专题1.9反比例函数精讲精练（解析版）【人教版】

1.反比例函数的定义（1）反比例函数的概念形如y=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x是自变量，y是函数，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.（2）反比例函数的判断判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y=（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）.2.反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是|k|，且保持不变.3.反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表---描点---连线.（1）列表取值时，x≠0，因为x=0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值.（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确.（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴.4.反比例函数图象的对称性反比例函数图象的对称性：反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：①二、四象限的角平分线Y=-X；②一、三象限的角平分线Y=X；对称中心是：坐标原点.5.反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大.注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点.6.反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y=图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|.7.待定系数法求反比例函数解析式用待定系数法求反比例函数的解析式要注意：（1）设出含有待定系数的反比例函数解析式为常数，k≠0）；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）带入解析式，得到待定系数的方程；（3）解方程，求出待定系数；（4）写出解析式.8.反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.（2）判断正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直角坐标系中的交点个数可总结为：①当k1与k2同号时，正比例函数y=k1x和反比例函数在同一直角坐标系中有2个交点；②当k1与k2异号时，正比例函数y=k1x和反比例函数y=在同一直坐标系中有0个交点.9.根据实际问题列反比例函数关系式根据实际问题列反比例函数关系式，注意分析问题中变量之间的联系，建立反比例函数的数学模型，在实际问题中，往往要结合题目的实际意义去分析．首先弄清题意，找出等量关系，再进行等式变形即可得到反比例函数关系式.根据图象去求反比例函数的解析式或是知道一组自变量与函数值去求解析式，都是利用待定系数法去完成的.注意：要根据实际意义确定自变量的取值范围.10.反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型.②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义.③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明.（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想.（3）反比例函数中的图表信息题正确的认识图象，找到关键的点，运用好数形结合的思想.11.反比例函数综合题（1）应用类综合题能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识.（2）数形结合类综合题利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法.【考点1】反比例函数的定义【例1】（桃江县期末）下列说法正确的是()A．函数y＝3x﹣1是正比例函数，比例系数是3B．函数是反比例函数，比例系数是C．函数是反比例函数，比例系数是5D．函数是反比例函数，比例系数是【分析】利用正比例函数和反比例函数的定义解答即可.【解答】解：A、函数y＝3x﹣1是反比例函数，不是正比例函数，原说法错误，故此选项不符合题意；B、函数y=﹣是正比例函数，不是反比例函数，原说法错误，故此选项不符合题意；C、函数y＝是反比例函数，比例系数是，原说法错误，故此选项不符合题意；D、函数y=﹣是反比例函数，比例系数是﹣,原说法正确，故此选项符合题意.故选：D.【变式1.1】（青冈县期末）如果函数ym﹣1）x|m|﹣2是反比例函数，那么m的值是()【分析】根据反比例函数的定义，让x的指数为﹣1，系数不为0列式求值即可.【解答】解：根据题意得：|m|﹣2=﹣1且m﹣1≠0，解得：m=±1且m≠1，∴m=﹣1.故选：B.【变式1.2】（招远市期中）下列函数中，y是x的反比例函数的有个.【分析】根据反比例函数的定义（形如yk为常数，k≠0）的函数称为反比例函数）逐一判断即可得答案.