《第二章 一元二次函数、方程和不等式》考点讲解与同步练习

《第二章一元二次函数、方程和不等式》考点讲解与同步练习

2.1等式性质与不等式的性质

【思维导图】

等

式

与

不

等

式

性

质

a>b=bVa

a>b,b>c=>a>c

a>b=a+c>b+c

a>b,c>O=ac>bc；a>b,cVO=acVbc

不等

a>b,c>d=>a+c>b+d

式性质

a>b>0,c>d>O=>ac>bd

a>b>O^>a

<2>6>0X>y/a.>^/b(neN,n>2)

【常见考点】

等式性质与

不等式性质

考点一等式性质

【例1】下列变形中错误的是（

A.若％=丁，则x+5=y+5B.若2=则]=y

aa

C.若-3x=_3y,则x=yD.若1=八则二=工

mm

【一隅三反】

1.根据等式的性质判断下列变形正确的是（）

2r3

A.如果2x=3,那么——=—B.如果％=V,那么尤一5=5-y

aa

C.如果，x=6,那么工=3

D.如果％=y,那么—2x=-2y

2

2.若a=b,则下列变形正确的是（

石三，ab

A.3a=3+bB.——=——C.5-a=5+bD.a+b-G

22

考点二不等式性质

【例2】对于任意实数a,b,c,则下列四个命题：

①若a>b,cw0,贝！Jac>Z?c；

②若则a/〉》/；

③若ac2>be2，则a>b；

④若则一<—.

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【一隅三反】

1.下列命题正确的是（）

A.若ct>b,则一<不B.若a>b,则a?>b?

ab

C.若a>b,c<d,贝！Ja-c>Z?-dD.若a>b,c>d，贝ijac>bd

2.若〃、b、。为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则ac2>bc2B.若a<Z?<0,贝

eba

C.若a<b<0,贝U—<—D.若a<b<0,则—>一

abab

3.下列结论正确的是（

A.若则B.若［2<〃，则

ba

C.若a>b,c>d则Q-d>/?-cD.若a>b,则ac?〉/?/

考点三比较大小

【例3】已知a,A均为正实数，试利用作差法比较〃3+)3与/方+"2的大小.

【一隅三反】

1.已知谢#，耻静脸&工虬那么,，瓦的大小关系是()

A.a>b>—b>—aB.a>—b>—a>b

C.a>—b>b>—aD.a>b>—a>—b

2.设a=Z?=—c=—,则。的大小关系为().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

考点四代数式的取值范围

【例4】(1)已知—l<x+y<l,l<x—y<3,则8工1；；的取值范围是()

887

A.[2,2]B.1,2C.[2,27]D,1,2

(2)已知实数X,>满足T<x—y<—1,—l<4x—y<5,则9x—y的取值范围是()

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

【一隅三反】

1.已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且1</(—1)<2,3</(1)<4,则/(3)的取

值范围为()

A.[6,10]B.[21,30]C.—D.[4,12]

22

2.若2<a<5,3<b<10,则a—2〃的范围为

3.已知x—2y=6,x-3y=4,则d一5q+6/的值为.

考点五不等式证明

【例5】已知a>/?>0,c<0,求证：—>—.

ab

【一隅三反】

1.证明不等式(色中)里(a,beR).

2.如果a>Z?>0,c>d>0,证明：ac>bd.

3.已知a>Z?>c>d>0,ad—be.

(I)证明：a+d>b+c；

(H)证明：aabbcc>abbcca.

2.1等式性质与不等式的性质答案解析

考点一等式性质

【例1】下列变形中错误的是（）

A.若％=丁，则x+5=y+5B.若土=上，则x=y

aa

%Y

C.若一3尤=-3y,则x=yD.若％=丁，则一=」

mm

【答案】D

【解析】根据等式的性质易知A,B,c正确；对于D,当加=0时，x=y两边都除以冽无

意义，故本选项错误.故选:D.

【一隅三反】

1.根据等式的性质判断下列变形正确的是（）

2r3

A.如果2x=3,那么——=-B.如果尤=丁，那么x—5=5-y

aa

C.如果一x=6,那么x=3D.如果x=y,那么一2x=-2y

2

【答案】D

【解析】对于A,没有aw0的条件，等式的两边不能都除以。，故选项A不正确；对于B,

等式的左边减去5,等式的右边乘以-1后加上5,等式不成立，故选项B不正确；对于C,

等式的左边乘以2,等式的右边除以2,等式不成立，故选项C不正确；对于D,等式的两

边都乘以-2,等式成立，故选项D正确.故选:D.

