D-fl+人+力*■力019=2人018人020

【答案】AB

【解析】

【分析】

由<+2=<+|江,可得力/=/；用（工+2一，）=工用力+2—，+）,，可判断B、D选项；先计算数列｛当｝前

几项可发现规律，使用归纳法得出结论：数列｛&,｝是以6为最小正周期的数列，可判断A、C选项.

【详解】对于A选项：

gl=Lg2=l，g3=2血=3&=l，g6=°，g7=1国=Lg9=2，gio=3,g|i=l，g]2=。，…，

所以数列｛5,｝是以6为最小正周期的数列，又2019=6x336+3,所以g20i9=2,故A选项正确：

对于C选项：g]+g2+.?3H---F^2019=336x（1+1+2+3+1+0）+（1+1+2）=2692,故c选项错误；

对于B选项：斐波那契数列总有：fn+2=fn+i+fn,

所以(力2)=fl2(^3~fl\)=f22f23~1(Al)=fll(A2~f20)=fl\fl2~f21/20,

所以（人/3）—C4）2+（△。力2）—（以）2=0,故B正确；

对于D选项：•."=力，/+2=<+|9,，，（工）2=//，=

42=力（九一/）=/力一力后,

/，+；=£用(<+2—£)=力+/，+2—fn^fn。

所以k+.疗+疗+…+.总]9

=+2f3-//)+(方力-力/)+…+(以)18%19-%18以)17)+(%19月》20—Aj^Ajls)

=力019力020，故D选项错误；

故选：AB.

【点睛】本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项

的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知（依2—1）7（。〉0）的展开式中第6项的系数为_]8%则展开式中各项的系数和为.

【答案】128

【解析】

【分析】

根据二项展开式的通项公式得出=（-1）A«7-*C；-AX7-*，从而得出第六项系数=789,求出

。=3,最后利用赋值法求展开式中各项的系数和.

【详解】解：由题意，通项为：心=&（公产（-1）*=（-1）%7-七尸》

由于（以2一1）7（a>0）的展开式中第6项的系数为-189,

则第六项系数为：（-1）77-5《=-189,解得：a=3,

故该二项式为（3/-1）’,

令x=l得展开式各项系数的和为：27=128.

故答案为：128.

【点睛】本题考查二项展开式的通项公式得应用和指定项的系数，以及利用赋值法求展开式中各项的系数

和.

14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码

的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为.

75

【答案】—

512

【解析】

【分析】

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码.分两类，三种号码出现的次

数分别为3,1,1或者2,2,1.每类中可以分步完成，先确定三种号码卡片出现顺序有用种，再分别确定这三

种号码卡片出现的位置（注意平均分组问题），最后让第四种颜色出现有一种方法，相乘可得，最后根据古典

概型求概率即可.

【详解】由分步乘法计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有4X4XKX4=46

种不同的取法.

恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为

3,1,1或者2,2,1,

三种号码分别出现3,1,1且6次时停止的取法有国7kxi=240种，

A

三种号码分别出现2,2,1且6次时停止的取法有xlxl=360种,

由分类加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360=600种取法,

600_75

所以恰好取6次卡片时停止的概率为：P

-4^-512

75

故答案为:

512

【点睛】本题主要考查了概率的求法，计数原理等基础知识，考查了排列组合的应用，难点在于平均分组

问题，属于难题.

15.已知直线y=2x+l与圆x?+y2+61r+2y+i=o交于A、3两点，直线/nr+y+2=o垂直平分弦A3，

则m的值为,弦AB的长为