【解答】解：①,符合反比例函数的定义，是反比例函数；②,符合反比例函数的定义，是反比例函数；③xy=﹣1，符合反比例函数的定义，是反比例函数；④y＝3x，不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；⑤,不符合反比例函数的定义，不是反比例函数；⑥,不符合反比例函数的定义，不是反比例函数.故选：B.【变式1.3】（青浦区期中）下列关系式中的两个量成反比例的是()A．圆的面积与它的半径B．正方形的周长与它的边长C．路程一定时，速度与时间D．长方形一条边确定时，周长与另一边【分析】根据反比例函数的定义解答即可.【解答】解：A、圆的面积=π×半径2，不是反比例函数，故本选项不符合题意；B、正方形的周长＝边长×4，不是反比例函数，故本选项不符合题意；C、路程s一定时，速度v和时间t的关系s＝vt，是反比例函数，故本选项符合题意；D、长方形一条a边确定时，周长s与另一边b的关系s＝2×（a+b不是反比例关系，故本选项不符合题意.故选：C.【考点2】反比例函数的性质﹣(﹣2）2中随机抽取一个数记为n，则反比例函数的图象在二、四象限的概率是()【分析】画树状图列出所有等可能结果，根据反比例函数图象所在象限可以确定mn＜0，由概率公式得出结论.∴后三个数为24，从前三个数中人选一个数，则在后三个数中有三个数和它对应，如图所示：∵反比例函数的图象在二、四象限，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中mn＜0的有5种结果，∴反比例函数的图象在二、四象限的概率是，故选：B.【变式2.1】（阿鲁科尔沁旗期末）对于反比例函数，下列说法不正确的是()A．这个函数的图象分布在第一、三象限B．点（1，3）在这个函数的图象上C．这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形D．当x＞0时，y随x的增大而增大【分析】利用反比例函数的性质进行解答即可.【解答】解：A、这个函数的图象分布在第一、三象限，故原题说法正确，不符合题意；B、点（1，3）在这个函数图象上，故原题说法正确，不符合题意；C、这个函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故原题说法正确，不符合题意；D、当x＞0时，y随x的增大而减小，故原题说法错误，符合题意；故选：D.【变式2.2】（顺平县期末）对于反比例函数，下列结论：①图象分布在第二，四象限；②当x＜0时，y随x的增大而增大；③图象经过点(﹣2，3④若点A（x1，y1B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2，其中正确的是()【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确.【解答】解：∵反比例函数y=﹣,∴该函数的图象分布在第二、四象限，故①正确；当x＞0时，y随x的增大而增大，故②正确；当x=﹣2时，y＝3，故③正确；若点A（x1，y1B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则点A和点B都在第二象限或都在第四象限时y1＜y2，点A在第二象限，点B在第四象限时y1＞y2，故④错误；故选：A.【变式2.3】（淄川区期末）已知反比例函数（m≠0当﹣4≤x≤﹣2，y有最小值﹣3；当x≥6时，yA．最大值1B．最小值1C．最大值2D．最小值2【分析】根据反比例函数的性质可知当x=﹣2时，y取得最大值﹣3，求出m的值，进一步根据反比例函数的性质求解即可.【解答】解：∵当﹣4≤x≤﹣2，y有最小值﹣3，∴反比例函数经过第一、三象限，∴在﹣4≤x≤﹣2，在每一个象限内，y值随x的增大而减小，∴当x=﹣2时，y有最小值﹣3，∴反比例函数为，∵在每一个象限内，y值随x的增大而减小，∴当x＝6时，有最大值1，故选：A.【考点3】反比例函数的图象【例3】数y＝ax在同一坐标系内的大致图象是()B.D.【分析】先根据二次函数图象确定a，b，c的符号，再分别确定该反比例函数和正比例函数图象所在的位置.【解答】解：由二次函数的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0.∴反比例函数y＝的图象在第二、四象限，正比例函数y＝ax的图象过一、三象限，故选：B.【变式3.1】（福山区期末）函数与y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx﹣b的大致图象为()B.D.【分析】首先根据二次函数及反比例函数的图象确定k、b的符号，然后根据一次函数的性质确定答案即可.【解答】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0，根据二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，知a＜0；抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即b∴函数y＝kx﹣b的大致图象经过一、二、三象限，故选：B.【变式3.2】（河口区期末）函数和y=﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是()A．B.C．D.【分析】根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题.【解答】解：在函数（k≠0）和y=﹣kx+2（k≠0）中，当k＞0时，函数（k≠0）的图象位于第一、三象限，函数y=﹣kx+2的图象位于第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，当k＜0时，函数（k≠0）的图象位于第二、四象限，函数y=﹣kx+2的图象位于第一、二、三象限，故选：D.