山东省菏泽市郓城县2025届九上数学期末考试试题含解析

山东省菏泽市郓城县2025届九上数学期末考试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB＝：2，CP：BP＝1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②＝PB•EF；③PF•EF＝2；④EF•EP＝4AO•PO．其中正确的是（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．③④2．如图是由6个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（）A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变3．如图，P是等腰直角△ABC外一点，把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，使点P′在△ABC内，已知∠AP′B＝135°，若连接P′C，P′A：P′C＝1：4，则P′A：P′B＝（）A．1：4 B．1：5 C．2： D．1：4．在平面直角坐标系中，抛物线经过变换后得到抛物线，则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位C．向左平移8个单位 D．向右平移8个单位5．如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡比是1：3，坡高BC＝20，则坡面AB的长度（）A．60 B．100 C．50 D．206．如图，在△ABC中，中线AD、BE相交于点F，EG∥BC，交AD于点G，则的值是（）A． B． C． D．7．已知关于x的方程x2﹣3x+2k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞ B．k＜ C．k＜﹣ D．k＜8．如图，AB是⊙O直径，若∠AOC＝100°，则∠D的度数是（）A．50° B．40° C．30° D．45°9．下列二次根式能与合并的是（）A． B． C． D．10．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）．A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边在其坐标轴上，以轴上的某一点为位似中心作矩形，使它与矩形位似，且点，的坐标分别为，，则点的坐标为__________．12．如图，为了测量塔的高度，小明在处仰望塔顶，测得仰角为，再往塔的方向前进至处，测得仰角为，那么塔的高度是____________．（小明的身高忽略不计，结果保留根号）13．如图，如果将半径为的圆形纸片剪去一个圆心角为的扇形，用剩下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的底面圆半径为______．14．如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是_______cm．15．方程x2=2的解是．16．抛物线y=（x﹣1）2+3的对称轴是直线_____．17．已知a+b＝0目a≠0，则＝_____．18．将正整数按照图示方式排列，请写出“2020”在第_____行左起第_____个数．三、解答题(共66分)19．（10分）已知关于的一元二次方程的两实数根，满足，求的取值范围.20．（6分）问题提出：如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．a．每次只能移动1个金属片；b．较大的金属片不能放在较小的金属片上面．把个金属片从1号针移到3号针，最少移动多少次？问题探究：为了探究规律，我们采用一般问题特殊化的方法，先从简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性结论．探究一：当时，只需把金属片从1号针移到3号针，用符号表示，共移动了1次．探究二：当时，为了避免将较大的金属片放在较小的金属片上面，我们利用2号针作为“中间针”，移动的顺序是：a．把第1个金属片从1号针移到2号针；b．把第2个金属片从1号针移到3号针；c．把第1个金属片从2号针移到3号针．用符号表示为：，，．共移动了3次．探究三：当时，把上面两个金属片作为一个整体，则归结为的情形，移动的顺序是：a．把上面两个金属片从1号针移到2号针；b．把第3个金属片从1号针移到3号针；c．把上面两个金属片从2号针移到3号针．其中（1）和（3）都需要借助中间针，用符号表示为：，，，，，，．共移动了7次．（1）探究四：请仿照前面步骤进行解答：当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：___________________________________________________．（2）探究五：根据上面的规律你可以发现当时，需要移动________次．（3）探究六：把个金属片从1号针移到3号针，最少移动________次．（4）探究七：如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，当时如果我们把个金属片从1号针移到3号针，最少移动的次数记为，那么与的关系是__________．