专题24 易错易混淆集训：一次函数三大易错-苏科版八年级《数学》上册重难点专题提优训练（解析版）

第第页专题24易错易混淆集训：一次函数三大易错【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【易错一忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】 1【易错二忽略自变量的取值范围致错】 5【易错三一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】 14【典型例题】【易错一忽略一次函数中“k≠0”或正比例函数是特殊的一次函数致错】例题：（2023上·广东深圳·八年级深圳大学附属中学校考期中）若函数是一次函数，则的值为．【答案】【分析】本题主要考查一次函数的概念，熟练掌握一次函数的概念是解题的关键；因此此题可根据“形如，且的函数”进行求解．【详解】解：由题意得：，∴；故答案为．【变式训练】1．（2022下·八年级课前预习）已知是一次函数，则m的值是（

）A．－3 B．3 C．±3 D．±2【答案】A【解析】略2．（2023上·山东济南·七年级统考期末）若是正比例函数，则m的值为（

）A．1 B． C．1或 D．或【答案】B【分析】根据正比例函数的定义计算．【详解】解：根据正比例函数的定义，可得，且，．故选：B．【点睛】本题考查根据正比例函数定义求参，解题关键是掌握正比例函数的定义：形如，为常数且，自变量次数为1．3．（2023下·广东广州·八年级统考期末）若是一次函数，则m的取值范围是．【答案】【分析】根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案．【详解】解：是一次函数，，，故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟知一次函数定义是解题关键．一般地，形如(是常数，)的函数，叫做一次函数．4．（2023上·山西晋中·八年级统考期中）若函数是一次函数，则．【答案】【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可列一元一次不等式组，解不等式组即可求解，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．【详解】解：依题意得：，解得，故答案为：．5．（2022上·贵州毕节·八年级统考期末）已知函数是关于x的一次函数，则．【答案】4【分析】由一次函数的定义可知x的次数为1，即3−m=1，x的系数不为0，即，然后对计算求解即可．【详解】解：由题意知解得（舍去），故答案为：4．【点睛】本题考查了一次函数，绝对值方程，解不等式．解题的关键根据一次函数的定义求解参数．6．（2023下·全国·八年级假期作业）已知函数y=(2-m)x+2n-3．求当m为何值时．（1）此函数为一次函数?（2）此函数为正比例函数?【答案】（1）m≠2；（2）m≠2且n=．【分析】（1）根据一次函数的定义得，2-m≠0，即可求得m的取值；（2）满足两个条件：2-m≠0且2n－3=0，即可得到m与n的取值．【详解】（1）由题意得，2-m≠0，解得m≠2．（2）由题意得，2-m≠0且2n-3=0，解得m≠2且n=．【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，要注意两种函数既有联系又有区别．7．（2022下·四川资阳·八年级四川省乐至实验中学校考阶段练习）已知关于的函数（1）和取何值时，该函数是关于的一次函数？（2）和取何值时，该函数是关于的正比例函数？【答案】（1），为任意实数；（2），【分析】（1）如果函数关系式是关于自变量的一次式，则称为一次函数，用字母表示为y=kx+b，其中k≠0，且k、b为常数；根据一次函数的定义及表示形式完成即可；（2）若一次函数表达式中b=0，即y=kx，其中k≠0，则称此函数为正比例函数，根据正比例函数的解析式完成即可．【详解】（1）由题意知：，则m=±1当m=－1时，m+1=0∴m=1n可为任意实数即当m=1，n为任意实数时，函数为一次函数．（2）由（1）知，m=1但n－3=0，所以n=3即当m=1，n=3时，函数是正比例函数．【点睛】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系．8．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）已知函数，(1)当是何值时函数是一次函数．(2)当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．(3)点在此一次函数图象上，则的值为多少．