初三奥数之与圆相关的比例线段

初三奥数之与圆相

关的比例线段

专题22与圆相关的比例线段

阅读与思考

比例线段是初中数学的一个核心问题.

我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，

我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不

同的图形中又发展为新的形式.

在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.

在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关

系.

相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系：

1.从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；

2.从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式.

熟悉以下基本图形和以上基本结论.

例题与求解

【例1】如图，已知AB是。。的直径，弦与A8交于点E,过点4作圆的切线与CD的延长线交

于点F.若DEqCE,AC=8小，点。为EF的中点，则48=.（全国初中教学联

赛试题）

解题思路：设法求出AE、BE的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.

例1题图例2题图

【例2】如图，在RtZSABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,以上一点。为圆心作。。与AC、AB

都相切，又。。与3c的另一个交点为则线段BQ的长为（）

R111

A.Io•2C.D.

34

（武汉市中考试题）

解题思路：由切割线定理知8彦二8。・8C,欲求80,应先求BE.须加强对图形的认识，充分挖

掘隐含条件.

【例3】如图，AB是半圆的直径，。是圆心，C是AB延长线上一点，8切半圆于。，DELAB

E.已知AE：EB=4：1,CD=2,求BC的长.

(成都市中考试题)

解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.

AOEBC

【例4】如图，AC为。。的直径且PAVAC,8c是。0的一条弦，直线PB交直线AC于点D,而=而

2

京

(1)求证：直线P8是。。的切线；

(2)求cos/BCA的值.

(呼和浩特市中考试题)

解题思路：对于(1),恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于(2),将问题转化为求线段的比

值.

【例5】如图，已知A8为。。的直径，C为。。上一点.延长BC至。，使CO=BC,CELAD于E,

BF交OO于F,AF交CE于P.

求证：PE=PC.

(太原市竞赛试题)

解题思路：易证PC为。。切线，则PC2：。八附，只需证明PF=2尸•%.证△PE/S△以E,作出

常用辅助线，突破相关角.

Iy

【例6】如图，已知点P是。。外一点，PS、PT是。。的两条切线.过点P作。。的割线以8,交。

。于A、B两点，与ST交于点C.

求证：昌脸+治）♦

（国家理科实验班招生试题）

解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.

能力训练

A级

1.如图，月4切。。于4点，PC交。。于8、C两点，M是8c上一点，且尸A=6,PB=BM=3,0M=2,

则。0的半径为.

（青岛市中考试题）

2.如图，已知△ABC内接于。O,KAB=AC,直径A。交BC于点E,尸是0E的中点.如果3£）〃CF,

BC=28贝CD=.

（四川省竞赛试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）

3.如图，AB切。。于点B,A。交。。于点C、D,OPLCD于点P.若A8=4cm,AO=8cm,。。的

半径为5cm,则0P=.

（天津市中考试题）

4.如图，已知。。的弦48、C£>相交于点P,P4=4,PB=3>,PC=6,E4切。。于点A,AE与C。的

延长线交于点E,AE=2下,那么PE的长为.

（成都市中考试题）

5.如图，在。。中，弦AB与半径0C相交于点M,且OM=MC,若AM=1.5,BM=4,则0C的长为

）

A.2#B.乖C.2小D.2吸

（辽宁省中考试题）

（第5题图）（第6题图）（第7题图）

6.如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P,大圆的弦C。经过点P,且8=13,PD=4,

则两圆组成的圆环的面积为（）

A.16乃B.367rC.527rD.81%

（南京市中考试题）

7.如图，两圆相交于C、D,AB为公切线，若A8=12,CD=则9,MD=（）

A.3B.35C.6D.6小

8.如图，。。的直径AB=10,E是OB上一点，弦CQ过点且E,B£=2,DE=2y[2,则弦心距OF为

(）

D.小

（包头市中考试题）

（第8题图）（第9题图）（第10题图）

9.如图，已知在△ABC中，ZC=90°,BE是角平分线，DELBE交AB于D,。。是△8£>E的外接

（1）求证：AC是。。的切线；

（2）若40=6,AE=6y[2,求的长.

（南京市中考试题）

10.如图，PA切。。于A,割线PBC交。。于8、C两点，。为PC的中点，连结AO并延长交。O

于E,已知：BW=DE•EA.

