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第1章函数极限与连续

021.3无穷小量与无穷大量无穷小量无穷大量无穷小量与无穷大量的关系基本要求一、无穷小量1．无穷小量的概念在实际问题中，我们经常会遇到极限为零的变量，例如，产品的库存会随着销量的增加而趋近于零；

电容器放电时，电压会随时间的增加而逐渐减小并趋

近于零．

这些趋近于零的变量，在微积分中有着特殊的含

义，我们称之为无穷小量．

中以零为极限，则称为在该变化中的无穷小量．简称定义1．7

若函数在自变量的某个变化过程无穷小．常以、、等表示．

例如，当时，都是无穷小量；时，是无穷小量等．当在常量中，惟有数0是无穷小量．

时，是无穷小量；当2．无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的代数和是无穷小量；

（2）有限个无穷小量的积是无穷小量；（3）有界变量与无穷小量的积是无穷小量．解（1）因为，是时的无穷小量，又即是有界变量，由无穷小量的性质（3）

，

．（2）．3．函数极限与无穷小量的关系定理1．5

函数以常数为极限的充分必要条件是

可以表示为极限值与一个无穷小量之和．即

，其中．

例如，．其中．4．无穷小量阶的比较同样是无穷小量，但趋于零的速度有快有慢，为了比较两个无穷小量趋于零的速度，我们给出无穷小量阶的概念．速度却不一样．列表比较如下：例如，当时，都是无穷小量，但它们趋于零的显然，

比趋于的速度快得多．

设、是在自变量的同一变化过程中(设为)的无穷小量，即；．是比低阶无穷小量，记为；（1)如果，则称是比高阶的无穷小量，或称（2)如果，则称是比低阶的无穷小量；（3）如果，则称与是同阶的无穷小量；特别地，如果，则称与是等价无穷小量，记作．

等价无穷小量在求极限过程中可以起到简化计算的效果．例如，因为

，所以当，与是等价的无穷小量．定理1．6(等价无穷小代换定理)若均为自变量的同一变化过程中的无穷小

量，且，，存在，则也存在，并且有

=．

下面是几个常用的等价无穷小量:当时，；；；

；；～；；例3．2

求极限．例3．3

求身显然是等价的，所以

解当时，，无穷小与它本解因为当时，，所以，．，所以二、无穷大量定义1．8

在自变量的某一变化过程中，变量的绝对值无限增大，则称变量为在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记作或．例如，当时，无限增大，所以是时的无穷大，即．例3．4

求．解当时，分母的极限是0，不能直接运用极限的例3．5

求解当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用商的极限运算法则．如果分子、

分母都除以，所得到的利用无穷小量与无穷大量的关系可得：．

．

所以分子、分母都有极限，就可以用商的极限运算法则计算．

运算法则．但是，

例3．6求，得:

解类同于例4，分子、分母都除以一般地，有下面的结论：、为非负整数，、都不等于零．思考与练习1．判断：（1）无穷多个无穷小的和还是无穷小．

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