专题2.6二次函数与几何压轴综合问题大题专练（培优强化40题）（原卷版）

一、解答题12021·黑龙江·肇源县第五中学九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+C（a≠0）与直线y=x+1相交于A（-1，0B（4，n）两点，且抛物线经过点C（5，0）.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线AB上方抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E，设点P的横坐标为m.①求线段PE长的最大值，并求此时P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由.22021·湖南·长沙县安沙镇杨梓中学九年级期中）如图，已知在平面坐标系中，点A的坐标为(-1，0)，点B坐标为(3，0)，点C坐标为(0，-3)，根据条件，解答下列问题：(1)如图1，求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)如图2，设该抛物线的顶点为点D，求四边形ABDC的面积；(3)如图3，设点Q是该抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，QC，AC，当△QAC周长最小时，求点Q的坐标，并求出此时△QAC周长的最小值.32021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）如图，已知二次函数的图象经过点A3,3、B4,0和原点O．P为二次函数图象上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为D(m,0)，并与直线OA交于点C.(1)求出二次函数的解析式；(2)当点P在直线OA的上方时，求线段PC的最大值；(3)当m>0时，探索是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出P的坐标；如果不存在，请说明理由.42021·安徽·合肥市五十中学新校九年级期中）直线y＝x﹣2与x、y轴分别交于点A、C．抛物线的图象经过A、C和点B（1，0）.(1)求抛物线的解析式和顶点G的坐标；(2)在直线y=﹣1上是否存在点P，使得△PBG的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在直线AC上方的抛物线上有一动点D，当D与直线AC的距离DE最大时，求出点D的坐标，并求出最大距离是多少？52021·天津红桥·九年级期中）已知抛物线y＝ax2＋bx＋5（a为常数，a≠0）交x轴于点A1，0）和点B（5，0交y轴于点C.(1)求点C的坐标和抛物线的解析式；(2)若点P是抛物线上一点，且PB＝PC，求点P的坐标；(3)点Q是抛物线的对称轴l上一点，当QA＋QC最小时，求点Q的坐标.62021·重庆·北京师范大学江津附属学校九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由.72021·广东·广州外国语学校九年级期中）已知抛物线y=−x2+mx+m+1过定点A.（1）求定点A的坐标；（2）若抛物线过点B3,0，已知点H0,，G2,0，在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小，求点F的坐标.（3）在（2）的条件下，请问抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由.82021·黑龙江·讷河市第三中学九年级期中）综合与探究如图，已知点B（3，0C（0，-3经过B．C两点的抛物线y=x2-bx+c与x轴的另一个交点为A.（1）求抛物线的解析式;（2）点D在抛物线的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D的坐标.（3）若点E（2，-3在坐标平面内是否存在点P，使以点A，B，E，P为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.92021·甘肃·民勤县第六中学九年级期中）如图，抛物线x2+bx+C与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，4已知点A的坐标为（-2，0）.（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求出点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△ACQ是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.102021·黑龙江·木兰县吉兴乡中学九年级期中）已知二次函数y＝ax2－2ax－3a交x轴于A、B，交y轴于点C，S△ABC＝6（1）求a的值.（2）点P在第一象限抛物线上，过P点作y轴的平行线，交BC于点Q，交x轴于点H，点P的横坐标为t，PQ＝d，求d与t之间的函数关系式.（3）点G在第二象限的抛物线上，GB交y轴于点I，点K在线段BC上，OK⊥BI于点L，∠CIK=∠OIB，求点G的坐标.112021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）如图，抛物线y=x2+bx+C经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）.(1)求此抛物线的解析式；(2)求出抛物线的顶点坐标；(3)若抛物线上有一点B，且SΔOAB=3，直接写出点B的坐标.122022·湖北武汉·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2＋3ax＋4与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且S△ABC＝10，点P为第二象限内抛物线上的一点，连接BP.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，若∠BPD＝2∠BCO，求的值；(3)如图2，设BP与AC的交点为Q，连接PC，是否存在点P，使S△PCQ＝S△BCQ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.132022·全国·九年级期中）次函数y=ax2+bx+2的图象交x轴于点A1，0B（4，0两点，交y轴于点C，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒.(1)求二次函数y=ax2+bx+2的表达式；连接BD，当t=时，求△DNB的面积；(3)在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点P的坐标.142020·辽宁铁岭·九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（2，3与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB.(1)求该抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且∠BDO=∠BAC，求点D的坐标；(3)点P在直线AB上方的抛物线上，当△PAB的面积最大时，直接写出点P的坐标.152020·黑龙江·北安市教育局九年级期中）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0与y轴交于C（03）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.(3)连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.162020·黑龙江·勃利县大四站镇中学九年级期中）抛物线y=x2+bx+c与直线y=x-1交于A、B两点．点A的横坐标为-3，点B在y轴上，点P是y轴左侧抛物线上的一动点，横坐标为m，过点P作PC⊥x轴于C，交直线AB于D.(1)求抛物线的解析式；(2)当m为何值时，S四边形OBDC=2S△BPD.172021·辽宁·盘锦市双台区第一中学九年级期中）如图，二次函数y=ax2+bx+3的图像与x正半轴相交于点B，负半轴相交于点A，其中A点坐标是1，0B点坐标是(1)求此二次函数的解析式；(2)如图1，点P在第一象限的抛物线上运动，过点P作PD⊥x轴于点D，交线段BC于点E，线段BC把△CPD分割成两个三角形的面积比为1∶2，求P点坐标；(3)如图2，若点H在抛物线上，点F在x轴上，当以B、C、H、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标.182021·云南·剑川县马登镇初级中学九年级期中）如图，抛物线y=x2+bx+C经过A(−1,0)、B(4,5)两点，点E是线段AB上一动点，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F.(1)求抛物线的解析式；(2)求线段EF的最大值；(3)抛物线与x轴的另一个交点为点C，在抛物线上是否存在一个动点P，使得SΔACP=SΔABC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.192021·山西阳泉·九年级期中）综合与探究：如图，抛物线y=ax2+bx−6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA=2，OB=4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是时，求△ABD的面积；(3)在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.202022·山东菏泽·九年级期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知抛物线的对称轴是直线x=﹣1，OA＝OC＝2．P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P在第三象限内，且PE=OD，求△PBE的面积.212022·宁夏吴忠·九年级期中）已知△AOB的三边OA=42，OB=6，AB=25，以顶点O为原点，OB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，点P从原点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动，设运动的时间为t秒，过点P作PN∥x轴，分别交AO，AB于点M，N，当点M与N重合时，点P停止运动.(1)求点A的坐标，并确定t的取值范围；(2)求MN的长度(用含t的代数式表示)；(3)设△AMN的面积为S，写出S关于t的函数关系式，并求S的最值.222022·浙江·浦江县实验中学八年级期中）如图，抛物线y=﹣x2＋2x＋3与y轴相交于A，B两点（点A在点B左侧与y轴相较于点C，顶点为D.(1)直接写出A、B、C三点的坐标；(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；①用含m的代数式表示PF的长，并求出当m为何值时四边形PEDF为平行四边形？②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式.232022·全国·九年级期中）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为(3，0)，顶点C的坐标为(1，4).(1)求二次函数的解析式；(2)点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；(3)在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.242021·广东云浮·九年级期中）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3交x轴于点A1，0B（3，0过点B的直线交抛物线于点C.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（P不与点B，C重合求△PBC面积的最大值；同时成立？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.252021·黑龙江·海林市朝鲜族中学九年级期中）已知，如图抛物线y=ax2+3ax+C(a>(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形AOCD面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A，C，E，P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.262022·浙江金华·八年级期中）在平面直角坐标系中已知抛物线L1：y＝ax2+bx﹣3经过点A(﹣1，0）和点B（3，0点D为抛物线的顶点.(1)求抛物线L1的表达式及点D的坐标；(2)将抛物线L1关于点A对称后的抛物线记作L2，抛物线L2的顶点记作点E，求抛物线L2的表达式及点E的坐标；(3)是否在x轴上存在一点P，在抛物线L2上存在一点Q，使D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点坐标，若不存在，请说明理由.272020·辽宁·抚顺市顺城区长春学校九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A(﹣1，0）、B（3，0与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF.(1)求抛物线的解析式；(2)当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；282022·重庆巴蜀中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+23(a≠0)与x轴交于A(−2,0)，B两点（点A在点B的左侧与y轴交于点C，连接BC，∠ABC=30°.(1)求抛物线的解析式；求点P的坐标；(3)将抛物线沿射线CB方向平移3个单位，点F是平移后新抛物线的顶点，M是y轴正半轴上一点，点N是平面内任意一点，当以A、F、M、N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出所有符合条件的N点的坐标；并任选其中一个N点，写出求N点的坐标的过程.292022·陕西咸阳·九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx+4经过点E(−2,4)，与x轴交于A、B(2,0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)连接AC，过点E作x轴的垂线交线段AC于点M，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点且以AM为边的四边形是平行四边形？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.302022·山东烟台·九年级期中）如图，抛物线y=ax2+bx与x轴交于点A(-2，0)，与反比例函数y=图象交于点B，过点B作BQ⊥y轴于点Q，BQ=1.(1)求抛物线的表达式；(2)若点P是抛物线对称轴上一点，当BP+OP的值最小时，求线段QP的长；(3)若点M是平面直角坐标系内任意一点，在抛物线的对称轴上是否存在一点D，使得以A，B，D，M为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由.312022·甘肃·民勤县第六中学九年级期末）如图，抛物线y=ax2+bx+C(a≠0)经过点A(2，0)，B(-2，4)，(-4，0)，直线AB与抛物线的对称轴交于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)点M在直线AB上方的抛物线上运动，当ΔABM的面积最大时，求点M的坐标；(3)若点F为平面内的一点，且以点B,E,C,F为顶点的四边形是平行四边形，请写出符合条件的点F的坐标.322022·湖南·长沙市立信中学九年级期末）如图，已知抛物线经过A(−1,0，B3,0，C0,3)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC，点D是线段BC上方抛物线上一点，过点D作DE∥BC，交x轴于点E，连接AD交BC于点F，当取得最小值时，求点D的横坐标；(3)点G为抛物线的顶点，抛物线对称轴与x轴交于点H，连接GB，点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m.①当∠MBA=∠BGH时，求点M的坐标；②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，求m的值.332022·河南·郑州市创新实验学校九年级期末）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线Y=−x2+bx+C(C>0)的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧点B在AC的延长线上，连接OA，OB，DA和DB.(1)如图1，当AC∥x轴时，①已知点A的坐标是(﹣4，2求抛物线的解析式；②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2=4C.如图2，若b=﹣2，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由.342022·黑龙江黑河·九年级期末）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(2，0)，B(-6，0)两点.(1)求该抛物线的解析式；(2)若抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.(3)在坐标平面内是否存在一点P，使得Q、B、A、P围成的图形是平行四边形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.352022·湖南·长沙市第十五中学八年级期末）已知抛物线y=ax2+bx过点A（1，4）、B (−3，0过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C，在x轴上有一点D（4，0连(1)求抛物线的表达式；(2)若在抛物线上存在点Q，使得CD平分∠ACQ，请求出点Q的坐标；(3)在直线CD的下方的抛物线上取一点N，过点N作NG∥y轴交CD于点G，以NG为直径画圆在直线CD上截得弦GH，问弦GH的最大值是多少？362022·湖南·长沙麓山国际实验学校八年级期末）如图，抛物线y=−x2+bx+C与x轴交于A（1，0B(−3，0）两点，C是抛物线与y轴的交点，P是该抛物线上一动点.(1)求该抛物线的解析式；(2)在（1）中抛物线的对称轴上求一点M，使得△MAC是以AM为底的等腰三角形，求出点M的坐标；(3)设（1）中的抛物线顶点为D，对称轴与直线BC交于点E，过抛物线上的动点P作x轴的垂线交线段BC于点Q，使得D、E、P、Q四点组成的四边形是平行四边形？若存在，直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由.372022·内蒙古呼伦贝尔·九年级期末）如图所示，抛物线y=ax2+bx+C（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为（-2，0点C的坐标为（0，6对称轴为直线x=1．点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标为m(1＜m＜4)，连接AC，BC，DC，DB.(1)求抛物线的函数解析式；(2)当△BCD的面积等于△AOC的面积的时，求m的值；(3)在（2）的条件下，若点M是X轴上的动点，点N是抛物线上的动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.382022·