【变式3.3】（市南区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x点A的坐标为（1，0AB垂直于x轴，连接CB，则下列说法一定正确的是()A．如图①,四边形ABCO是矩形B．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx，一次函数y＝ax+b和反比例函数y＝的图象大致如图②所示C．在同一平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x（ax+b）+c与反比例函数y＝的图象大致如图③所示D．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝bx﹣ac与反比例函数y＝在的图象大致如图④所示【分析】根据图①可知a＞0，c＜0>0，所以b＜0，然后逐项判断一次函数、二次函数和反比例函数的图象即可判断出答案.【解答】解：根据图①可知a＞0，c＜0，﹣>0，所以b＜0，A、∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=,∴点O（0，0）与点A（1，0）关于对称轴对称，∵AB垂直于x轴，∴B与C也关于对称轴对称，∴四边形ABCO是矩形，故A选项符合题意；∴一次函数y＝ax+b的图象过第一、三、四象限，故B选项不符合题意；∴二次函数y=﹣x（ax+b）+c=﹣ax2﹣bx+c的图象不经过原点，故C选项不符合题意；D、∵b＜0ac＞0，∴一次函数y＝bx﹣ac的图象过第一、二、四象限，故D选项不符合题意.故选：A.【考点4】反比例函数的对称性【例4】（房县期末）如图，点P(﹣2a，a）是反比例函数y=的图象与ΘO的一个交点，图中阴影部分的面积为10π,则该反比例函数的表达式为()A．y=﹣B．y=﹣C．y=﹣D．y=﹣【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值.【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：πr2＝10π.解得：r＝2.∵点P(﹣2a，a）是反比例函数yk＜0）与ΘO的一个交点.∴k=﹣2×8=﹣16，则反比例函数的解析式是：y=﹣.故选：D.【变式4.1】（义马市期末）若正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象交于（12则另一个交【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称.【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴两函数的交点关于原点对称，∵一个交点的坐标是（12故选：B.【变式4.2】（新田县期末）边长为4的正方形ABCD的对称中心是坐标原点O，AB∥x轴，BC∥y轴，反比例函数y=与y=﹣的图象均与正方形ABCD的边相交，则图中的阴影部分的面积是()【分析】先根据两反比例函数的解析式确定出两函数图象之间的关系，再根据正方形ABCD的对称中心是坐标原点O可知图中四个小正方形全等，反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，故阴影部分的面积即为两个小正方形即大正方形面积的一半.【解答】解：由两函数的解析可知：两函数的图象关于x轴对称.∵正方形的对称中心是坐标原点O，∴四图小正方形全等，每图小正方形的面积=∴反比例函数的图象与两坐标轴所围成的图形全等，∴阴影部分的面积＝4×2＝8.故选：C.【变式4.3】（2016春•唐河县期末）如图，A、B是双曲线y=上关于原点对称的任意两点，AC∥y轴，BD∥y轴，则四边形ACBD的面积S满足()A．S＝1B．1＜S＜2C．S＝2D【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S＝|k|可知，S△AOC＝S△BOD＝|k|，再根据反比例函数的对称性可知，O为DC中点，则S△AOD＝S△AOC＝|k|，S△BOC＝S△BOD＝|k|，进而求出四边形ADBC的面积.【解答】解：∵A，B是函数y＝的图象上关于原点O对称的任意两点，且AC平行于y轴，BD平行于y轴，∴S△AOC＝S△BOD=假设A点坐标为（x，y则B点坐标为(﹣xy△BOC＝S△BOD=△BOC＝S△BOD=∴四边形ABCD面积＝S△AOD+S△AOC+S△BOC故选：C.【考点s】反比例函数的增减性【例5】（淄川区期末）已知点A(﹣2，y1B(﹣1，y2C（3，y3）三点均在反比例函数（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＞y2＞y3B．y2＞y3＞y1C．y3＞y1＞y2D．y3＞y2＞y1【分析】根据k的值确定双曲线所在的象限，进而明确函数的增减性，再根据点A(﹣2，y1B(﹣1，y2C（2，y3）所在的象限，确定y2、y1、y3，大小关系.【解答】解：∵k2+k+1k+）2+＞0，∴反比例函数yk是常数）的图象位于一、三象限，且在每个象限内，y随x的增大而减∴点A(﹣2，y1B(﹣1，y2）在第三象限，而C（2，y3）在第一象限，∴y2＜y1＜0，y3＞0，故选：C.x3，y3）在双曲线y=﹣上，且x1＜0＜x2＜x3，则()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【分析】先根据题意判断出各点所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论.