高中数学选择性必修一课件：2 5 2 圆与圆的位置关系(人教版)

2.5.2圆与圆的位置关系第二章

§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系1.了解圆与圆的位置关系.2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法.3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题.学习目标日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日.日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生。日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食.我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？导语前面我们运用直线的方程、圆的方程研究了直线与圆的位置关系，现在我们类比上述研究方法，运用圆的方程，通过定量计算研究圆与圆的位置关系.随堂演练课时对点练一、两圆位置关系的判断二、相交弦及圆系方程问题三、圆与圆的综合性问题内容索引一、两圆位置关系的判断1.代数法：设两圆的一般方程为则方程组解的个数与两圆的位置关系如下：方程组解的个数2组1组0组两圆的公共点个数

个

个

个两圆的位置关系相交外切或内切外离或内含2102.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系如下：位置关系外离外切相交内切内含图示

d与r1，r2的关系d

r1＋r2d

r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d

|r1－r2|d

|r1－r2|>＝＝<注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.注意点：(1)利用代数法判断两圆位置关系时，当方程无解或一解时，无法判断两圆的位置关系.(2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法.例1

已知圆C1：x2＋y2－2ax－2y＋a2－15＝0(a>0)，圆C2：x2＋y2－4ax－2y＋4a2＝0(a>0).试求a为何值时，两圆C1，C2的位置关系为：(1)相切；解圆C1，C2的方程，经配方后可得C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16，C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1，∴圆心C1(a，1)，C2(2a，1)，半径r1＝4，r2＝1.当|C1C2|＝r1＋r2＝5，即a＝5时，两圆外切；当|C1C2|＝r1－r2＝3，即a＝3时，两圆内切.(2)相交；(3)外离；(4)内含.解当3<|C1C2|<5，即3<a<5时，两圆相交.解当|C1C2|>5，即a>5时，两圆外离.解当|C1C2|<3，即0<a<3时，两圆内含.反思感悟判断两圆的位置关系的两种方法(1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值，半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中主要使用的方法.(2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.跟踪训练1

(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是A.4 B.6 C.16 D.36√解析圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1，∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有___条.4半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.解析到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，(2)到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有___条.4半径之和为3＋1＝4，因为5>4，所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条.二、相交弦及圆系方程问题例2

已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；解设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，①－②，得x－y＋4＝0.∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程.(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程.得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2).设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.反思感悟(1)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.(3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).跟踪训练2

圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为__________________________________________.(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1).所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法二同方法一求得A(－1，－1)，B(3,3)，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.方法三设所求圆的方程为x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0，其中λ≠－1，所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.三、圆与圆的综合性问题解设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，延伸探究将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点(3，－

)的圆的方程”，如何求？解因为圆心在x轴上，所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r，则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4.反思感悟通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题.跟踪训练3

圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1).(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；解因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心坐标为O1(0，－1)，半径为2.又因为圆O2的圆心O2(2,1)，此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.此时，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝20.综上，圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.1.知识清单：(1)两圆的位置关系.(2)两圆的公共弦.(3)圆系方程.(4)圆与圆的综合性问题.2.方法归纳：几何法、代数法.3.常见误区：将两圆内切和外切相混.课堂小结随堂演练1.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是A.外离 B.相交C.外切 D.内切√1234解析把圆O1和圆O2的方程化为标准方程，得圆O1：(x－1)2＋y2＝1，圆O2：x2＋(y－2)2＝4，2.(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为A.2 B.－5 C.－2 D.5√1234√解析圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3，圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2.即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5.3.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是________________________________________.1234(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36解析设圆C的半径为r，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.解析将两圆的方程相减，11234所以a＝1.课时对点练1.圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为A.相交 B.外切

C.内切 D.外离√解析由已知，得C1(－2，－4)，r1＝5，C2(－2，－2)，r2＝3，则d＝|C1C2|＝2，所以d＝|r1－r2|，所以两圆内切.基础巩固123456789101112131415162.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0√解析圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，123456789101112131415163.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有A.1条 B.2条C.3条 D.4条√解析圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.123456789101112131415164.已知圆C：x2＋y2－2x＋m＝0与圆(x＋3)2＋(y＋3)2＝36内切，则实数m的值为A.0 B.－120C.0或－120 D.5√123456789101112131415165.圆C1：(x－1)2＋y2＝4与圆C2：(x＋1)2＋(y－3)2＝9的相交弦所在的直线为l，则直线l被圆O：x2＋y2＝4截得的弦长为√解析

由圆C1与圆C2的方程相减得l：2x－3y＋2＝0.123456789101112131415166.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49√12345678910111213141516√√解析由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.12345678910111213141516∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切.7.已知圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，则实数a，b的关系是____________.4a2＋b2＝1解析圆C1：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0，化为标准方程为(x＋2a)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2a，0)，半径长为2.圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0，化为标准方程为x2＋(y－b)2＝1.圆心坐标为(0，b)，半径长为1.由于两圆只有一条公切线，所以两圆相内切，12345678910111213141516整理得4a2＋b2＝1.8.经过直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝2的交点，且过点(1,2)的圆的方程为______________________.123456789101112131415169.已知两圆C1：x2＋y2＝4，C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，直线l：x＋2y＝0.(1)当圆C1与圆C2相交且公共弦长为4时，求r的值；解由圆C1：x2＋y2＝4，知圆心C1(0,0)，半径r1＝2，又由圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝r2(r>0)，可得x2＋y2－2x－4y＋5－r2＝0，两式相减可得公共弦所在的直线方程为2x＋4y－9＋r2＝0.因为圆C1与圆C2相交且公共弦长为4，此时相交弦过圆心C1(0,0)，即r2＝9(r>0)，解得r＝3.12345678910111213141516(2)当r＝1时，求经过圆C1与圆C2的交点且和直线l相切的圆的方程.解设过圆C1与圆C2的圆系方程为(x－1)2＋(y－2)2－1＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)，即(1＋λ)x2＋(1＋λ)·y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0，12345678910111213141516故所求圆的方程为x2＋y2－x－2y＝0.10.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；12345678910111213141516解圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意.②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1).即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，12345678910111213141516综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程.12345678910111213141516解依题意，设D(a，a＋2).又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD|＝5，解得a＝－1或a＝6.∴D(－1,1)或D(6,8)，∴所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.11.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆圆心的距离|C1C2|为√12345678910111213141516综合运用解析∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且都在直线y＝x上.设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，1234567891011121314151612.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0C.公共弦AB的长为D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为√12345678910111213141516√√解析对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；1234567891011121314151612345678910111213141516解析由题知，直线AB为2x＋y＋8－a＝0，当∠PAB＝90°或∠PBA＝90°时，设C1到AB的距离为d，因为△ABP为等腰直角三角形，13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1:x2

＋y2＝8与圆C2:x2＋y2＋2x＋y－a＝0相交于A，B两点.若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为____________________.12345678910111213141516当∠APB＝90°时，AB经过圆心C1，则8－a＝0，即a＝8.14.过两圆x2＋y2－2y－4＝0与x2＋y2－4x＋2y＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y－1＝0上的圆的方程是____________________.解析设圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0(λ≠－1)，则(1＋λ)x2－4x＋(1＋λ)y2＋(2－2λ)y－4λ＝0，12345678910111213141516x2＋y2－3x＋y－1＝0所以所求圆的方程为x2＋y2－3x＋y－1＝0.15