高中数学选择性必修一课件：习题课 圆锥曲线的综合问题(人教A版)

习题课圆锥曲线的综合问题课标要求素养要求1.通过圆锥曲线方程的学习，进一步体会数形结合思想的应用.2.能根据圆锥曲线的有关性质解决综合问题.通过研究圆锥曲线的综合问题，进一步提升逻辑推理及数学运算素养.新知探究我们已经学习了圆锥曲线的有关内容，主要包括椭圆、双曲线、抛物线的定义，标准方程，几何性质以及直线与圆锥曲线的位置关系.高考对于圆锥曲线的要求比较高，综合性比较强，今天我们对圆锥曲线中的综合问题进行总结，学会利用圆锥曲线的基本知识解决综合问题.1.定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.2.最值、范围问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.3.探索性问题

存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱.拓展深化[微判断]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n>0时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆.(

)

提示该方程表示焦点在y轴上的椭圆.√[微训练]解析因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1∴y＝x＋3与x轴上半部分且位于y轴右侧的双曲线有1个交点.答案3[微思考]1.圆锥曲线中的弦长公式是什么？2.如何判断直线与圆锥曲线的位置关系？提示直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程(注意在双曲线与抛物线中，要对二次项系数是否为0进行讨论)，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线只有一个交点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点.2.如何判断直线与圆锥曲线的位置关系？提示直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程(注意在双曲线与抛物线中，要对二次项系数是否为0进行讨论)，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0等价于直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0等价于直线与圆锥曲线只有一个交点；Δ<0等价于直线与圆锥曲线无交点.题型一范围与最值问题(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.解(1)由题意设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AM，(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1＞0，k2＞0，k1≠k2.由于k1≠k2，k1＞0，k2＞0，规律方法涉及直线与圆锥曲线问题，需要用方程思想解决，必要时需分类讨论，诸如位置关系判定则需联立方程组.“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法.规律方法涉及直线与圆锥曲线问题，需要用方程思想解决，必要时需分类讨论，诸如位置关系判定则需联立方程组.“化曲为直”求与距离有关的最值是平面几何中一种巧妙的方法，特别是涉及圆锥曲线上动点与定点和焦点距离之和的最值问题常用此法.答案9题型二定点与定值问题证明∵M是椭圆上任意一点，若M与A重合，∴λ2＋μ2＝1，现在需要证明λ2＋μ2为定值1.∴a2＝3b2，∴椭圆方程为x2＋3y2＝3b2，又直线方程为y＝x－c.∴λ2＋μ2＝1，故λ2＋μ2为定值.规律方法解析几何中的定点和定值问题需要合理选择参数(坐标、斜率等)表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”“整体代换”在简化运算中的作用.(1)解设椭圆的焦距为2c，由题意知b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，(2)证明由题意设P(0，m)，Q(x0，0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设l方程为x＝t(y－m)，∵λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0.①③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得l方程为x＝ty＋1，故直线l过定点(1，0).∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②题型三探索性问题角度1常数存在型问题【例3－1】直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，是否存在这样的实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称？请说明理由.解假设存在实数a，使A，B关于直线l：y＝2x对称，并设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在直线y＝ax＋1上，∴y1＝ax1＋1，y2＝ax2＋1，∴y1＋y2＝a(x1＋x2)＋2，②由①②，得2(x1＋x2)＝a(x1＋x2)＋2，即(2－a)(x1＋x2)＝2.③故不存在满足题意的实数a.角度2点存在型问题解(1)由题意知圆心在直线y＝－x上，设圆心的坐标是(－p，p)(p>0)，则圆的方程为(x＋p)2＋(y－p)2＝8，由于O(0，0)在圆上，∴p2＋p2＝8，解得p＝2，∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝8.∴椭圆右焦点为F(4，0).假设存在异于原点的点Q(m，n)使|QF|＝|OF|，规律方法(1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.(2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.解设直线l：y＝kx＋m为满足条件的直线，再设P为MN的中点，欲满足条件，只需AP⊥MN即可.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由Δ＝36m2k2－4(1＋3k2)(3m2－3)＝9(1＋3k2)(1－k2)>0，得－1<k<1，且k≠0.故当k∈(－1，0)∪(0，1)时，存在满足条件的直线l.一、素养落地1.通过本节课的学习，进一步提升数学运算及逻辑推理素养.2.解决与圆锥曲线有关的最值问题的三种方法 (1)定义法：利用定义转化为几何问题. (2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解. (3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意圆锥曲线的范围.3.定值问题的两大解法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；(2)引进变量，构造函数，把要证明为定值的量表示为变量的函数，将函数化简，消掉变量得到定值.二、素养训练1.直线y＝x＋1被椭圆x2＋2y2＝4所截得的弦的中点坐标是(

)即3x2＋4x－2＝0，答案B答案C答案A得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.∵线段AB的中点为(－1，1)，解得p＝2或p＝－6(舍去).答案2备用工具&资料得(4b2＋a2)y2－12b2y＋9b2－a2b2＝0，Δ＝144b4－4(a2＋4b2)(9b2－a2b2)＞0，即a2＋4b2＞9.[微训练]解析因为a＝5，c＝4，所以最大距离为a＋c＝9，最小距离为a－c＝1.答案

DA.8，2 B.5，4C.5，1 D.9，1[微思考]1.圆锥曲线中的弦长公式是什么？拓展深化[微判断]×√1.方程2x2－5x＋2＝0的两根x1，x2(x1＜x2)可分别作为椭圆和双曲线的离心率.(

)2.已知方程mx2＋ny2＝1，则当m＞n>0时，该方程表示焦点在x轴上的椭圆.(

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提示该方程表示焦点在y轴上的椭圆.√2