人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)：第一课时 基本不等式学案

2.2基本不等式

第一课时基本不等式

课标要求素养要求

1.掌握基本不等式2（。＞0，。＞0）.

通过学习掌握基本不等式及其简单应

2.能灵活应用基本不等式解决一些证用，重点发展数学运算、逻辑推理素养.

明、比较大小问题.

课前预习知识探究

教材知识探究

A情境引入

如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标.它依据我国

著名数学家赵爽在研究勾股定理的弦图进行设计，颜色的明暗使其看起来像一

个风车.

问题依据会标，你能找到一些相等或不等关系吗?

提示由图可知

①次+/=3—0）2+2々0；

②"+廿三2时,当且仅当a=b时，取“=”.

A新知梳理

注意两个不等式成立的前提条件不一样，但等号成立的条件都是a=bl.a,

b《R,有"+廿三2时,当且仅当时，等号成立.特别地，如果a>0,b>0,

我们用g,也分别代替上式中的a,b,可得、应W券,当且仅当a=J时等号

成立.通常称此不等式为基本不等式，其中，审叫做正数a,6的算术平均数，

幅叫做正数a,b的几何平均数.

2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数丕小王它们的几何平均数.

基本不等式字》的的条件是a,b都是正数，取等号的条件是a=b,当

,,,ci-Fbi—

a<0,b<0时，贝[有~■2~W—yJab

教材拓展补遗

『微判断』

1“对任意实数a,Z?都成立.(X)

提示只有当a>0且人>0时，益才能成立.

2.若a>0,b>0且a中b,贝!Ja-\-b>2y[ab.(V)

Q+公|2

3.若a>0,b>0,则一—\.(J)

『微训练』

当a,8©R时，下列不等关系成立的是(填序号).

@a-b^2\[ab-,

③次十/三2a。；④a?一。222ab.

„2।L2a-\~h

『解析』根据下一巳溺，三一巳两成立的条件判断，知①②④错，只有③

正确.

『答案』③

『微思考』

〃2+〃2n-\-h

L不等式1―三帅和亍三厢中“=”成立的条件相同吗？

提示相同.都是当且仅当时等号成立.

2.“当且仅当。=6时，等号成立”的含义是什么？

.—4+加a~\-bI—

=

37E7J\6/Z?2=〃6；〃=Z?>02

课堂互动题型剖析

题型一与基本不等式有关的比较大小问题

『例1』设0<。<5,则下列不等式中正确的是（）

A.a<b<B.a<

C.a<y[ab<b<~^~D.\[ab<a<'~^~<b

『解析』法一VQ<a<b,a<l^<b,排除A,C两项.又o=g（也

—\[a）>0,即47>a,排除D项，故选B.

法二取。=2,b=8,则W^=4,怨"=5,所以

『答案』B

规律方法利用基本不等式比较实数大小的注意事项

1.利用基本不等式比较大小，常常栗注意观察其形式（和与积）.

2.利用基本不等式时，一定栗注意条件是否满足a>0,b>0.

/+2

『训练1』比较大小：2（填，"V”"，”或“W”）.

如何对代数式巧妙的变形是解题的关键（配凑法）

『解析』若!=k1+启7*2,当且仅当尸^=/]•即、=°

时，等号成立.

『答案』>

题型二用基本不等式证明不等式

『例2』已知Q,b,c为正数，且Q+6+C=1,证明：,+g+129.

“1”代换是常用转化技巧

111十+C

证

明---卜

Q+-P7+-C

.h.a,c,a.c.

=3+(LR+(L”(尹力

^3+2+24-2=9.

当且仅当a=Z?=c=g时，等号成立.

规律方法在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项

或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.

『训练2』已知a,b,c是全不相等的正实数，求证：

a+b-c

-----c----->3.

证明因为。，b,。全不相等，

所以、与*5与*/2全不相等,

Ct-UCl-CU

所以一+工T+->2,

ab>2,-a+-c>2,bc

—/sb.c.c,a,a.b,

二式相加得，一+-+工+/+-+-

aabbcc>6,

所以(泊T)+(同T)+t+2>3,

ri匕+c——。,a-\-c-b,a-\-b—c

即------+—7—+---------->3.

abc

题型三基本不等式的灵活变形应用

应用基本不等式时必须注明等号成立的条件

『例3』(1)设a,b,cGR,求证：cr-\-h1-\-c1^ab-\-bc-\-ca.

(2)已知a>0,b>0,a+b=l,求证：

②[1+口(1+1|三9.

abab\ajybj

证明(l)・「a2+b222Qb,b2~\-c2^2bc,

(a2+b2)+(〃+c2)+(c2+a2)2lab+2bc+2ca.

.•・〃2+62+，2〃/?+从?+（?〃（当且仅当a=b=c时等号成立）.

1111al

+-+---b

b必a+-b

\*a+b=l,a>0,b>0,

11+6

aa+b

-I--=2+圻>2+2=4,

〃

+-P〃

・•.;;+%+而28（当且仅当a=Z?=5时等号成立）.

CLUCtly乙

②法一V4/>0,b>0,a-\-b=1,

1+b

a-

+--12十

a1aa

.小+加+沪（2+俳+（|

=5+2匕+]户5+4=9.

...（1+：）11+力三9（当且仅当时等号成立）.

法二（1+%+）="+]+—

[aj\b）abab

由①知，弃/七，8,

故（1+和+?=1+!+什拉9,当且仅当时,等号成立.

规律方法几个重要的不等式记住这几类重要不等式能帮住你快速解题

（1）次+及e2ab（a,Z?£R）.

nh

（2月+£》2（凡C同号）.

（a+b^

（3）〃bW[-2-1（〃，6£R）.

la^+^a+bI—2

（4）A/—2~ab汽~j-（4Z,6£R+）.

Y一十工

ab

『训练3』设a,6均为正实数，求证：*+/+〃心2g.

证明•・Z,b均为正实数,

9ii

•.•7十"三2也，，下十中十出?》?也（当且仅当a=b时取等号）.

a。dL）

核心素养全面提升

一、素养落地

1.通过学习基本不等式培养数学抽象素养，通过运用基本不等式进行证明提升

数学运算及逻辑推理素养.

2.两个不等式“b222ab与守》版都是带有等号的不等式，对于“当且仅

a+b

当…时，取'='”这句话的含义要有正确的理解.一方面：当。时,

2

y[ab；另一方面：当";时’也有〃=6.

二、素养训练

1.下列不等式成立的是（

层+尻tz2+Z?2

A.abW2-B2

C.a-\-b^2y[abD.a+b^：2\[ab

口2十人2

222

『解析』a-\-b—2ab=（a—b）^09/.abW一一，故选A.

『答案』A

2.若0<Q<6且〃+b=l,则下列四个数中最大的是（）

A./B.cfi+b2

C.2abD.a

『解析』4Z2+/?2=(6/+Z?)2—2ab2(a+b)2—2-^~j=].

a2b2~2ab=(a~b)2^Q,/.a2+b2^2ab.

*/Q<a<b且a+b=l,/.a<^./.a2+b2最大.

『答案』B

3.若x>0,则x+1_______2(填“=”，“2"，“W”，

『解析』x>0时，x+~^2-\x--=2,当且仅当x=1，即x=l时取等号.

XXX

『答案』三

4.设a>0,b>0,给出下列不等式:

①次+1>0②(a+0[+£|>4；

③(a+0)[(+