21．（6分）如图，四边形OABC为平行四边形，B、C在⊙O上，A在⊙O外，sin∠OCB=．（1）求证：AB与⊙O相切；（2）若BC=10cm，求图中阴影部分的面积．22．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，过点C分别作AD、AB的垂线，交边AD、AB延长线于点E、F．（1）求证：；（2）联结AC，如果，求证：．23．（8分）在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（﹣3，0）．已知抛物线y＝﹣x2+2mx+3（m为常数），顶点为P．（1）当抛物线经过点A时，顶点P的坐标为；（2）在（1）的条件下，此抛物线与x轴的另一个交点为点B，与y轴交于点C．点Q为直线AC上方抛物线上一动点．①如图1，连接QA、QC，求△QAC的面积最大值；②如图2，若∠CBQ＝45°，请求出此时点Q坐标．24．（8分）已知：如图，∠ABC，射线BC上一点D，求作：等腰△PBD，使线段BD为等腰△PBD的底边，点P在∠ABC内部，且点P到∠ABC两边的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）25．（10分）对于平面直角坐标系中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当PA＝PB时，称点P为线段AB的正可视点．图1备用图（1）①如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；②若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．26．（10分）解方程：.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【解析】由条件设AD=x，AB=2x，就可以表示出CP=x，BP=x，用三角函数值可以求出∠EBC的度数和∠CEP的度数，则∠CEP=∠BEP，运用勾股定理及三角函数值就可以求出就可以求出BF、EF的值，从而可以求出结论．【详解】解：设AD=x，AB=2x∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，CD=AB，∠D=∠C=∠ABC=90°．DC∥AB∴BC=x，CD=2x∵CP：BP=1：2∴CP=x，BP=x∵E为DC的中点，∴CE=CD=x，∴tan∠CEP==，tan∠EBC==∴∠CEP=30°，∠EBC=30°∴∠CEB=60°∴∠PEB=30°∴∠CEP=∠PEB∴EP平分∠CEB，故①正确；∵DC∥AB，∴∠CEP=∠F=30°，∴∠F=∠EBP=30°，∠F=∠BEF=30°，∴△EBP∽△EFB，∴∴BE·BF=EF·BP∵∠F=∠BEF，∴BE=BF∴＝PB·EF，故②正确∵∠F=30°，∴PF=2PB=x，过点E作EG⊥AF于G，∴∠EGF=90°，∴EF=2EG=2x∴PF·EF=x·2x=8x22AD2=2×（x）2=6x2，∴PF·EF≠2AD2，故③错误.在Rt△ECP中，∵∠CEP=30°，∴EP=2PC=x∵tan∠PAB==∴∠PAB=30°∴∠APB=60°∴∠AOB=90°在Rt△AOB和Rt△POB中，由勾股定理得，AO=x，PO=x∴4AO·PO=4×x·x=4x2又EF·EP=2x·x=4x2∴EF·EP=4AO·PO．故④正确．故选，B【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，相似三角形的判定及性质的运用，特殊角的正切值的运用，勾股定理的运用及直角三角形的性质的运用，解答时根据比例关系设出未知数表示出线段的长度是关键．2、D【解析】试题分析：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为1，2，1；正方体①移走后的主视图正方形的个数为1，2；发生改变．将正方体①移走前的左视图正方形的个数为2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形的个数为2，1，1；没有发生改变．将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形的个数，1，3；发生改变．故选D．【考点】简单组合体的三视图．3、C【分析】连接AP，根据同角的余角相等可得∠ABP＝∠CBP′，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP′全等，根据全等三角形对应边相等可得AP＝CP′，连接PP′，根据旋转的性质可得△PBP′是等腰直角三角形，然后求出∠AP′P是直角，再利用勾股定理用AP′表示出PP′，又等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍，代入整理即可得解．