2.若a=b,则下列变形正确的是（）

ab

A.3a=3+bB.——=——C.5-a=5+bD.a+b=O

22

【答案】B

【解析】对于A,根据等式的性质，得3a=3b,故该选项错误；对于B,根据等式的性质，

ah

得--=——,故该选项正确；对于C,根据等式的性质，得5+a=5+b或5—a=5—

22

故该选项错误；对于D,根据等式的性质，得a-6=0,故该选项错误.故选:B.

考点二不等式性质

【例2】对于任意实数a,b,c,则下列四个命题：

①若a>b,c。0,则ac>；②若a>b,则ac2>be2;

③若ac2>be2，则a>6；④若a>b,则,<g.

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】a>6时，若c<0,则ac<Z?c,①错误；

若c=0,则ac2=be2，②错误；

若ac1>be1，则c?>o,,③正确；

a>b,若a>U>b,仍然有工〉一，④错误.

ab

正确的只有1个.故选：C.

本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较法

【一隅三反】

1.下列命题正确的是（）

A.若a>b,则一<—B.若a>b,则

ab

C.若a>b，c<d,则a-c>b-dD.若a>b，c>d，则ac>bd

【答案】C

【解析】A.若。>上，则!<！，取a=l力=-1不成立

ab

B.若则/>〃，取［=0乃=—1不成立

C.若a>b,c<d,则正确

D.若〃>/?,c>d,则,取=一l,c=l,d=-2不成立故答案选C

2•若〃、人、c为实数，则下列命题正确的是（）

22

A.若a>b,贝B.若a<b<0f贝1a>ab>b

a<b<0则,<一ba

C.若fD.若a<b<Q,则nl一〉一

abab

【答案】B

【解析】对于A选项，若。=0,则〃/二人/,故A不成立;

对于B选项，QQ<Z?<0,在不等式。同时乘以〃得a?>ab，

另一方面在不等式〃两边同时乘以Z?,得ab>/,/.a2>ab>b2故B成立；

对于选项C,在两边同时除以a6（必>。），可得一〈一，所以C不成立；

ba

r\i<1

对于选项D,令Q=—2,b=-l,则有，=—=2,—,所以D不成立.

b-1a2ab

故选B.

3.下列结论正确的是（）

A.若则B.若/<〃，贝|j〃<匕

ba

C.若c>d则Q-d>Z?-cD.若a>b,则〃

【答案】C

【解析】对于A,取a=l/=—1时，则A错误；

ba

对于B,取。=0力=-1时，a>b,贝|B错误；

对于C,因为。>瓦—d>—c,所以由不等式的性质可知。一2>〃一c,则C正确;

对于D,取c=0时，ac2=be2则D错误；故选：C

考点三比较大小

322

【例3］已知a,6均为正实数，试利用作差法比较«+尸与ab+ab的大小.

【答案】a3+b3>a2b+ab2

【解析】a3+b3-(a2b+ab2)=(苏一a2b^+伊一ab2)

=a~(a-b)+b~(b-a)=(a--b2^=(a-b)~(a+b).

又a,力均为正实数，

当a=b时，a-b=Q,a3+b3=a2b+ab~；

当a，b时，(a-。)2>0,a+。>0,

贝！1a3+b3>a2b+ab2-

综上所述，a3+b3>a2b+ab2.

-•作差法、作商法是比较两个实数(或代数式)大小的基本方法.

①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论.

②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论.

二.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a>。，b>c,贝ija>c;若a<。，b<c,那么a<c.其中6是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.

三.比较大小时应注意：(1)比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以先

平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；(2)作差时应该对差式进行恒等变形(如配

方、因式分解、有理化、通分等)，直到能明显看出其正负号为止；

【一隅三反】

1.已知硼带品以，睥悬布小，那么。力,一。,一5的大小关系是()

A.a>b>—b>—aB.a>—b>—a>b

C.a>—b>b>—aD.a>b>—a>—b

【答案】C

【解析】由:微#感净隗&T顺，则〃>一/7>0,所以一〃</?,所以〃>-/?>/?>-〃，故选

C.

2.设〃=，则。，瓦c的大小关系为().

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

【解析】b=A/7一百二屿+6,c—V6—A/2=,•:不+6〉戈+6，

44

**y/l+y/3^6+V2,.•b<c.又a—c==^/^-\[^>0，故综上

可得：a>c>b.

故选：B.

