高中数学选择性必修一课件：1 1 2 空间向量的数量积运算(人教A版)

1.1.2

空间向量的数量积运算第一章

§1.1

空间向量及其运算1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求

空间两点间的距离.学习目标在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义.导语随堂演练课时对点练一、空间向量的夹角二、空间向量的数量积运算三、利用空间向量数量积的性质求模长内容索引一、空间向量的夹角定义已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作则

叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围________________向量垂直如果〈a，b〉＝

，那么向量a，b互相垂直，记作a

b知识梳理∠AOB⊥0≤〈a，b〉≤π例1

(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√解析显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件.解连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，解连接BD(图略)，则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，反思感悟(1)只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.(2)对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉.A.30° B.60° C.150° D.120°√二、空间向量的数量积运算1.(1)空间向量的数量积已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝

.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝

.(2)运算律|a||b|·cos〈a，b〉0知识梳理数乘向量与数量积的结合律(λa)·b＝

，λ∈R交换律a·b＝____分配律a·(b＋c)＝________λ(a·b)b·aa·b＋a·c2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉

向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量

，向量

称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，

的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.2.向量的投影(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉

向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②).(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量

，向量

称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a，

的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角.注意点：(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定.①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.例2

如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：反思感悟由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确.跟踪训练2

已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为______.解析∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，－13三、利用空间向量数量积的性质求模长问题类比平面向量数量积的性质，给出空间向量数量积的性质.提示(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立).例3

如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段.又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.解∵CA⊥AB，BD⊥AB，反思感悟用数量积求两点间距离的步骤(1)将两点间的连线用向量表示；(2)用其他向量表示此向量；(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|.跟踪训练3已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为√则|a|＝|b|＝|c|＝1，且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，1.知识清单：

(1)空间向量的夹角、投影.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.课堂小结随堂演练1.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是√1234√√12343.若a，b为空间夹角是60°的两个单位向量，则|a－b|＝____.12341解析|a－b|2＝(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝1.∴|a－b|＝1.60°

11234解析方法一连接A1D(图略)，1234即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，方法二

根据向量的线性运算可得1234课时对点练1.在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，

的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°√基础巩固123456789101112131415162.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于√123456789101112131415163.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝

则两直线的夹角为A.30° B.60° C.120° D.150°√12345678910111213141516则两个方向向量对应的直线的夹角为180°－120°＝60°.4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是√12345678910111213141516√5.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，∠DAB＝45°，则BD1等于√12345678910111213141516123456789101112131415166.(多选)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是√12345678910111213141516√123456789101112131415167.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝_____.22解析|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.123456789101112131415168.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.60°解析由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，12345678910111213141516所以〈a，b〉＝60°.9.已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：12345678910111213141516则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.123456789101112131415161234567891011121314151610.如图所示，在空间四面体OABC中，OA，OB，OC两两成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E为OA的中点，F为BC的中点，试求E，F间的距离.1234567891011121314151611.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是√12345678910111213141516综合运用12.如图，已知在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝_____.123456789101112131415167解析∵OA，OB，OC两两垂直，1234567891011121314151614.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，

的取值范围是______.12345678910111213141516[0,1]A.8 B.4 C.2 D.1√拓广探究12345678910111213141516∵AB⊥平面BP2P8P6，1234567891011121314151616.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线A