【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣2＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大.∵x1＜0＜x2＜x3，∴点（x1，y1）位于第二象限，点（x2，y2）、（x3，y3）位于第四象限，∴y1＞0，y2＜y3＜0，故选：C.【变式5.2】（西华县期末）反比例函数的图象上三点A（x1，y1B（x2，y1C（x3，y3）满足x1＜0＜x2＜x3，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y1＜y3＜y2【分析】因为k0，根据反比例函数增减性即可比较大小.【解答】解：在反比例函数中，k0，∴y1＜y3＜y2，故选：D.【变式5.3】（丰宁县期末）已知x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，且点A(﹣1，y1B(﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，则y1和y2满足()A．y1＞y2＞0B．0＞y1＞y2C．y2＞y1＞0D．0＞y2＞y1【分析】先利用方程的解求得a的值，即可判断反比例函数的图象所在的象限，然后利用反比例函数的性质解决问题即可.【解答】解：∵x=﹣1是关于x的方程2x2+ax﹣5＝0的一个根，∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，∵点A(﹣1，y1B(﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，∴点A(﹣1，y1B(﹣2，y2）都在第二象限，故选：A.【考点6】反比例函数的k值问题【例6】（孟村县期末）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，若S矩形ABCD＝4，则k的值为()【分析】延长AD，交y轴于E，如图，利用矩形的性质得AE∥x轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S矩形CDEO＝|﹣3|＝3，S矩形ABOE＝|k|，进而得出|k|＝3+4＝7，即可求出k=﹣7.【解答】解：延长AD，交y轴于E，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AE∥x轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴，∵点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，∴S矩形CDEO＝|﹣3|＝3，S矩形ABOE＝|k|，【变式6.1】（禹州市期末）如图，A、B是第二象限内双曲线y=（k≠0）上的点，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N，线段AB的延长线交x轴于点C，若OM＝MN＝NC，S△AOC＝12．则k的值【分析】设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解.【解答】解：设OM＝a，∵点A在反比例函数y=∴AM=﹣,（k＜0）上，∴S△AOC=•OC•AM=×3a×(﹣)=﹣k＝12，解得：k=﹣8.故选：A.【变式6.2】（衡南县期中）如图，△ABO的顶点A在函数y=边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于点P、Q．若△ANQ的面积为1，则k的值()A．9B．12C．15【分析】由平行可证△ANQ∽△AOB，由面积比等于相似比的平方求出△AOB的面积，则可求出k的值.【解答】解：∵MQ∥NP∥OB，∴△ANQ∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴=,故选：D.【变式6.3】（德保县期末）如图，已知△ABO的顶点A在函数的图象上，∠ABO=90°,过AO边的三等分点M、N分别作x轴的平行线交AB于P、Q两点，若四边形MNQP的面积为3，A．12B．15C．18【分析】易证△ANQ∽△AMP∽△AOB，由相似三角形的性质：面积比等于相似比的平方可求出△ANQ的面积，进而可求出△AOB的面积，则k的值也可求出.【解答】解：∵NQ∥MP∥OB，∴△ANQ∽△AMP∽△AOB，∵M、N是OA的三等分点，∴=,=,∴=,∵四边形MNQP的面积为3，∴=,故选：C.【考点7】反比例函数的面积问题【例7】（新华区校级期中）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴上，B(﹣2，1将△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，OE交BC于点G，若反比例函数的图象经过点G，分别交AB、OB于点M、N，则下列四个结论中：①;②;③BM＝3AM；④连接MO、MN，S△OMN正确的有()【分析】先根据旋转的性质得到DE＝AB＝1，OE＝OA＝2，∠OED=∠OAB＝90°,再证明△OCG∽△OED，利用相似比计算出CG则G(﹣,1进而可以判断①错误；然后把G点坐标代入y＝专中求出k的值，可以判断②正确；根据反比例函数求出M(﹣2可得BM＝3AM，可以判断③正确；然后求出直线OB解析式为y=﹣x，得﹣x=﹣,得N(﹣1再根据三角形面积的和差即可判断④正确.∵△OAB绕点O顺时针旋转，点B落在y轴上的点D处，得到△OED，∵∠COG=∠EOD，∠OCG=∠OED，∴△OCG∽△OED，∴tan∠COG故①错误；∴反比例函数解析式为y==﹣,把x=﹣2代入y=﹣,得y=,∴BM＝3AM，故③正确；∴直线OB解析式为y=﹣x，∴﹣x=﹣,解得x=±1（负值舍去∴S△OMN＝1×2﹣2×﹣×1故④正确，故选：D.