考点四代数式的取值范围

【例4】(1)已知—l<x+y<l,l<x—y<3,则8、1；)的取值范围是()

887

A.[2,2]B.1,2C.[2,2，]D.12

(2)已知实数x,y满足—4<x—y<—1,-L<4x—y<5,则9x—y的取值范围是()

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

【答案】(1)C(2)B

【解析】⑴令3x—y=s(x+y)+/(x_y)=(s+/)x+(sT)y

s+t=31s=l

s—t=—l[，=2

又一lKx+y<l,­••：.(i)l<x-y<3,

2V2(x-y)<6…②.,<①+②得1«3x—y47.

则=23x-7e[2,27].故选C.

n-m

3

(2)令加==4x-y,

nn-4m

贝！J2=9x—y=—M——m*/—4<m<—1/.—<——m<——,

33333

QQ40Q5

又一1<〃<5,——<—n<——，因此一1<z=9x-y=—〃——m<20,故本题选B.

333-33

代数式的取值范围的一般思路：

(1)借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

(2)借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；

(3)结合不等式的传递性进行求解

【一隅三反】

1.已知二次函数y=f(x)的图象过原点，且lW/(—l)W2,3W/(l)W4,则/(3)的取值

范围为()

A.[6,10]B.[21,30]C.D.[4,12]

【答案】B

【解析】••・二次函数，=/(无)的图像过原点，

设二次函数为：/(x)=ax2+bx,

-l</(-l)<2,3</(1)<4,

l<a-b<2...①，3<a+b<4....②，

则3①+6②得：21W9。+3/?W30即21W7(3)W30,故选：B.

2.若2<a<5,3<3<10,则a—2b的范围为

【答案】(—18,—1)

【解析】依题意可知—20<—2〃<-6,由于2<〃<5,由不等式的性质可知

-18<a-2Z?<-1.故填：(-18,-1).

3.已知x—2y=6,x—3y=4,贝ij/一5盯+6j?的值为.

【答案】24

【解析】由题得k-5q+6_/=(x—2y)(x-3y)=6x4=24.故答案为：2

考点五不等式证明

【例5】已知〃>Z?>0,cvO,求证：—>—.

ab

【答案】证明见解析.

【解析】一="工c(j),

ababab

因为a>b>0,c<0,所以人一avO,a/?>0故4^——>0,即证:

ab

cc

ab

【一隅三反】

1.证明不等式(色中)l">2gbeR).

【答案】证明见解析.

【解析】证明：因为1+从22",

所以2(a2+b2)>a2+b2+2ab,

所以2(。2+/)»(。+匕)2

两边同除以4,即得,当且仅当a=6时，取等号.

2.如果〃>b>0,c>d>0,证明：ac>bd.

【答案】证明见解析.

【解析】证明：由〃>b>0,c>0,则QC>Z?C>0,

又c>d>0,b>0,贝！JZ?c>bd,又ac>bc，故ac>bd.

3.已知a>/?><:>d>0,ad-bc.

(I)证明：a+d>b+c；

(II)证明:aabbcc>abbcca.

【答案】(I)见解析；(II)见解析

【解析】(I)由a>b>c>d>0得a—d>b—c>0,即(a—#?>(6—c))

由ad=bc(a—d)2+4a(7>(b~c)2+4bc,即(a+#(/?+c)2,故a+d>b+c.

aabbcc

(II)———=d

abbcca

因为a＞Z?＞0,所以，＞1,a—人〉0,故同理，（2）人。＞1.

bbc

从而（f严心尸＞1.即相而（＞abbcca

bc

2.2基本不等式

【思维导图】

ae足/€£,/+62*功＞,当且仅当0=5时取“="

＞0、62而，当且仅当a=B时取"="

2

公式而《（方~）

基

本

不

等

式

已知x>0,y>0,则

最值若工+『为定值S,则当且仅当时，积W有最大值一（简记：和定积最大）;

定理4

若亚.为定值，，则当且仅当x=j时，和x+j，有最小值2折（简记：积定和最小）.

【常见考点】

考点一公式直接运用）

考点二条件型

考点三配凑型

考点五求参数［）

考点六实际应用题）

考点一公式的直接运用

【例1】⑴若0<a<g,则a。—2a）的最大值是（

)

111

A.—B.-C.一D.1

842

（2）已知%>—1,求函数丁二%+的最小值是（)

X+1

A.4B.3C.2D.1

【一隅三反】

1.若。>1,则。+工的最小值是（）

6Z—1

A.1B.2C.3D.4

4

2.已知x>2,函数y=----+%的最小值是()

x-2

A.5B.4C.8D.6

3.已知函数〃％）=4%+0（%>0,。>0）在％=3时取得最小值，则。=

X

考点二条件型

11

【例2】（1）已知实数x>0,y>0,x+3y=l,则一+一的最小值为（）

xy

A.6B.2+273C.4+73D.4+2百

(2)已知实数a>0,b>0,'+'=1,则“+%的最小值是()