【详解】解：如图，连接AP，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′，∴BP＝BP′，∠ABP+∠ABP′＝90°，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠CBP′+∠ABP′＝90°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，∵，∴△ABP≌△CBP′（SAS），∴AP＝P′C，∵P′A：P′C＝1：4，∴AP＝4P′A，连接PP′，则△PBP′是等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝135°，∴∠AP′P＝135°﹣45°＝90°，∴△APP′是直角三角形，设P′A＝x，则AP＝4x，∴PP'＝，∴P'B＝PB＝，∴P′A：P′B＝2：，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质以及判定，掌握全等三角形的五种判定方法的解本题的关键.4、B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）．y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）．所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+3）（x-5），故选B．【点睛】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．5、D【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【详解】Rt△ABC中，BC=20，tanA=1：3；∴AC=BC÷tanA=60，∴AB20．故选：D．【点睛】本题考查了学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，熟练运用勾股定理是解答本题的关键．6、C【分析】先证明AG=GD，得到GE为△ADC的中位线，由三角形的中位线可得GEDCBD；由EG∥BC，可证△GEF∽△BDF，由相似三角形的性质，可得；设GF=x，用含x的式子分别表示出AG和AF，则可求得答案．【详解】∵E为AC中点，EG∥BC，∴AG=GD，∴GE为△ADC的中位线，∴GEDCBD．∵EG∥BC，∴△GEF∽△BDF，∴，∴FD=2GF．设GF=x，则FD=2x，AG=GD=GF+FD=x+2x=3x，AF=AG+GF=3x+x=4x，∴．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理及性质，是解答本题的关键．7、B【分析】利用判别式的意义得到△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得△＝（﹣3）2﹣4•2k＞0，解得k＜．故选：B．【点睛】此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．8、B【分析】根据∠AOB=180°，∠AOC=100°，可得出∠BOC的度数，最后根据圆周角∠BDC与圆心角∠BOC所对的弧都是弧BC，即可求出∠BDC的度数.【详解】解：∵AB是⊙O直径，∴∠AOB=180°，∵∠AOC=100°，∴∠BOC=∠AOB－∠AOC=80°；∵所对的圆周角是∠BDC，圆心角是∠BOC，∴;故答案选B.【点睛】本题考查同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半，在做题时遇到已知圆心角，求圆周角的度数，可以通过计算，得出相应的圆心角的度数，即可得出圆周角的度数.9、C【分析】化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答．【详解】解：的被开方数是3，而=、=2、是最简二次根式，不能再化简，以上三数的被开方数分别是2、2、15，所以它们不是同类二次根式，不能合并，即选项A、B、D都不符合题意，=2的被开方数是3，与是同类二次根式，能合并，即选项C符合题意．故选：C.【点睛】本题考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．10、C【分析】根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.【详解】如图，矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长边长是a，短边长是b，则AB=CD=EF=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据相似多边形对应边成比例得：，即∴∴故选C.【点睛】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例建立方程是关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】首先求出位似图形的位似中心坐标，然后即可得出点D的坐标.【详解】连接BF交轴于P，如图所示：∵矩形和矩形，点，的坐标分别为，，∴点C的坐标为∵BC∥GF∴∴GP=1，PC=2，OP=3∴点P即为其位似中心∴OD=6∴点D坐标为故答案为：.【点睛】此题主要考查位似图形的性质，熟练掌握，即可解题.12、【分析】由题意易得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，即可证得△ABD是等腰三角形，然后利用三角函数，求得答案．【详解】解：根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，