【变式7.1】（梧州期末）如图，在第一象限内，A是反比例函数yk1＞0）图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数yk2＜0）的图象于点B，作以AB为边的平行四边形ABCD，其顶点C，D在y轴上，若SABCD＝7，则这两个反比例函数可能是()A．y＝和y=﹣C．y＝和y=﹣B．y＝和y=﹣D．y＝和y=﹣【分析】过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，根据平行四边形的性质可证△ADG≌△BCH（AAS进一步可知S△AGD＝S△BHC，所以S矩形ABHG＝7，根据反比例函数系数k的几何意义可知k1﹣k2＝7，进一步判断即可.【解答】解：过点A作AG⊥y轴于点G，过点B作BH⊥y轴于点H，如图所示：则∠AGD=∠BHC＝90°,在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADG=∠BCH，在△ADG和△BCH中，,∴△ADG≌△BCH（AAS∴S矩形ABHG＝7，∵A是反比例函数y=（k（k2＜0）的（k1＞0）图象上的任意一点，AB平行于y轴交反比例函数y=图象于点B，）＝故A选项不符合题意；）＝故B选项符合题意；）＝故C选项不符合题意；D选项中，k1﹣k2＝5﹣(﹣6）＝11，故D选项不符合题意，故选：B.【变式7.2】（茂南区二模）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是l1和l2，设点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，则四边形PAOB的面积为A．k1+k2B．k1﹣k2C．k1k2D．k2﹣k1【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD=的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD进一步求解即可.【解答】解：∵点P在l1上，PC⊥x轴于点C，交l2于点A，PD⊥y轴于点D，交l2于点B，∴S矩形OCPD＝k1，S△OCA＝S△OBD=∴四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OCA﹣S△OBD＝k1﹣k2，故选：B.【变式7.3】（任城区期中）函数y＝和y＝在第一象限内的图象如图，点P是y＝的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝AP.其中所有正确结论的个数是()【分析】由于A、B是反比函数y=上的点，可得出S△OBD＝S△OAC=,故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论.【解答】解：∵A、B是反比函数y=∴S△OBD＝S△OAC=当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；∵P是y=的图象上一动点，∴S矩形PDOC＝4，∴S四边形PAOB＝S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=3，故③正确；连接OP，∴===4，∴=3，∴AC＝AP；故④正确；综上所述，正确的结论有①③④.故选：C.【考点8】反比例函数与一次函数综合【例8】（大荔县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b和反比例函数y=﹣的图象都经过（1）求n的值和一次函数的表达式；（2）通过观察图象，请直接写出不等式kx+b≥﹣成立时，x的取值范围.【分析】（1）先由A（3，mB（n3）在反比例函数的图象上求出m=﹣2，n＝2，得A（3，﹣2B（23再代入y＝kx+b，解得，即可得一次函数的表达式为y＝x﹣5；（2）画出大致图象，数形结合即可得到不等式的解集.【解答】解1）将A（3，mB（n3）代入得：m=,﹣3=﹣,解得m=﹣2，n＝2，∴A（32B（23将A（32B（23）代入y＝kx+b得：∴一次函数的表达式为y＝x﹣5；（2）图象大致如图：根据图象可得，不等式的解集是x≥3或0＜x≤2.【变式8.1】（渠县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A(﹣1，0与反比例函数y=在第一象限内的图象相交于点B（2，m连接OB，若S△AOB=.（1）求该反比例函数和直线AB的表达式；（2）若直线AB与y轴的交点为C，求△OBC的面积.【分析】（1）先根据三角形面积公式求出m，得到B（2，3然后利用待定系数法求反比例函数解析式，利用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）确定C点坐标，然后利用三角形面积公式求解.【解答】解1）∵S△AOB=,设反比例函数解析式为y=,把B（2，3）代入得k＝2×3＝6，∴反比例函数解析式为y=;设直线AB的解析式为y＝ax+b，把A(﹣1，0B（2，3）代入得，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+1；（2）∵直线AB的解析式为y＝x+1，的图象交于点A（4，1且过点B（03）.（1）求反比例函数和一次函数的表达式.（2）如果点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，且△ABP的面积是12，求点P的坐标.