求证：（1）PA=PD；（2）2B/=AD•DE.

（天津市中考试题）

11.如图，△A8C是直角三角形，点。在斜边8C上，8£）=4£）C.已知。0过点C且与AC相交于凡

与AB相切于A8的中点G.求证：ADrBF.

（全国初中数学联赛试题）

（第11题图）（第12题图）

12.如图，已知A3是OO的直径，AC切。。于点4.连结CO并延长交。。于点。、E,连结8。

并延长交边AC于点F.

（1）求证：AD•AC=DC•EA；

（2）若AC=〃AB（〃为正整数），求tan/CZ）尸的值.

（太原市竞赛试题）

B级

1.如图，两个同心圆，点A在大圆上，4XY为小圆的害U线，若4X・AY=8,则圆环的面积为（）

A.4乃B.87rC.12乃D.16乃

（咸阳市中考试题）

2.如图，P为圆外一点，P4切圆于A,PA=8,直线PCB交圆于C、B,且PC=4,A£>_L8C于。，Z

sina

A8C=a,ZACB=B.连结AB、AC,则一1的值等于（）

smP

A.；B.3C.2D.4

（黑龙江省中考试题）

（第1题图）（第2题图）（第3题图）

3.如图，正方形ABC。内接于。0,E为。C的中点，直线BE交。。于点R若。。的半径为明,

则的长为（）

A.3B.交c6石64石

C.-------L）•---------

2255

（南京市中考试题）

4.如图，己知。。的半径为12,锐角△ABC内接于。0,14c于点。，0MJ_A8于点M,则sin

NCBD的值等于（)

A.0M的长B.20M的长C.CZ)的长D.2CC的长

（武汉市中考试题）

（第4题图）（第5题图）（第6题图）

5.如图，尸C为。0的切线，C为切点，PAB是过0点的割线，CDLAB于。.若tanZB=1,PC=10cm,

求△BCD的面积.

（北京市海淀区中考试题）

6.如图，已知CF为。。的直径，CB为。0的弦，CB的延长线与过F的。0的切线交于点P.

（1）若NP=45°,PF=10,求。。半径的长；

（2）若E为BC上一点，且满足PW=PB-PC,连结FE并延长交。。于点A求证：点A是病的中

点.

（济南市中考试题）

7.己知AC、AB是。。的弦，AB>AC.

（1）如图1,能否在AB上确定一点E,使A（SAE・A5?为什么？

（2）如图2,在条件（1）的结论下延长EC到P,连结PB,如果尸8=PE,试判断PB与。。的位置

关系并说明理由；

（3）在条件（2）的情况下，如果E是PO的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？

（重庆市中考试题）

B

图1

（第7题图）（第8题图）

PBPC

8.如图，P为。。外一点，尸4与。。切于A,P8C是。。的割线，AO_LP。于。，求证：而=而.

（四川省竞赛试题）

9.如图，正方形0A3C的顶点O在坐标原点，且。A边和A8边所在的直线的解析式分别为：=x

和产,X+筌.£>、E分别为边0C和AB的中点，P为。4边上一动点（点P与点。不重合），连接QE

33

和CP,其交点为。.

（1）求证：点Q为△COP的外心；

（2）求正方形0ABe的边长；

（3）当。。与AB相切时，求点P的坐标.

（河北省中考试题）

B0

（第9题图）（第10题图）（第11题图）

10.如图，已知BC是半圆。的直径，。是公的中点，四边形ABC。的对角线AC、BD交于点E.

(1)求证：AC-BC=2BD-CD；

(2)若AE=3,CD=2y[5,求弦AB和直径BC的长.

(天津市竞赛试题)

11.如图，P4是。。的切线，切点为A,P2C是。。的割线，AD±OP,垂足为D

证明：ADr^BD•CD.