【答案】(1)(2)，当时，(3)【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可；（3）代入，求出此时x的值即可得到答案．【详解】（1）解：∵函数是一次函数，∴，∴，∴当时，函数是一次函数；（2）解：由（1）得，∴当时，；（3）解：在中，当时，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数．【易错二忽略自变量的取值范围致错】例题：（2022·北京·前门外国语学校八年级阶段练习）已知蜡烛被燃烧的长度与燃烧时间成正比例，长为的蜡烛，点燃6分钟后，蜡烛变短了，设蜡烛点燃x分钟后的长度为，(1)请列出y与x的函数关系式，指出自变量取值范围；(2)利用描点法画出此函数的图象；(3)由图象指出此蜡烛几分钟燃烧完毕．【答案】(1)y与x之间的关系式是y=24-0.6x，0≤x≤40；(2)见解析；(3)此蜡烛40分钟燃烧完毕．【分析】（1）根据蜡烛点燃后的长度=原长度-每分钟燃烧的长度×时间，建立函数关系式用待定系数法求解，并求出自变量的取值范围；（2）用描点法画出函数图像；（3）从图像直接可以得出结论．（1）由题意可得，y=24-x=24-0.6x,∴y与x之间的关系式是y=24-0.6x，令y=0，则24-0.6x=0，解得：x=40，∴自变量x的取值范围是：0≤x≤40；（2）列表为：x040y=24-0.6x240图象是一条线段．描点并连线为：（3）由图像可以看出：此蜡烛40分钟燃烧完毕．【点睛】此题考查了根据题意中的等量关系建立函数关系式；能够根据函数解析式求得对应的x的值，特别注意自变量的取值范围．【变式训练】1．（2023·湖南娄底·统考一模）某同学在探究弹簧的特点时，得出了弹簧的长度与弹簧受到的拉力的关系如图所示，则弹簧在受到的拉力时，弹簧比原来伸长了（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，然后把代入中求出x的值，进而计算得出答案即可．【详解】解：设，由题意得，，∴，∴，当时，，∴弹簧在受到的拉力时，弹簧比原来伸长了，故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键．2．（2022·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）一辆汽车油箱中剩余的油量与已行驶的路程的对应关系如图所示，如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为时，那么该汽车已行驶的路程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意所述，设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入即可得出函数关系式．【详解】解：设函数解析式为y=kx+b，将（0，50）、（500，0）代入得解得：∴函数解析式为当y=35时，代入解析式得：x=150故选A【点睛】本题考查了一次函数的简单应用，解答本题时要注意细心审题，利用自变量与因变量的关系进行解答．3．（2023上·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考开学考试）一支原长为的蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如下表：燃烧时间/分…剩余长度/…则这支蜡烛最多可燃烧分钟．【答案】【分析】根据表格信息可得每增加分钟，蜡烛长度减少，则每增加分钟，蜡烛长度减少，设蜡烛剩余长度为，燃烧时间为，可列关系式为，令即可求解．【详解】解：根据表格信息可得，燃烧时间增加，蜡烛长度减小，每增加分钟，蜡烛长度减少，则每增加分钟，蜡烛长度减少，∴设蜡烛剩余长度为，燃烧时间为，∴，当时，，解得，，∴这支蜡烛最多可燃烧，故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数解实际问题，理解题意，掌握函数关系式的求解方法及函数值的计算方法是解题的关键．4．（2023下·河北邯郸·八年级校联考期末）点燃一根蜡烛后，蜡烛的高度h（厘米）与燃烧时间t（分钟）之间的关系如下表．t（分钟）0246810h（厘米）403632282420(1)求h与t之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)求点燃5分钟时，蜡烛的高度．【答案】(1)；(2)30厘米【分析】（1）设蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式为，利用待定系数法求解即可；（2）把代入（1）的解析式即可求解．