2023-2024学年福建省厦门市外国语学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版）

福建省厦门市外国语学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，从而得到其共轭复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第三象限.故选：C2．如图所示，梯形是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形ABCD中对角线AC的长度为（）A． B． C． D．5【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则确定原图形，利用勾股定理求得长度．【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，由斜二测法则知，，所以．故选：C．3．已知，则与夹角的余弦值为（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】将两边平方，求出的值，利用向量夹角公式，即可求得答案.【详解】由于，故，即，则，故，故选：A4．在中，若，则的形状是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用余弦定理将化简为，从而可求解.【详解】由，得，由余弦定理得，化简得，当时，即，则为直角三角形；当时，得，则为等腰三角形；综上：为等腰或直角三角形，故D正确.故选：D.5．如图，在四边形中，，，，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】在直角三角形中求出，然后在三角形中，由减法法则求出，进而，得解.【详解】解：由，，，得,三角形中，,,.故选：C.6．在中，a，b，c分别为A，B，C的对边，则下列叙述正确的是（

）A．若是锐角三角形，则B．若，则C．若，则解此三角形的结果有一解D．若角C为钝角，则【答案】D【分析】通过余弦定理由C为钝角得到，利用不等式性质即得判断D项正确；对于A,B项，利用正弦定理、正余弦函数的单调性以及二倍角公式、诱导公式即可排除；对于C项，则通过图形分析即可排除.【详解】对于A项，因是锐角三角形，则，即,因函数在上单调递增，则，即得，故A错误；对于B项，由正弦定理可得，因，则又由可得.若为直角或钝角，显然有若是锐角，即,因为在上单调递减，则所以；又因，故由可得，即B错误；对于C项，因，故此时三角形有两解，故C错误；对于D项，因角C为钝角，则由余弦定理，，即，则，故，故D正确.故选：D.7．点P是锐角内一点，且存在，使，则下列条件中，不能判断出为等腰三角形的是（

）A．点是的垂心 B．点是的重心C．点是的外心 D．点是的内心【答案】B【分析】由已知判断点P在直线上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可.【详解】记的中点为D，则，所以，点P在直线上.A选项：若点是的垂心，则，所以，所以为等腰三角形，A正确；B选项：若点是的重心，则点在边的中线上，无法推出，B错误；C选项：若点是的外心，则点在边的中垂线上，所以，所以为等腰三角形，C正确；D选项：若点是的内心，则为的角平分线，所以，又，所以与全等，故，D正确.故选：B8．设正数，，满足，，，是以为圆心的单位圆上的个点，且.若是圆所在平面上任意一点，则的最小值是A．2 B．3 C． D．【答案】B【分析】根据数量积及建立不等式，即可求出最小值.【详解】是以为圆心的单位圆上的个点,,故而，，，故，当且仅当点与点重合时等号成立，即的最小值是,故选：B【点睛】本题主要考查了数量积的性质，考查了分析推理能力，入手困难，属于难题.二、多选题9．若复数，则下列说法正确的是（

）A．的虚部是B．若复数的共轭复数为，则C．在复数范围内，是方程的根D．若复数：满足，则的最大值为6【答案】CD【分析】由复数的减法和虚部的定义，判断选项A；由复数的乘法运算和模长公式，计算后判断选项B；验证方程的复数根判断选项C；由复数模的几何意义判断选项D.【详解】对A，复数，，其虚部是，A选项错误；对B，，，，B选项错误；对C，，复数范围内，是方程的根，C选项正确；对D，设，，，则复平面内点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，的几何意义为点到原点的距离，由圆心到原点的距离为5，则的最大值为6，D选项正确.故选：CD.10．如图所示设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为仿射坐标系．若﹐则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．在的仿射射坐标系中，．则下列结论中，正确的是（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】AD【分析】根据向量的仿射坐标的定义，将选项中关于向量加减，模长，垂直，投影向量的运算通过向量的线性表达式进行即可判断.【详解】由可得，依题意，，对于A项，因，即，故A正确；对于B项，因，故B错误；对于C项，，故C错误；对于D项，由C项知，，又，则在上的投影向量为故D正确.故选：AD.11．的内角的对边分别为，若，则（

）A． B．C．角A的最大值为 D．面积的最小值为【答案】ABC【分析】由平面向量的数量积计算可得A，由余弦定理可得B，由基本不等式及余弦定理可判断C，结合条件可得，由项判定的范围即可.【详解】由，故A正确；由余弦定理结合A项可得，故B正确；由上结合基本不等式及余弦定理有故，而，单调递减，所以由，当且仅当时取得最大值，故C正确；由上可得，又，所以，故D错误.故选：ABC三、填空题12．在平面直角坐标系中，，若A，B，C三点能构成三角形，则实数m的取值范围为．【答案】【分析】求A，B，C三点不共线的条件即可.【详解】A，B，C三点能构成三角形，则与不共线，，若与共线，则有，解得，若A，B，C三点能构成三角形，即实数m的取值范围为.故答案为：13．如图，直三棱柱中，，，为线段上的一个动点，则的最小值是.

