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文档简介
福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知复数(为虚数单位),则复数在复平面内对应的点在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数,从而得到其共轭复数,再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为,所以,所以复数在复平面内对应的点为,位于第三象限.故选:C2.如图所示,梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图,,,则平面图形ABCD中对角线AC的长度为()A. B. C. D.5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形,利用勾股定理求得长度.【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD,如图,由斜二测法则知,,所以.故选:C.3.已知,则与夹角的余弦值为(
)A. B. C.0 D.1【答案】A【分析】将两边平方,求出的值,利用向量夹角公式,即可求得答案.【详解】由于,故,即,则,故,故选:A4.在中,若,则的形状是(
)A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理将化简为,从而可求解.【详解】由,得,由余弦定理得,化简得,当时,即,则为直角三角形;当时,得,则为等腰三角形;综上:为等腰或直角三角形,故D正确.故选:D.5.如图,在四边形中,,,,,则的值为(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】在直角三角形中求出,然后在三角形中,由减法法则求出,进而,得解.【详解】解:由,,,得,三角形中,,,.故选:C.6.在中,a,b,c分别为A,B,C的对边,则下列叙述正确的是(
)A.若是锐角三角形,则B.若,则C.若,则解此三角形的结果有一解D.若角C为钝角,则【答案】D【分析】通过余弦定理由C为钝角得到,利用不等式性质即得判断D项正确;对于A,B项,利用正弦定理、正余弦函数的单调性以及二倍角公式、诱导公式即可排除;对于C项,则通过图形分析即可排除.【详解】对于A项,因是锐角三角形,则,即,因函数在上单调递增,则,即得,故A错误;对于B项,由正弦定理可得,因,则又由可得.若为直角或钝角,显然有若是锐角,即,因为在上单调递减,则所以;又因,故由可得,即B错误;对于C项,因,故此时三角形有两解,故C错误;对于D项,因角C为钝角,则由余弦定理,,即,则,故,故D正确.故选:D.7.点P是锐角内一点,且存在,使,则下列条件中,不能判断出为等腰三角形的是(
)A.点是的垂心 B.点是的重心C.点是的外心 D.点是的内心【答案】B【分析】由已知判断点P在直线上,结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【详解】记的中点为D,则,所以,点P在直线上.A选项:若点是的垂心,则,所以,所以为等腰三角形,A正确;B选项:若点是的重心,则点在边的中线上,无法推出,B错误;C选项:若点是的外心,则点在边的中垂线上,所以,所以为等腰三角形,C正确;D选项:若点是的内心,则为的角平分线,所以,又,所以与全等,故,D正确.故选:B8.设正数,,满足,,,是以为圆心的单位圆上的个点,且.若是圆所在平面上任意一点,则的最小值是A.2 B.3 C. D.【答案】B【分析】根据数量积及建立不等式,即可求出最小值.【详解】是以为圆心的单位圆上的个点,,故而,,,故,当且仅当点与点重合时等号成立,即的最小值是,故选:B【点睛】本题主要考查了数量积的性质,考查了分析推理能力,入手困难,属于难题.二、多选题9.若复数,则下列说法正确的是(
)A.的虚部是B.若复数的共轭复数为,则C.在复数范围内,是方程的根D.若复数:满足,则的最大值为6【答案】CD【分析】由复数的减法和虚部的定义,判断选项A;由复数的乘法运算和模长公式,计算后判断选项B;验证方程的复数根判断选项C;由复数模的几何意义判断选项D.【详解】对A,复数,,其虚部是,A选项错误;对B,,,,B选项错误;对C,,复数范围内,是方程的根,C选项正确;对D,设,,,则复平面内点的轨迹为以为圆心,1为半径的圆,的几何意义为点到原点的距离,由圆心到原点的距离为5,则的最大值为6,D选项正确.故选:CD.10.如图所示设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为仿射坐标系.若﹐则把有序数对叫做向量的仿射坐标,记为.在的仿射射坐标系中,.则下列结论中,正确的是(
)A. B.C. D.在上的投影向量为【答案】AD【分析】根据向量的仿射坐标的定义,将选项中关于向量加减,模长,垂直,投影向量的运算通过向量的线性表达式进行即可判断.【详解】由可得,依题意,,对于A项,因,即,故A正确;对于B项,因,故B错误;对于C项,,故C错误;对于D项,由C项知,,又,则在上的投影向量为故D正确.故选:AD.11.的内角的对边分别为,若,则(
)A. B.C.角A的最大值为 D.面积的最小值为【答案】ABC【分析】由平面向量的数量积计算可得A,由余弦定理可得B,由基本不等式及余弦定理可判断C,结合条件可得,由项判定的范围即可.【详解】由,故A正确;由余弦定理结合A项可得,故B正确;由上结合基本不等式及余弦定理有故,而,单调递减,所以由,当且仅当时取得最大值,故C正确;由上可得,又,所以,故D错误.故选:ABC三、填空题12.在平面直角坐标系中,,若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围为.【答案】【分析】求A,B,C三点不共线的条件即可.【详解】A,B,C三点能构成三角形,则与不共线,,若与共线,则有,解得,若A,B,C三点能构成三角形,即实数m的取值范围为.故答案为:13.如图,直三棱柱中,,,为线段上的一个动点,则的最小值是.