【分析】（1）将点A（4，1）代入y=,利用待定系数法求得反比例函数的解析式，将点A（4，1）B（03）代入y＝kx+b，利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）首先求得AB与x轴的交点C的坐标，然后根据S△ABP＝S△ACP+S△BCP即可列方程求得P的横坐标.【解答】解1）∵反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（4，1∴反比例函数的表达式为y=∵一次函数y＝kx+b的图象过点A（4，1）和B（03解得∴一次函数的表达式为y＝x﹣3；（2）如图，设一次函数y＝x﹣3的图象与x轴的交点为C.∴PC×1+PC×3＝12，∵点P是x轴上位于直线AB右侧的一点，C（3，0）.【变式8.3】（禹州市期末）如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2=的图象交于点A（2，m）和B(﹣62与y轴交于点C.（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围；（3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式.【分析】（1）先把B点坐标代入入y1＝k1x+4可确定一次函数解析式为y1＝x+4；再把B(﹣62）代入可确定反比例函数解析式为y2=;（2）观察函数图象得到当x<﹣6或0＜x＜2，一次函数图象都在反比例函数图象上方；（3）先确定点A的坐标是（2，6点C的坐标是（0，4再计算出S梯形ODAC＝10，由S梯形ODAC：S△ODE＝3：1得S△ODE=×10则OD•DE所以DE于是点E的坐标为（2然后确定直线OP的解析式为y＝x.【解答】解1）将点B(﹣62）代入y1＝k1x+4，解得k1＝1；∴一次函数的解析式为y1＝x+4；∴反比例函数的表达式为；（2）由图可知：当y1＜y2时，0＜x＜2或x<﹣6；（3）依照题意，画出图形，如图所示：∴点A的坐标为（2，6S四边形ODAC===10，∵S四边形ODAC：S△ODE＝3：1，设直线OP的解析式为y＝kx，将点代入y＝kx，得，解得，∴直线OP的解析式为.【考点9】反比例函数应用问题【例9】（王益区期末）某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种新品，如图是某天恒温系统从开始到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x（h）变化的函数图象，其中DA段是一次函数y＝ax+b图象的一部分，AB段是恒温阶段，BC段是反比例函数yk＞0）图象的一部分，请根据图中信息解答下列问题：（1）求反比例函数yk＞0）的表达式；（2）恒温系统在一天内保持大棚内温度不低于15℃的时间有多少小时？【分析】（1）直接将点B的坐标代入即可；（2）观察图象可知：三段函数都有y≥15的点，而且AB段是恒温阶段，y＝20，所以计算AD和BC两段当y＝15时对应的x值，相减就是结论.【解答】解1）把B（12，20）代入y=k＝12×20＝240；∴y=;（2）如图，设AD的解析式为：y＝mx+n.,解得：∴AD的解析式为：y＝5x+10，当y＝15时，15＝5x+10，∵15=,答：恒温系统在一天内保持大棚里温度不低于15℃的时间有15小时.知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分根据图象所示信息，解答下列问题：（1）求出线段OA和双曲线函数表达式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于3毫克时，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少在多少分钟内，师生不能待在教室？【分析】（1）由（24，8）可得反比例函数解析式，进而可得A点坐标，再由A点坐标可得正比例函数解析式；（2）根据函数图象求得y≥3时，自变量的取值范围，再计算时间差即可解答.【解答】解1）设反比例函数解析式为，将（24，8）代入解析式得k＝24×8＝192，∴反比例函数解析式为，将y＝12代入解析式得x＝16，∴反比例函数解析式为（x≥16设正比例函数解析式为y＝nx，将A（16，12）代入得：，∴正比例函数解析式为；（2）由可得：当y＝3时由可得：当y＝3时，x＝4，由函数图象可得：当4≤x≤64时，y≥3毫克，∵64﹣4＝60分钟，∴师生至少在60分钟内不能进入教室．【变式9.2】（定远县期末）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元若销售价格为x（元/件销售量为y（百件当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x＝40时，y＝6，有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如表：销售量y（百件）yx+10y＝销售价格x（元/件）40≤x≤6060≤x≤80（1）求当40≤x≤60时，y与x的函数关系式；（2）①求销售这种T恤衫的纯利润w（百元）与销售价格x（元/件）的函数关系式；②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？【分析】（1）把x＝60代入y＝得y＝3，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，把x＝40，y＝6；x＝60，y＝4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x的范围分类讨论，由“总利润＝单件利润×销售量”可得函数解析式；②结合（1）中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可．