∴∠ADB=∠DBC-∠A=30°，

∴∠ADB=∠A=30°，

∴BD=AB=60m，

∴CD=BD•sin60°=60×=30（m）．

故答案为：30．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得△ABD是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．13、cm【分析】设这个圆锥的底面圆半径为rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得到，然后解方程即可．【详解】解：设这个圆锥的底面圆半径为rcm，

根据题意得解得：,即这个圆锥的底面圆半径为cm故答案为：cm【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．14、25【详解】解：∵圆锥的底面周长是4π，则4π=nπ×4180∴n=180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°，∴在圆锥侧面展开图中AD=2，AB=4，∠BAD=90°，∴在圆锥侧面展开图中BD=20=2∴这只蚂蚁爬行的最短距离是25cm．故答案为：25．15、±【解析】试题分析：根据二次根式的性质或一元二次方程的直接开平方法解方程即可求得x=±．考点：一元二次方程的解法16、x=1【解析】解：∵y=（x﹣1）2+3，∴其对称轴为x=1．故答案为x=1．17、1【分析】先将分式变形，然后将代入即可．【详解】解：，故答案为1【点睛】本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．18、611【分析】根据图形中的数字，可以写出前n行的数字之和，然后即可计算出2020在多少行左起第几个数字，本题得以解决．【详解】解：由图可知，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则第n行n个数，故前n个数字的个数为：1+2+3+…+n＝，∵当n＝63时，前63行共有＝2016个数字，2020﹣2016＝1，∴2020在第61行左起第1个数，故答案为：61，1．【点睛】本题考查了数字类规律探究，从已有数字确定其变化规律是解题的关键.三、解答题(共66分)19、【分析】根据根与系数的关系建立关于a的不等式，再结合即可求出a的取值范围.【详解】解：依题意得，，∵，∴，解得，又由，解得，∴的取值范围为.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟记两根之和与两根之积的公式是解题的关键，还需要注意公式使用的前提是.20、（1）当时，移动顺序为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．（2），（3），（4）【分析】根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可．【详解】解：（1）当时，把上面3个金属片作为一个整体，移动的顺序是：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．故答案为：（1,2），（1,3），（2,3），（1,2），（3,1），（3,2），（1,2），（1,3），（2,3），（2,1），（3,1），（2,3），（1,2），（1,3），（2,3）．（2）解：设是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数n=1时，f（1）=1；n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小盘从3柱→2柱，大盘从1柱→3柱，小盘从2柱→1柱，中盘从2柱→3柱，小盘从1柱→3柱，完成．[用种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，故答案为：（3）由（2）知：故答案为：（4）故答案为：【点睛】本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题，根据题目信息，得出移动次数分成两段计数，利用盘子少一个时的移动次数移动到2柱，把最大的盘子移动到3柱，然后再用同样的次数从2柱移动到3柱，从而完成移动过程是解题的关键，本题对阅读并理解题目信息的能力要求比较高．21、（1）见解析（2）.【分析】连接OB，由sin∠OCB=求出∠OCB=45，再根据OB=OC及三角形的内角和求出∠BOC=90，再由四边形OABC为平行四边形，得出∠ABO=90即OB⊥AB，由此切线得到证明；（2）先求出半径，再由-S△BOC即可求出阴影部分的面积.【详解】连接OB，∵sin∠OCB=，∴∠OCB=45，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=45，∴∠BOC=90，∵四边形OABC为平行四边形，∴OC∥AB，∴∠ABO=90,即OB⊥AB，∴AB与⊙O相切；（2）在Rt△OBC中，BC=10，sin∠OCB=，∴，∴-S△BOC=.【点睛】此题考查圆的切线的判定定理、圆中阴影面积的求法，切线的判定口诀：有交点，连半径，证垂直；无交点，作垂直，证半径，熟记口诀并熟练用于解题是关键.在求阴影面积时，直线放在三角形或多边形中，弧线放在扇形中，再根据面积加减的关系求得.22、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明四边形是平行四边形即可解决问题．（2）由，，推出，可得，又与等高，推出，可得结论．【详解】解：（1）四边形是平行四边形，，，，，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，．（2）如图：，，，又，，，又∵，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．23、（1）（﹣1，4）；（2）①；②Q（﹣，）．【分析】（1）将点A坐标代入抛物线表达式并解得：m=-1，即可求解；（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，先求出直线AC的解析式，点Q(x，﹣x2﹣2x+3)，则点N(x，x+3)，则△QAC的面积S=×QN×OA=﹣x2﹣x，然后根据二次函数的性质即可求解；②tan∠OCB=＝，设HM=BM=x，则CM=3x，BC=BM+CM=4x=，解得：x=，CH=x=，则点H(0，)，同理可得：直线BH(Q)的表达式为：y=-x+，即可求解．【详解】解：（1）将点A(﹣3，0)代入抛物线表达式并解得，0＝﹣9-6m+3∴m＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3=-(x+1)2+4…①，∴点P(﹣1，4)，故答案为：(﹣1，4)；（2）①过点Q作y轴的平行线交AC于点N，如图1，设直线AC的解析式为y=kx+b，将点A(﹣3