集合的基本概念

关于集合的基本概念3.1集合的基本概念集合的概念是数学中的基本概念，故无法对集合下一个确切的定义，正象在几何中无法定义点、直线一样。因此，我们只能对它进行描述。一、集合的概念第2页,共35页，星期六，2024年，5月集合是人们直观上或思想上能够明确区分的一些确定的、彼此不同的事物或属性所构成的整体。每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。

组成集合的事物被称为集合的元素，同一集合中的元素之间可以有某种关联，也可以彼此毫无关系。集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，等同于{1，2}。互异性使集合中的元素没有重复，两个相同的对象在同一个集合中时，只能算作这个集合的一个元素。

集合中的元素没有次序关系。{a,b,c}{c,b,a}是同一个集合集合通常用大写英文字母来标记，集合中的元素用小写字母表示第3页,共35页，星期六，2024年，5月二、集合的表示方法列举法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在花括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}描述法：常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在花括号内﹐

如：：A={x|0<x<π}

B=第4页,共35页，星期六，2024年，5月1.子集、全集与空集子集描述了一个集合与另一个集合之间的关系，其定义如下。定义：

设A和B是任意两个集合，如果集合A的每个元素，都是集合B中的一个元素，则称A是B的子集，或称A被包含于B中，或者说B包含A，并记为A

B。三、集合间的关系第5页,共35页，星期六，2024年，5月本定义也可表成：A

B

(

x)(x

A

x

B)这表明，要证明A

B，只需对任意元素x，有下式：x

A

x

B成立即可。此外，若集合B不包含集合A，记为A

B。/第6页,共35页，星期六，2024年，5月定义：

设A和B是两个集合，若A

B且A

B，则称A是B的真子集，记为A

B，也称B真包含A。该定义也可表为：A

B

(A

B

A

B)第7页,共35页，星期六，2024年，5月定义：设A和B是两个集合，若A

B且B

A，则称A和B相等，记为A=B该定义也可表为：A=B

(A

B

B

A)由以上定义可知，两个集合相等的充分必要条件是它们具有相同的元素第8页,共35页，星期六，2024年，5月定义：没有任何元素的集合，称为空集，记为

，它可形式地表为：

={x|P(x)

P(x)}其中P(x)为任何谓词公式。由定义可知，对任何集合A，有

A。这是因为任意元素x，公式x

x

A总是为真注:空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”,空集也被认为是有限集合

第9页,共35页，星期六，2024年，5月注意，

与{

}是不同的，空集是唯一的{

}是以

为元素的集合，而

没有任何元素能用

构成集合的无限序列：(1)

，{

}，{{

}}，···该序列除第一项外，每项均以前一项为元素的集合。(2)

，{

}，{

，{

}}，···该序列除第一项外，每项均以前面各项为元素的集合第10页,共35页，星期六，2024年，5月定义：

如果一个集合包含了所要讨论的每一个集合，则称该集合为全集，记为U或E。它可形式地表为：E={x|P(x)

P(x)}其中P(x)为任何谓词公式。显然，全集E即是第二章中的全总论域。于是，每个元素x都属于全集E，由定义易知，对任意集合A，都有A

E。全集是个相对性概念，在实际应用中，常常根据具体问题作出选择。第11页,共35页，星期六，2024年，5月2．集合的幂集一个集合的幂集是指该集合所有子集的集合，即是由这些子集所组成的集合族。定义：

设A为一集合，A的幂集是一集合族，记为P(A)，P(A)={B|B

A}由定义可知，

P(A)，A

P(A)。

注意：n元集合有2n个子集。若A是n元集，则P(A)有2n个元素第12页,共35页，星期六，2024年，5月3．集合的基数表示集合中元素多少或度量集合大小的数，称作集合的基数或势。一个集合A的基数，记为|A|。如果一个集合恰有m个不同的元素，且m是某个非负整数，称该集合是有限的或有穷的，否则称这个集合为无限的或无穷的。第13页,共35页，星期六，2024年，5月本书中常见的无穷集合有：N={0,1,2,3,···}，即自然数集合。Z={···,-2,-1,0,1,2,3,···}，即整数集合。Z+={1,2,3,···}，即正整数集合。Q=有理数集合。R=实数集合。C=复数集合。第14页,共35页，星期六，2024年，5月3.2集合运算及其性质集合运算是指用已知的集合去生成新的集合。假设所有集合都是全集E的子集，即这些集合是利用子集公理得到的。常见的集合运算有：并、交和差运算、绝对补集、对称差第15页,共35页，星期六，2024年，5月1．并、交和差运算定义:设A和B是任意两个集合，①A和B的并是集合，记为A∪B，A∪B={x|x

A

x

B}②A和B的交是集合，记为A∩B，A∩B={x|x

A

x

B}③

A和B的差，或B关于A的相对补是集合，记为A-B，A-B={x|x

A

x

B}第16页,共35页，星期六，2024年，5月④若A和B是集合，且A∩B=

，则称A和B是不相交的。第17页,共35页，星期六，2024年，5月2.绝对补集、对称差①集合A的绝对补集是集合（即相对于全集的补 集），记为～A

～A=E-A={x|x

E

x

A}={x|x

A}例如:全集U={1，2，3，4，5},若A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是A的补集。