(全国初中数学联合竞赛试题)

专题22与圆相关的比例线段

例1设CE=4k,则DA=DF=3k,AF=AC^8>/5,由凡4?=，即(8色=3公10%,得d=笥，而

AE^EF2-AF2=736k2-320=8,又故AB=AE+BE=24.例2C例31提示：

AE8

2222

设EB=x,则4E=4x.设CB=y,则由C£)2=CB-C4,DE=AE-EB,DE+EC=DC,得4=y(y+5x),

4x2+(x+y)2=4.例4(1)联结OB,OP,可证明△BDCs△以£,有PE2=PA-PF.又：OC为"BD

2

的中位线，...。。〃4。，则CE1OC,知CE为。。的切线，故PC?=PA,PF,有PE?=PC,BPPE=PC.

（例5题图）图2

（例6题图）

例6解法一：如图1,过P作PH_LST于H,则//是ST的中点，由勾股定理得PC?=p〃2+=p52一

SH2+CH2=PS2-SH2+CH2=PS2-(SH-CH)(SH+CH)=PS2-SC-C7.又由切割线定理和相交弦

定理，有PC?=PA-PB-AC-CB=PA-PB-(PC-PA)(PB-PC)=2PA-PB-(PA+PB)PC+PC2,

APC=|^^,即专=4胎+专).解法二：如图2,联结交ST于0,则P°J_ST.联结S°'作

于E,则E为A8的中点，于是PE="詈二°C,E,O,。四点共圆，；.PC•PE=PC,PO.：RASPZ)S

Rt&OPS,：.PS2=PA-PB,：.PC=PA-PB,即卷=：信+京).

A级1.V222.V6提示：4BDE咨ACFE,DE=EF,OF=FE=ED,设OF=x,则OA=OD=3x,AE=5x,由

CE•BE=AE-ED,得=x•5x,x—1,：.CD=y/CE2+DE2=V6.3.4cm4.45.D6.B7.A8.C9.(1)

略(2)48=—=12,XkEDsXABE,—=些=它.设DE=&x,BE=2x,而DE?+BE2=BD2,解得后述".

ADBEAB2

DE=y/2-V6=2V3.10.(1)略(2)PA2=PB-PC,PA=PD,PD=DC,(PB+BD~)2=PB-2(PB+BD~).

可得PB=BD=¥>D,：.PB=PD=^DC,：.2BP2=BD•CD.又,；BD-CD=AD-DE,：.2BP2=AD-AE.11.作

OE_LAC于E,则AC^-AE,AG=aOE.由切害U线定理得AG?=AF•4C=4F二4后，i^—DE2=AF--AE,

42444

BP5DE2=AF-AE.'：AB=5DE,：.AB-ED=AF-4E,于是空=—.XZBAF=ZAE£>=90o,：./\BAF^/XAED,

AEED

于是又NA8F=NE4D

VZEAD+ZDAB=90°,...NABF+NDAB=90°,故ADJ_BE.

AnFA

12.⑴如图，连接AD,AE.VZDAC-ZDAE,AAADC^AEAC^—=——AD»AC=DC•EA.

DCAC

⑵,.•/CDF=N1=N2=NDEA,；.tanNCDF=tan/DEA=乂.由⑴知丝=变，故tanZCDF=变.由圆

AEAEACAC

的切割线定理知AC2=£>C・EC,而EC=ED+DC,贝ijAC?=OC（DC+££>）.又AC=nAB,ED=AB,代入上

故AC="'*"-.显然,上式只能取加

式得n2AB2=DC（DC+AB）,KPDC2+AB»DC-n2AB2=0

B级

1.B2.B3.C4.A5.提示：53=丝=0=_1=".设AD=X,

CDDB2BC

DAAT1

则CD=2x,DB=4x,AB=5x,由△PACs/\pcB得，—,；.PA=5,又P（^=PA/»PE,即

PCCB2

%5»,解得：x=3,，AD=3,CD=6,DB=12,5„=-CD»DB=36.

BrCDn2

6.⑴略.（2）连接FB,证明PF=PE,ZBFA=ZAFC.

7.⑴能.连接BC,作NACE=NB,CE交AB于E.(2)PB与。O相切.(3)C是PE的中点.

8.连接OA、OB、OC,则P*=PO・PO=PB・PC,于是，B、C、0、D四点共圆，＜APCD^APOB,

噎唱噢①'又由POCsSBD得娶考②,由①②得竺PC

BD~CD

a

9.⑴略（2）A（4,3）,0A=5.（3）P（3,