6Z+1b+1

A.3亚B.242c.3D.2

【一隅三反】

1.己知%>o,y>o,x+y=i,则'+'的最小值是（）

xy

A.2B.25/2C.4D.2百

13「

2.若正数X,y满足一+—=5,则3x+4y的最小值是（)

y%

2428

A.—B.—C.5D.25

55

12

3.已知a>O,b>。，—l—=2,则Q+Z?的最小值为

ab

考点三配凑型

【例3】⑴已知/（X）=X2+3X+6（X〉O）,则/（%）的最小值是一

X+1

14

（2）已知正数X、>满足x+y=l,则一+;一的最小值为

x1+y

【一隅三反】

1.设光<一］,求y=（%+5）（%+2）的最大值.

x+1

2.函数丁二尤%2+3x+3（尤〉-!）的最小值为（）

X+1

A.3B.2C.1D.-1

3.已知则-（龙）=一片：5有（）

A.最大值3B.最小值3C.最大值1

D.最小值1

44

考点四换元法

【例4】已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）

911

A.3B.4C.-D.—

22

【一隅三反】

1.若正数MV满足％2+.—2=0,则3x+y的最小值是（)

A.4B.2A/2C.2D.4夜

2.已知a,b>0,且满足/+ab=l，则3。+8的最小值为()

A.V2B.73C.2亚D,273

3

3.若正数％,丁满足x+4y-孙=。，贝IJ的最大值为（)

x+y

13八3

A.—B.—C.一D.1

387

4.已知实数满足12—4邛—5/=5,则/+2丁的最小值为（

51010

A.-B.——C.—D.4

339

考点五求参数

(1a、

【例5】已知不等式（x+y）—+—>9对任意实数x、丁恒成立，则实数。的最小值为

(%y)

)

A.8B.6C.4D.2

【一隅三反】

X

1.若对于任意x>0,~:------<a恒成立，则》的取值范围是（)

x+3%+1

11、

A.—,+ooB.1,+8)C.(0,+oo)D.(5,+8)

5

若对任意正数x,不等式――。I1

2.v—J恒成立，则实数a的取值范围为（）

%2+4x

111

A.[0,-KO)B.—,+coC.—,+ooD.—,+co

442

21,

3.若两个正实数x,y满足一+—=1,且x+2y>加2+2加恒成立，则实数力的取值范围

xy

是()

A.(-oo,-2)U[4,H^o)B.(-oo,-4]U[2,+oo)

c.(T2)D.(-2,4)

考点六实际应用题

【例6】某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400平方米的三级污水处理池，如图

R3—1所示.已知池外墙造价为每米200元，中间两条隔墙造价为每米250元，池底造价为

每平方米80元（池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖）.若使污水处理池的总造价最低，

那么污水处理池的长和宽分别为（）

图R3-1

A.40米，10米B.20米，20米C.30米，一米D.50米，8米

3

【一隅三反】

1.设计用32nl2的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m,

则车厢的最大容积是()

A.(38-3V73)m3B.16m3C.4V2m3D.14m3

2.将一根铁丝切割成三段，做一个面积为2加2,形状为直角三角形的框架，在下列4种长

度的铁丝中，选用最合理共用且浪费最少的是()

A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m

3.某公司一年需要购买某种原材料400吨，计划每次购买x吨，已知每次的运费为4万元

/次，一年总的库存费用为4x万元，为了使总的费用最低，每次购买的数量x为；

2.2基本不等式答案解析

考点一公式的直接运用

【例1】(1)若则a(l—2a)的最大值是()

111

A.—B.—C.—D.1

842

(2)已知x>—l,求函数y=x+一一的最小值是()

X+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】(1)A(2)D

【解析】(1)0<a<~,故1—2a>0,则

2

a(1-2a)=-(2a)(1-2a)<-•f2a+(1-2a)^=』，当q时取“=”，所以正确选

22(2)84

项为A

(2)由x>-l,即x+l>0,所以

y=x+二一=(x+l)+」一—+=尤=0时取“="，所以正确选

x+1V'x+1V'x+1

项为D

考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。

【一隅三反】

1.若。>1,则。+二二的最小值是()

6Z—1

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】则a—1〉0,a+-^—=(a-l)+—+l>3,当a=2时取“=”，所以

a—1a—1

正确选项为C

4

2.已知x>2,函数y=--+元的最小值是()

x-2

A.5B.4C.8D.6

【答案】D

【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，

般=-----普雷=-----#《雷一③|：得公，因为窸海毒口益一售酒的，由重要不等式可知

雷一翼鉴一鬟

----#：《塞:-③|壁4,所以/壁幅，本题正确选项为D.