【解答】解1）把x＝60代入y＝得y＝4，设y与x的函数关系式为：y＝kx+b，解得∴y与x的函数关系式为：y＝﹣x+10；故答案为：yx+10；（2）①当40≤x≤60时，wx﹣300.1x+10500.1x2+13x﹣350；当60≤x≤80时，wx﹣30）•；②当40≤x≤60时，w0.1x2+13x﹣3500.1（x﹣65）2+72.5，∴当x＝60时，w取得最大值70（百元当60≤x≤80时，w+190，∵﹣7200＜0，∴w随x的增大而增大，∴当x＝80时，w最大＝100（百元答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元．【变式9.3】（市中区校级月考）某品牌饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中水温y℃与开机时间x分成反比例关系当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，…，重复上述程序（如图所示（1）分别求出0≤x≤8和8＜x＜t时的函数关系式，并求出t的值．（2）一个加热周期内，水温保持不低于40℃有多长时间？（3）开机后50分钟时，求水的温度是多少℃？【分析】（1）用待定系数法可得0＜x＜8和8＜x＜t时的函数关系式，在反比例函数中，令y＝20可求得（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，在y＝中，令y＝40得x＝20，即得两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；（3）由50﹣40＝10＞8，即得开机后50分钟时，y80．【解答】解1）当0≤x≤8时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系为：y＝kx+b，依据题意，得，解得：，∴y＝10x+20（0≤x≤8当8＜x＜t时，设水温y(℃)与开机时间x（分）的函数关系式为：y=,依据题意，得：100=,解得m＝800，∴y=,当y＝20时，20=,∴y8＜x＜40（2）在y＝10x+20中，令y＝40得x＝2，在y＝中，令y＝40得x＝20，∴两次加热之间，水温保持不低于40℃有18分钟；（3）∵50﹣40＝10＞8，答：开机后50分钟时，水的温度是80℃.【考点10】反比例函数综合问题【例10】（新余期末）如图，直线y=﹣x+m与反比例函数y＝的图象相交于点A(﹣2，n与x轴交于（1）求m和k的值.（2）若点P（t，t）与点O关于直线AB对称，连接AP.①求点P的坐标；②若点M在反比例函数y＝的图象上，点N在x轴上，以点A，P，M，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点M的坐标；若不能，请说明理由.【分析】（1）将点B（2，0）代入y=﹣x+m可得m＝2，直线AB的表达式为y=﹣x+2，把点A(﹣2，n）代入y=﹣x+2得A(﹣2，4故k=﹣2×4=﹣8；（2）①连接PB，过A作AF⊥x轴于F，由A(﹣2，4B（2，0知△ABF是等腰直角三角形，∠②设M（p),N（q，0又A(﹣2，4P（2，2分三种情况，由平行四边形对角线互相平分列方程可解得答案.【解答】解1）将点B（2，0）代入y=﹣x+m得2+m＝0，∴直线AB的表达式为y=﹣x+2，把点A(﹣2，n）代入y=﹣x+2，得：n=﹣(﹣2）+2＝4，将A(﹣2，4）代入y=得：4=,∴k=﹣2×4=﹣8；（2）①连接PB，过A作AF⊥x轴于F，如图：∴AF＝BF＝4，∴△ABF是等腰直角三角形，由点P与点O关于直线AB对称，知△APB≌△AOB，∴OB＝BP＝2，∠ABP=∠ABO，即∴点P的坐标为（2，2②以点A，P，M，N为顶点的四边形能为平行四边形，理由如下：解得p=﹣,解得p＝4，(Ⅲ)若MP，NA为对角线，则MP，NA的中点重合，解得p=﹣4，【变式10.1】（蓝山县期末）如图，在矩形OABC中，OA＝4，OC＝6，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合反比例函数的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE.（1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k＝6；（2）连接CA，DE与CA是否平行？请说明理由；（3）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值；（2）连接AC，设D（x，6E（4，x则BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，得到，证明△BDE∽△BCA，进而证得DE∥AC；EF⊥OC，垂足为F，易得，△B′CD∽△EFB′，然后根据对称性求出B′E、B′D的表达式，列出,从而求出（5﹣)2+x23﹣x）2，即可求出x值，从而得到D点坐标.【解答】解1）连接OE，如图1，∵Rt△AOE的面积为3，故答案为：6；（2）连接AC，如图1，设D（x，6E（4，x则BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，∴=,=又∵∠B=∠B，∴△BDE∽△BCA，∴DE∥AC.（3）假设存在点D满足条件．设D（x，6E（4，x则CD＝x，BD＝4﹣x，BE＝6﹣x，AE＝x.