【答案】【分析】根据已知条件及直棱柱的性质,结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.【详解】将图中的和放置于同一平面内,如图所示,
则.因为直三棱柱中,,,所以中,.同理,在中,,所以所以在图中,,所以,即.所以的最小值是.故答案为:.14.如图,某商场内有一家半圆形时装店,其平面图如图所示,O是圆心,直径MN为24米,P是弧的中点.一个时装塑料模特A在OP上,.计划在弧上设置一个收银台B,记,其中(1)则(用表示):(2)若越大,该店店长在收银台B处的视线范围越大,则当店长在收银台B处的视线范围最大时,AB的长度为米.【答案】【分析】(1)由正弦定理和两角和的余弦公式求解即可;(2)换元后,构造函数,再由二次函数的性质求出最大值,根据余弦定理求解长度即可.【详解】(1)因为是P是弧的中点,所以.因为,所以,则米.由题意知,在中,设,则,由,得,则,则.故答案为:(2)设.令,则.令,当,即,取得最大值.,即的最大值为.因为函数在上单调递增,所以当取得最大值时,也取得最大值,店长在收银台B处的视线范围最大,此时.故当视线范围最大时,米.故答案为:【点睛】本题属于解三角形问题和二次函数最值问题的结合,解题难点在于正确换元构造函数,再利用二次函数的性质求最值.另外,正余弦定理和三角恒等变换等知识也必须熟练掌握,才能很好理解和计算本题.四、解答题15.已知是复数,为实数,为纯虚数(为虚数单位).(1)求复数;(2)复数在复平面对应的点在第二象限,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】(1)待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.(2)由(1)可知,从而可以化简,结合已知即可求出实数的取值范围.【详解】(1)设复数,是实数,所以,则,所以,因为为纯虚数,所以且,解得,所以.(2)由(1)知,,在复平面上对应的点为,又已知在复平面上对应的点在第二象限,所以,解得,即实数m的取值范围为.16.的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(1)求B的值;(2)若,,BD为的平分线,BE为中线,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用两角和差的正弦公式化简已知等式,可得,即可求得,可得答案;(2)利用三角形面积公式求出c的值,再结合,即可求得,利用,结合模的计算求出,即可求得答案.【详解】(1)由题意知中,,即即,即,而,故;(2)由于,,故,又BD为的平分线,且,即,又BE为中线,故,故,故.17.如图所示的一块正四棱锥木料,侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点.(1)若,要经过点M和棱将木料锯开,在木料表面应该怎样画线?(请写出必要作图说明)(2)若,在线段上是否存在一点N,使直线平面?如果不存在,请说明理由,如果存在,求出的值以及线段MN的长.【答案】(1)答案见解析(2)存在,,7【分析】(1)作,连接,利用平行公理可得共面,即可说明如何画线;(2)连接并延长交于E,连接,利用线面平行的性质定理推出,结合线段成比例,即可推出结论;利用余弦定理求出,结合线段成比例,即可求得线段MN的长.【详解】(1)因为,所以M为的中点,作,交于G,则G为的中点,连接,则,由题意知四边形为平行四边形,则,故,即共面,故要经过点M和棱将木料锯开,在木料表面沿线段画线即可;(2)存在,,说明如下:假设在线段上存在一点N,使直线平面,连接并延长交于E,连接,因为平面,平面,平面平面,故,则,由题意知四边形为正方形,故,则,即假设成立,故在线段上存在一点N,使直线平面,此时;由于,,故,故,中,,则,即,而,,故,则.18.如图,在边长为1的正三角形ABC中,O为中心,过点O的直线交边AB与点M,交边AC于点N,(1)若P为内部一点(不包括边界),求的取值范围;(2)若,求AN的值;(3)求的最大值与最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值,最小值【分析】(1)取BC的中点D,,由的取值范围求的取值范围;(2)设,则,因为三点共线,所以,可求AN的值;(3)设,和中,由正弦定理可得,关于的表达式,从而得到,利用换元法,结合构造函数利用单调性求最值.【详解】(1)取BC的中点D,连接PD,正三角形ABC边长为1,则,,,,,又,即,得,故的取值范围.(2)延长AO交BC于D,因为O为正三角形的中心,所以D为BC的中点,则有,由,得,设,因为,所以,因为,所以,可知,因为三点共线,所以,解得,即AN的值为.(3)因为正三角形的边长为1,O为正三角形的中心,所以,,设,则,当点与点重合时,取最小值;当点与点重合时,取最大值.在中,由正弦定理可得,所以,在中,同理可得,所以,令,则,所以,因为,所以,,所以,即,令,任取,,由,,,则,,所以在上单调递增,有,即,所以,有,则有,所以,即最大值,最小值.19.在锐角中,,点O为的外心.(1)若,求的最大值;(2)若.①求证:;②求的取值范围.【答案】(1);(2)①证明见解析;②.【分析】(1)计算出和,由以及平面向量数量积的运算性质可得和,解出,再利用基本不等式即可求出的最大值;(2)①证出,设出与的夹角为,计算得到,由可得,即可证得结论;②计算出的外接圆半径为1,可得,求出角的取值范围,结合余弦函数的性质可求得的取值范围.【详解】(1)取的中点,连接,则,不妨设,因,同理可得,则由可得,即得:①又由可得,即得:②联立①,②,解得:则,因,
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