雷一鲁

3.已知函数/(1)=4工+05>0,a>0)在％=3时取得最小值，则。=

X

【答案】36

【解析】因为/'(x)=4x+—(x>0,a>0),所以霓礴：=4般带男逆,鼻%科学，当且

x八"V富

仅当琳般=%:即富•=',由题意整，解得娥=舒&

考点二条件型

11

【例2】（1）已知实数x>0,y>0,x+3y=l,则一+一的最小值为（）

xy

A.6B.2+273c.4+73D.4+2g

（2）己知实数a〉0,b>0,-一+—=1,则a+2）的最小值是（）

«+lb+1

A.3亚B.272C.3D.2

【答案】Cl)D(2)B

(ii)

【解析】（1）-+-=（x+3j；）—H■一=4H——H—>4+2^/3,正确选项为D

xyUy)%y

+^—=1

(2),：a>Q,b>0,

a+1Z7+1

o+2/j=(a+l)+2(Z?+l)-3=[(tz+l)+2(Z?+l)]-(-^—+^-)-3=[1+2+2(/7^12+^-1]-3

a+1b+\a+lZ?+l

*2反3=20当且仅当子:署，即”"六日时取等号.故选B

条件型（乘K法）：和为定值K,求倒数和的最小值，采用乘K法

【一隅三反】

11

1.已知%>o,y>o,x+y=1,则一+一的最小值是()

%y

A.2B.2&c.4D.26

【答案】C

【解析】-+-=f-+-\x+y)=2+^+->2+2K^=4(当且仅当上=土，即

xyy)xyyxy

ii

%=y时取等号）「•一+—的最小值为4故选：c

%y

13厂

2.若正数X,y满足一+—=5,则3x+4y的最小值是（

y冗

D.25

【答案】c

13二

【解析】•.•正数x,y满足一+—=5,则

y%

3x+4v=1(3x+4<l+-)=l13+—+>113+3x2-x^=5,当且仅当

5yx5(yxJ5(yJyx)

x=2y=l时取等号.；.3x+4y的最小值是5.故选：C.

12

3.已知a>03>0,—+—=2,则a+b的最小值为_____________:

ab

3+20

【答案】

2

【解析】采用常数1的替换,

“3+25]

2a}3+20,当2二%即

~b)ab,2ab

"萼力=2乎时等号成立’所以答案为三也.

考点三配凑型

【例3】(1)已知/(X)=X2+3X+6(X〉0),贝4/(%)的最小值是

X+1

♦14

⑶已知正数X、y满足x+y=l'则丁1T7的最小值为

9

【答案】(1)5(2)-

2

【解析】当x>0时，%+1>1,

(犬+3%+2)+44/、4\(4-

/(%)=-------------------=%+2d--------=(x+l)d---------1-122J(x+1)-------+1=5

V7x+1x+1I)x+1Vx+1

4

当且仅当冗+1=—，即当％=1时，等号成立，

X+1

因此，函数y=/(%)(%>。)的最小值为5.故答案为：5.

(2)vx+y=l,所以，x+(l+y)=2,

14、「八、_,14、4x1+VLCI4x_1+y__

贝!J2(一+---)=[x+(1+y)](—+)=-------1-------H5..2------•--------F5=9,

x1+yx1+y1+yx、1+yx

…149

所以，一十;---••彳，

x1+y2

2

4x_1+yX--

当且仅当(1+yx,即当<；3时，等号成立,

x+y=l

149

因此，一+;一的最小值为一，故选：B.

X1+y2

1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分

子分母同除一次函数

2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，

即降次-配凑-均值不等式

【一隅三反】

1设x<—1,求丫=「+5）』+2）的最大值.

X+1

【答案】1

【解析】Vx<—l,/.x+l<0—(x+1)>0

所以y=(x+5)(x+2)炉+7尤+10(X+1)2+5(X+1)+4

=x+l+—+5

x+1x+1x+1x+1

4

--(x+l)H--------------+5<-274+5=1

一(%+1)

当且仅当（x+1）2=4,即x=—3时等号成立

所以“史告辿的最大值为1

2.函数y=.■X2+3x+3(%〉-1)的最小值为()

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】%>-1,则x+l>0,

12+3%+3=(%+1)2+(%+1)+]+J+L当％=o时取“=”，所以

x+1x+1x+1

正确选项为A.

3.已知X..2,则无）=『一4.+5有（）

2v'2x-4

A.最大值3B.最小值3C.最大值1D.最小值1

44

【答案】D

—A-x+50-2)2+11…;x2.(3T=1

【解析】fkx）=