作EF⊥OC，垂足为F，如图2，由勾股定理得，CB′2+CD2＝B′D2，（6﹣3x）2+x24﹣x）2解这个方程得，x1＝2（舍去x2=,【变式10.2】（济南一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2OA，OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线，将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G.（1）求tan∠COF的值及反比例函数表达式.（2）在x轴上是否存在一点M，使|MF﹣MG|的值最大？若存在，求出点M；若不存在，说明理由.（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形，请直接写出OP的长.【分析】（1）△ODE是△OAB旋转得到的，可得tan∠COF＝tan∠AOB＝2，求得点F的坐标为（1，2即可求解；（2）通过分析可知存在这样的点，当直线FD与x轴交于M时，满足条件|MF﹣MG|的值最大；（3）分GF＝PF、PF＝PG、GF＝PG三种情况，分别求解即可.【解答】解1）∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，∴∠COF=∠AOB，∴tan∠COF＝tan∠AOB＝2，∴CF＝1，∴点F的坐标为（1，2∵yx＞0）的图象经过点F，解析式为：y=;∴点G的坐标为（4由题意可知延长FD与x轴交于M点时|MF﹣MG|的值最大，设直线FD的解析式为：y＝kx+b，将F，G点坐标代入可得：,解得：，∴M点的坐标为5，0（3）设点P（m，0而点F（1，2点G（4则FG2＝9+PF2m﹣1）2+4，PG2m﹣4）2+，当GF＝PF时m﹣1）2+4，解得，m＝或（舍去负值当PF＝PG时，同理可得：m=;当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣或4+（舍去综上，OP的长为或或4﹣.图【变式10.3】（三河市期末）已知A(﹣4，2）、B（n4）两点是一次函数y＝kx+b和反比例函数y=象的两个交点，点P坐标为（n，0）.图（1）求一次函数和反比例函数的解析式2）求△AOB的面积；（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣>0的解集；（4）若△ABP为直角三角形，直接写出n值.【分析】（1）先把A点坐标代入y=,求出m可得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数解析式；（2）根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三角形面积公式，由S△AOB＝S△AOC+S△BOC进行计算即可；（3）观察函数图象找出直线在双曲线的上方时所对应的自变量取值范围，即可写出不等式kx+b﹣>0的解集；（4）分情况讨论，利用勾股定理即可得答案.【解答】解1）把A(﹣4，2）代入y=,得m＝2×(﹣4）=﹣8，则反比例函数解析式为y=﹣.把B（n4）代入y=﹣,得﹣4n=﹣8，解得n＝2，则B点坐标为（24把A(﹣4，2）、B（24）代入y＝kx+b得，,解得，则一次函数解析式为y=﹣x﹣2.（2）直线与x轴的交点为C，在y=﹣x﹣2中，令y＝0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C(﹣2，0∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4＝6.（3）由图可得，不等式kx+b﹣>0解集范围是x<﹣4或0＜x＜2.∴AB22+4）2+(﹣4﹣2）2＝72，PA2n+4）2+22＝n2+8n+20，PB2n﹣2）2+42＝n2﹣4n+20，①当AB是斜边时，PA2+PB2＝AB2∴n2+8n+20+n2﹣4n+20＝722解得：n=﹣1﹣或n=﹣1+，②当AP是斜边时，AB2+PB2＝PA2：722+n2﹣4n+20＝n2+8n+20解得：n＝6③当BP是斜边时，PA2+AB2＝PB2∴n2+8m+20+722＝n2﹣4n+20解得：n=﹣6【考点11】以反比例函数为载体的新定义题目【例11】（崇川区月考）定义：如图1，点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，若∠MPN绕点P旋转时始终满足OM•ON＝OP2，则称∠MPN是∠AOB的“相关角”.（1）如图1，已知∠AOB＝60°,点P为∠AOB平分线上一点，∠MPN的两边分别与射线OA，OB交于M，N两点，且∠MPN＝150°.求证：∠MPN是∠AOB的“相关角”；（2）如图2，如果∠MON＝60°,OP＝2，∠APB是∠MON的关联角，连接AB，求△AOB的面积和∠APB的度数；（3）如图3，C是函数图象上的一个动点，过点C的直线CD分别交x轴和y轴于点A，B两点，且满足BC＝3CA，∠AOB的“相关角”为∠APB，求出OP的长及相应点P的坐标.【分析】（1）由角平分线求出∠MOP=∠NOP=∠AOB＝430°,再证出∠OMP=∠OPN，证明△MOP∽△PON，即可得出结论；（2）由△AOP∽△POB，推出∠OAP=∠OPB，推出∠APB=∠OPB+∠OPA=∠OAP+∠OPA＝180°−α,利用三角形的面积公式可得△AOB的面积.（3）分两种情况：①当点B在y轴正半轴上时；当点A在x轴的负半轴上时，BC＝3CA不可能；当点CHAHAC1A在x轴的正半轴上时；得出△ACH∞△ABO，得出比例式，得出OB，OA，求出OA•OB，根据上APB是上AOB的“相关角”，得出OP，即可得出点P的坐标；②当点B在y轴的负半轴上时；同①的方法即可得出结论.【解析】