2.5-微分及其应用

微分及其应用一、问题的提出；二、微分的定义；三、微分的求法；四、微分形式的不变性；五、微分的几何意义；六、微分在近似计算中的应用．§2-5一、问题的提出引例1:正方形金属薄片受热后面积的改变量.既容易计算又是较好的近似值引例2：既容易计算又是较好的近似值解：问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否所有函数的改变量都有?它是什么?如何求?两个引例的共同点：二、微分的定义即此时，称函数在点处是可微的.通常将自变量的增量称为自变量的微分，记作.所以函数在的微分可以写成定义1设函数在点处有导数，则称为函数在点处的微分，记作．函数在任意点处的微分称为函数的微分，记作．即由于函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.解故函数在时的微分为求法1:计算函数的导数,乘以自变量的微分.解:三、微分的求法解:求法2：用微分公式与微分法则.(不推荐)

定理

设函数

y=f(u)，u=

(x)均可微，dy=

f

(u)

(x)dx

.则

y=f(

(x))也可微，且由于du

=

(x)dx，所以上式可写为dy=f(u)

du

.从上式的形式看，它与y=f(x)的微分

dy=f

(x)dx

形式一样，这叫一阶微分形式不变性.其意义是：不管u是自变量还是中间变量，函数y=f(u)的微分形式总是dy=f

(u)du

.四、一阶微分形式不变性例4设解如果不引入中间变量u，则可练习

设解当然，也可以直接用公式来求微分，即求出后再乘以dx得到dy.解两边同时对x求导解得例5

求函数练习解两边同时对x求导解得如图所示，就是曲线y=f(x)在点P

处切线的纵坐标在相应处x的增量，而

y就是曲线y=f(x)的纵坐标在点x处的增量.PM=

x，MQ=

y，所以dy

=MN，

MN=PMtan

=f

(x)

x，即函数y=f(x)的微分dy五、微分的几何意义用dy近似代替

y就是用点P处的切线坐标的增量MN来近似代替曲线y=f(x)的纵坐标的增量MQ.设y=f(x)在可导，当自变量从变到x(即取得增量)，则有当x很接近时，即很小时，就有近似公式即当容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算附近点的函数值.七、微分在近似计算中的应用或例6解：例7

有一个半径为10cm的球，表面上镀铜，铜的厚度为0.005cm．求所用铜的体积近似值．解：解:例8计算近似公式七、小结（本节要点）一、微分的定义；二、微分的求法；三、微分形式的不变性；四、微分的几何意义；五、微分在近似计算中的应用．八、课堂练习练习题2.5作业练习册第2章练习八

微分学微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的增量问题微分的概念导数的概念求导数与微分的方法,叫做微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.导数与微分的联系:★★解答：1、从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念.导数与微分的区别:★说法不对.思考题

因为一元函数)(xfy=在0x的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，导数就是微分”，这说法对吗？解答：导数与微分的区别:★说法不对.思考题

因为一元函数)(xfy=在0x的可微性与可导性是等价的，所以有人说“微分就是导数，