～A={3，4}。

第18页,共35页，星期六，2024年，5月②任给集合A和B，A和B的对称差是集合，记为A

B，A

B=(A-B)∪(B-A)

={x|(x

A

x

B)

(x

B

x

A)}例如：A={a,b,c},B={b,d},

则A

B={a,c,d}

对称差运算的另一种定义是：

A

B=（A∪B）-(A∩B)

第19页,共35页，星期六，2024年，5月3．文氏图文氏(Venn)图是一种利用平面上的点构成的图形来形象展示集合的一种方法。全集E用一个矩形的内部表示，其他集合用矩形内的圆面或一封闭曲线圈成的面积来表示第20页,共35页，星期六，2024年，5月（1）等幂律 A∪A=A

A∩A=A（2）结合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)（3）交换律 A∪B=B∪A

A∩B=B∩A（4）分配律 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)（5）同一律 A∪

=A

A∩E=A4.主要算律第21页,共35页，星期六，2024年，5月（6）零律 A∪E=E

A∩

=

（7）排中律

A∪～A=E

A∩～A=

（8）吸收律 A∪(A∩B)=A

A∩(A∪B)=A（9）德·摩根律～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B（10）双重否定律～(～A)=A第22页,共35页，星期六，2024年，5月（11）排中律A∪～A=E，（12）矛盾律A∩～A=

。推论： ①～A

～B=A

B ②A

B=B

A ③A

A=

第23页,共35页，星期六，2024年，5月问题：如何用集合的概念来描述一些现实问题？例1：设某计算机允许多道工作（设在此处道数为2），其内存分配如下：系统区，第一道作业区和公共区，第二道作业区和公共区。试用集合表示出：⑴第一道作业的内存区域；⑵第二道作业的内存区域；⑶第一道作业不能访问的内存区域；⑷第二道作业不能访问的内存区域；第24页,共35页，星期六，2024年，5月⑴第一道作业的内存区域；⑵第二道作业的内存区域；⑶第一道作业不能访问的内存

区域；⑷第二道作业不能访问的内存

区域；整个内存组成全集E，系统区为集合S，第一道作业的专用区为集合A；第二道作业的专用区为集合B；第一、第二道作业的公共区为集合C；A∪C第25页,共35页，星期六，2024年，5月例2：某图书馆有藏书100万册，有一读者前往查阅。他希望了解所有19世纪的以描写农民生活为题材的长篇小说以及1979年出版的我国的不是描写文化大革命的长篇小说之书名。请将此读者所要了解之书名用集合描述。第26页,共35页，星期六，2024年，5月令：全集E为所有该图书馆藏书的书名集，F为所有十九世纪的书所组成的书名集H为所有描写农民生活题材的书所组成的书名集R为所有长篇小说所组成的书名集S为所有1979年出版的书所组成的书名集C为所有中国的书所组成的书名集K为所有描写文化大革命的书所组成的书名集读者所要了解之书名用集合描述如下：(R∩G∩F∩H)∪(S∩C∩～K)第27页,共35页，星期六，2024年，5月3.3集合中元素的计数1.基数：表示集合中所含元素多少的量记作：或cardA=n2.有穷集和无穷集定义：设A为集合，若存在自然数n（0也是自然数）。使得cardA=n，则称A为有穷集，否则称A为有无穷集第28页,共35页，星期六，2024年，5月3.包含排斥原理（1）两个集合的基数关系

设A1，A2为有限集合，其元素个数分别记为|A1|，|A2|，根据集合运算的定义，显然以下各式成立

|A1∪A2|≤|A1|+|A2|

|A1∩A2|≤min(|A1|，|A2|)

|A1-A2|≥|A1|-|A2|，

|A1⊕A2|＝|A1|+|A2|-2|A1∩A2|

第29页,共35页，星期六，2024年，5月（2）两个集合的包含排斥原理：|A1∪A2|＝(|A1|+|A2|)-|A1∩A2|

|A1∩A2|＝|S|-(|A1|+|A2|)+|A1∩A2|

∵～A1∩～A2=～(A1∪A2)=S-(A1∪A2)第30页,共35页，星期六，2024年，5月例题1假设在10名青年中有5名是工人，7名是学生，其中兼具有工人与学生双重身份的青年有3名，问既不是工人又不是学生的青年有几名?

解:设工人的集合为W，学生的集合为S，则根据题设有：|W|＝5，|S|＝7，|W∩S|＝3。则

|～W∩～S|＝10-(|W|+|S|-|W∩S|)＝10-(5+7-3)＝1

所以既不是工人又不是学生的青年有一名。或者是工人或者是学生的青年有九名。

|W∪S|＝(|W|+|S|)-|W∩S|＝5+7-3＝9第31页,共35页，星期六，2024年，5月（3）三个集合的包含排斥原理

对于任意三个集合A1，A2和A3，我们可以推广上述定理的结果为：

|A1∪A2∪A3|＝|A1|+|A2|+|A3|-|A1∩A2|-|A1∩A3|-|A2∩A3|-|A1∩A2∩A3|

|A1∩A2∩A3|＝|S|-（|A1|+|A2|+|A3|）+（|A1∩A