【详解】（1）解：设蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分之间的关系式为，根据题意可得，解得，蜡烛的高度（厘米）与燃烧时间（分）之间的关系式为；（2）解：当时，，即点燃5分钟时，蜡烛的高度是30厘米．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解决本题的关键．5．（2023下·福建厦门·九年级厦门市莲花中学校考阶段练习）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数（N）与石块下降的高度x（）之间的关系如图所示（温馨提示：当石块位于水面上方时，；当石块入水后，）(1)求所在直线的函数表达式；(2)当石块下降的高度为8时，求此刻该石块所受浮力的大小．【答案】(1)(2)当石块下降的高度为8时，该石块所受浮力为N【分析】（1）设出所在直线的函数表达式，结合函数图象信息，运用待定系数法求解即可；（2）结合已求出的函数解析式，求得时的函数值，从而根据题意求出结论即可．【详解】（1）设所在直线的函数表达式为，将，代入得：，解得，∴所在直线的函数表达式为；（2）在中，令得，由函数图象知，该石块重力为4N，∵（N），∴当石块下降的高度为8时，该石块所受浮力为N．【点睛】本题考查一次函数的实际应用，准确理解实际问题对应的函数图象信息，熟练运用待定系数法求解函数解析式是解题关键．6．（2023下·山西吕梁·八年级统考期末）甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度与燃烧时间之间的关系如图所示，已知，请根据所提供的信息解答下列问题：(1)乙蜡烛燃烧前的高度是______，乙从点燃到燃尽所用的时间是______．(2)燃烧多长时间时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长？【答案】(1)；(2)【分析】（1）根据函数图象可以解答本题；（2）先设出甲蜡烛燃烧时，与之间的函数解析式，然后根据函数图象中的数据即可求得相应的函数解析式，令的两个函数解析式的值相等，即可解答本题．【详解】（1）由，令，得，令，得，可得乙两根蜡烛燃烧前的高度是，从点燃到烧尽所用小时是，故答案为：；；（2）由题意得经过与两点，设，则，解得，∴甲蜡烛燃烧的解析式为．当时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长，∴，解得．∴燃烧时间为时，甲、乙两根蜡烛的高度一样长．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．7．（2023·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考期末）在一次蜡烛燃烧实验中，将长度、粗细各不相同的甲、乙两根蜡烛点燃后，研究记录的数据发现，甲、乙两根蜡烛剩余部分高度是燃烧时间的一次函数．甲剩余部分高度与燃烧时间的关系如下表所示，乙剩余部分高度与燃烧时间的函数图像如下图所示．甲剩余部分高度与燃烧时间的关系燃烧时间剩余部分高度(1)求甲蜡烛燃烧过程中h与t之间的函数表达式；(2)当t为何值时，甲、乙两根蜡烛剩余部分高度相等．【答案】(1)(2)当时，甲、乙两根蜡烛剩余部分高度相等【分析】（1）根据表格数据，待定系数法求甲的解析式即可求解；（2）根据函数图像，待定系数法求乙的解析式，根据题意列出方程即可求解．【详解】（1）解：依题意，设甲蜡烛燃烧过程中h与t之间的函数表达式为，将点代入得，，解得：∴（2）解：依题意，设乙蜡烛燃烧过程中h与t之间的函数表达式为，将点代入得，，解得：∴依题意，解得：∴当时，甲、乙两根蜡烛剩余部分高度相等【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意求出函数关系式是解题的关键．8．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，当弹簧受到重力的作用时会伸长，某学习小组用实验的方式研究了一个弹簧的长度与所挂物体重量之间的关系，并对每组数据进行了记录：物体的重量012345…弹簧的长度91113151719…