【答案】【分析】根据已知条件及直棱柱的性质，结合直角三角形的性质及勾股定理即可求解.【详解】将图中的和放置于同一平面内，如图所示，

则.因为直三棱柱中，，，所以中，.同理，在中，,所以所以在图中，,所以,即.所以的最小值是.故答案为：.14．如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示，O是圆心，直径MN为24米，P是弧的中点．一个时装塑料模特A在OP上，．计划在弧上设置一个收银台B，记，其中（1）则（用表示）：（2）若越大，该店店长在收银台B处的视线范围越大，则当店长在收银台B处的视线范围最大时，AB的长度为米．【答案】【分析】（1）由正弦定理和两角和的余弦公式求解即可；（2）换元后，构造函数，再由二次函数的性质求出最大值，根据余弦定理求解长度即可.【详解】（1）因为是P是弧的中点，所以.因为，所以，则米.由题意知，在中，设，则，由，得，则，则.故答案为：（2）设.令，则.令，当，即，取得最大值.，即的最大值为.因为函数在上单调递增，所以当取得最大值时，也取得最大值，店长在收银台B处的视线范围最大，此时.故当视线范围最大时，米.故答案为：【点睛】本题属于解三角形问题和二次函数最值问题的结合，解题难点在于正确换元构造函数，再利用二次函数的性质求最值.另外，正余弦定理和三角恒等变换等知识也必须熟练掌握，才能很好理解和计算本题.四、解答题15．已知是复数，为实数，为纯虚数（为虚数单位）．(1)求复数；(2)复数在复平面对应的点在第二象限，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）待定系数结合实数、纯虚数的概念即可求解.（2）由（1）可知，从而可以化简，结合已知即可求出实数的取值范围．【详解】（1）设复数，是实数，所以，则，所以，因为为纯虚数，所以且，解得，所以.（2）由（1）知，,在复平面上对应的点为，又已知在复平面上对应的点在第二象限，所以，解得，即实数m的取值范围为.16．的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(1)求B的值；(2)若，，BD为的平分线，BE为中线，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用两角和差的正弦公式化简已知等式，可得，即可求得，可得答案；（2）利用三角形面积公式求出c的值，再结合，即可求得，利用，结合模的计算求出，即可求得答案.【详解】（1）由题意知中，，即即，即，而，故；（2）由于，，故，又BD为的平分线，且，即，又BE为中线，故，故，故.17．如图所示的一块正四棱锥木料，侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点．(1)若，要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面应该怎样画线?（请写出必要作图说明）(2)若，在线段上是否存在一点N，使直线平面?如果不存在，请说明理由，如果存在，求出的值以及线段MN的长.【答案】(1)答案见解析(2)存在，，7【分析】（1）作，连接，利用平行公理可得共面，即可说明如何画线；（2）连接并延长交于E，连接，利用线面平行的性质定理推出，结合线段成比例，即可推出结论；利用余弦定理求出，结合线段成比例，即可求得线段MN的长.【详解】（1）因为，所以M为的中点，作，交于G，则G为的中点，连接，则，由题意知四边形为平行四边形，则，故，即共面，故要经过点M和棱将木料锯开，在木料表面沿线段画线即可；（2）存在，，说明如下：假设在线段上存在一点N，使直线平面，连接并延长交于E，连接，因为平面，平面，平面平面，故，则，由题意知四边形为正方形，故，则，即假设成立，故在线段上存在一点N，使直线平面，此时；由于，，故，故，中，，则，即，而，，故，则.18．如图，在边长为1的正三角形ABC中，O为中心，过点O的直线交边AB与点M，交边AC于点N，(1)若P为内部一点（不包括边界），求的取值范围；(2)若，求AN的值；(3)求的最大值与最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值，最小值【分析】（1）取BC的中点D，，由的取值范围求的取值范围；（2）设，则，因为三点共线，所以，可求AN的值；（3）设，和中，由正弦定理可得，关于的表达式，从而得到，利用换元法，结合构造函数利用单调性求最值.【详解】（1）取BC的中点D，连接PD，正三角形ABC边长为1，则，，，，，又，即，得，故的取值范围.（2）延长AO交BC于D，因为O为正三角形的中心，所以D为BC的中点，则有，由，得，设，因为，所以，因为，所以，可知，因为三点共线，所以，解得，即AN的值为.（3）因为正三角形的边长为1，O为正三角形的中心，所以，，设，则，当点与点重合时，取最小值；当点与点重合时，取最大值.在中，由正弦定理可得，所以，在中，同理可得，所以，令，则，所以，因为，所以，，所以，即，令，任取，，由，，，则，，所以在上单调递增，有，即，所以，有，则有，所以，即最大值，最小值.19．在锐角中，，点O为的外心．(1)若，求的最大值；(2)若．①求证：；②求的取值范围．【答案】(1)；(2)①证明见解析；②.【分析】（1）计算出和，由以及平面向量数量积的运算性质可得和，解出，再利用基本不等式即可求出的最大值；（2）①证出，设出与的夹角为，计算得到，由可得，即可证得结论；②计算出的外接圆半径为1，可得，求出角的取值范围，结合余弦函数的性质可求得的取值范围.【详解】（1）取的中点，连接,则,不妨设，因，同理可得，则由可得，即得：①又由可得，即得：②联立①,②，解得：则，因，