(1)上表所表示的变量之间的关系中，自变量是，因变量是．(2)当弹簧不悬挂重物时长度为cm，物体重量每增加，弹簧长度y增加cm；(3)直接写出y与x的关系式：．(4)当所挂物重为时，弹簧的长度为cm；(5)这根弹簧的弹性限度（即弹簧最长可以被拉长到的长度，超过这个长度，弹簧将失去弹性）为，则在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂多重的物体?【答案】(1)所挂物体的重量，弹簧的长度(2)9，2(3)(4)22(5)【分析】（1）根据弹簧的长度随着物体的重量的变化即可得；（2）根据表格数据即可得；（3）利用待定系数法求解即可得；（4）将代入计算即可得；（5）求出时，的值即可得．【详解】（1）解：因为弹簧的长度随着所挂物体的重量的变化，所以自变量是所挂物体的重量，因变量是弹簧的长度，故答案为：所挂物体的重量，弹簧的长度．（2）解：由表格数据可知，当弹簧不悬挂重物时长度为，物体重量每增加，弹簧长度增加，故答案为：9，2．（3）解：设，将点代入得：，解得，则．（4）解：将代入得：，故答案为：22．（5）解：将代入得：，解得，答：在弹性限度之内，该弹簧最多可以挂的物体．【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键．【易错三一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忘记分类讨论】例题：（2022·浙江金华·八年级期末）如图，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．(1)求A，B两点的坐标．(2)过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP＝2OA，求直线BP的函数关系式．【答案】(1)A(-2,0)，B(0,4)(2)y=x+4或者y=-x+4【分析】（1）分别当x=0时和当y=0时，即可求出B、A的坐标；（2）设P点坐标为(a,0)，即，根据OP=2OA，可得，即a=±4，分a=4和a=-4两种情况讨论，用待定系数法求解即可．（1）当x=0时，y=2x+4=4，即B点坐标为(0,4)，当y=0时，0=2x+4，即x=-2，即A点坐标为(-2,0)，故答案为：B点坐标为(0,4)，A点坐标为(-2,0)；（2）∵P点在x轴上，∴设P点坐标为(a,0)，即，∵A点坐标为(-2,0)，∴OA=2，∵OP=2OA，∴OP=4，∴，即a=±4，当a=4时，P点坐标为(4,0)，设BP的函数关系式为，∵B点坐标为(0,4)，P点坐标为(4,0)，∴，解得，即此时BP的函数关系式为，当a=-4时，P点坐标为(-4,0)，同理可求：BP的函数关系式为，综上：BP的函数关系式为或者．【点睛】本题考查了求解一次函数与坐标轴交点以及求解一次函数解析式的知识，解题时要注重分类讨论的思想，注意不要遗漏．【变式训练】1．（2023下·四川眉山·八年级校考阶段练习）若一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为3，则．【答案】【分析】求出函数与坐标轴的交点，根据面积可得到关于k的方程，即可得出k的值．【详解】解：当时，.当时，，∴.∴函数与x轴的交点为，与y轴的交点为，∵与两坐标轴围成的三角形面积为3，∴，解得．故答案为：．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，坐标与图形的性质，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解答此题的关键．2．（2023上·广东深圳·八年级深圳市光明区公明中学校考期中）若直线与坐标轴围成的三角形面积是6，则．【答案】【分析】由直线与坐标轴围成的三角形面积是6，得，则或，故需分这两种情况讨论．【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形面积是6，．①当时，的图象如图1．

当时，，则，此时．当时，，故，则，此时．．或（不合题意，故舍去）．②当时，的图象如图2．

当时，，则，此时．当时，，故，则，此时．．（不合题意，故舍去）或．综上：．故答案为：．【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积，熟练掌握一次函数图象上点的坐标的特征以及三角形面积公式是解决本题的关键．3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·八年级期末）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，过点的直线与轴交于点，且，则该直线的解析式为___________．【答案】或【分析】先表示出点坐标；再把代入得，则，然后根据三角形面积公式得到，即，然后解方程即可求得的值，进一步求得的值．【详解】解：把代入得，解得，∴，∵点在直线上，∴，∴，又∵，∴，即：，∴，解得：或，∴当时，，当时，，∴该直线的解析式为或．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征：一次函数的图像上的点满足解析式．4．（2023下·