专题1.4二次函数的应用及综合问题精讲精练

二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题.（一）简单应用对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，-并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，进行简单的应用（或者直接给出二次函数的解析式，进行简单应用）．解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式.（二）建模应用利用二次函数解决抛物线型问题，一般是先根据实际问题的特点建立直角坐标系，设计合适的二次函数的解析式，把实际问题中的已知条件转化为点的坐标，代入解析式求解，最后要把求出的结果转化为实际问题的答案.（三）销售问题二次函数解决销售问题是我们生活中经常遇到的问题，这类问题通常是根据实际条件建立二次函数关系式，然后利用二次函数的最值或自变量在实际问题中的取值解决利润最大问题.（四）运用二次函数求实际问题中的最值即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解，求最值时，要注意求的答案要符合实际问题．包括二次函数在没有限制条件下的最值，二次函数在给定范围条件下的最值和分段函数求最值.1．二次函数在没有限制条件下的最值：二次函数的一般式y=ax2+bx+c(a≠0)化成顶点式如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）.2．二次函数在给定范围条件下的最值：如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，如果顶点在自变量的取值范围x1≤x≤x2内，则需要计算当x=x1，x=x2，x=时，对应的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值，如果顶点不在此范围内，则只需要计算当x=x1，x=x2时的函数值，比较结果，最大的函数值为最大值，最小的函数值为最小值（或者用二次函数的增减性来解）.【考点1】二次函数的应用：销售问题【例1】（兴城市期末）某市政府大力扶持大学生创业，小明在政府的扶持下投资销售一种进价为每千克6元的农产品．销售过程中发现，每天的销售量y（千克）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，另外在销售过程中小明每天需要支付其他费用200元.销售单价x（元/千克）销售量y（千克）300270（1）求y与x的函数关系式；（2）根据物价部门的规定，这种农产品的销售单价不得高于12元，那么如何定价才能使小明每天获得的纯利润最大？最大纯利润是多少元？【变式1.1】（定海区期中）我市一家电计算器专卖店每只进价12元，售价20元，多买优惠；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×（20﹣10）＝1（元），因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元.（1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买；（2）求该专卖店当一次销售x只时（x＞10所获利润y（元）与x（只）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少元？【变式1.2】（黔西南州期末）为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召，某公司自主设计了一款成本为8元的杯，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元不低于成本价）满足的一次函数关系如图所示.（1）求y与x的函数关系式；（2）当销售单价定为多少元时，每天销售获得的利淘最大？最大利润是多少？【变式1.3】（黄冈二模）某超市计划在端午节前30天销售某品牌粽，进价为每盒90元，设第x天（x为整数）的销售价格为每盒y元，销售量为m盒．该超市根据以往的销售经验得出以下销售规律：①当1≤x≤10时，y＝200；当11≤x≤30时，y与x满足一次函数关系，且当x＝21时，y＝145；当x=24时，y＝130；②m与x的关系为m＝5x+20.（1）当11≤x≤30时，求y与x的函数关系式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少.（3）超市要在当天销售价格的基础上涨a元/盒，结果发现第11到第15天的日销售利润W（元）随x的增大而增大，则a的取值范围为.【考点2】二次函数的应用：面积问题【例2】（西秀区期末）两段相互垂直的墙AB和AC的长分别为12m和3m，用一段长为23m的篱笆成一个矩形菜园（篱笆全部使用完如图所示，矩形菜园的一边AD由墙AC和一节篱笆CD构成，一边AF靠在墙AB上，一边EF上有一个2m的门．假设篱笆CD的长为xm，矩形菜园的面积为Sm2（S＞0回答下面的问题：（1）用含x的式表示篱笆DE的长为m，x的取值范围是；（2）菜园的最大面积是多少m2？求出此时x的值是多少.【变式2.1】（上虞区期末）如图，用长为30的篱笆一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃．设花圃的一边AB为x（m面积为y（m）.（1）求y关于x的函数表达式，并求出自变量x的取值范围；（2）如果要围成面积为63m2的花圃，那么AB的长为多少？（3）求出所能围成的花圃的最大面积.【变式2.2】另三边利用现有的36米长的篱笆围成，若要在与墙平行的一边开一扇2米宽的门，且篱笆没有剩余.（1）若围成的养鸡场面积为120平方米，则这个养鸡场与墙垂直的一边和与墙平行的一边各是多少米？（2）这个养鸡场的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值；若没有，请说明理由.【变式2.3】（老河口市期末）小明的爸爸投资1200元围一个矩形菜园（如图其中一边靠墙（墙长24m另外三边选用不同材料建造．平行于墙的边的费用为20元/m，垂直于墙的边的费用为15元/m，设平行于墙的边长为xm.（1）设垂直于墙的一边长为ym，直接写出y与x之间的函数关系式；（2）设菜园的面积为Sm2，求S与x的函数关系式，并求出当S＝546时x的值；（3）小明计算出菜园的最大面积是600m2，小明计算的对吗？请说明理由.【考点3】二次函数的应用：抛物型问题【例3】（温岭市期末）疫情就是命令，台州新冠疫情防控指挥部安排某中学进行了核酸检测采样演练，演练下午3点开始，设6个采样窗口，每个窗口采样速度相同，学生陆续到操场排队，4点半排队完毕，小明就排队采样的时间和人数进行了统计，得到下表：时间x03045759095人数y602352400小明把记录的数据，在平面直角坐标系里，描成点连成线，发现满足学过的某些函数图象如图，请你解答：（1）求曲线ABC部分的函数解析式；（2）若排队人数在220人及以上，即为满负荷状态，问满负荷状态的时间持续多长？（3）如果采样进行45分钟后，为了减少扎堆排队的时间，指挥部要求4点15分后，采样可以随到随采，那么至少需新增多少个采样窗口？（4）疫情防控指挥部按照每个采样窗口与某中学相同采样速度对员工人数为600的某单位进行全员核酸检测，如果采样时间t（分钟）控制在30分钟到60分钟之间（即30≤t≤60则开设的采样窗口数量n（个）的范围是.【变式3.1】（景德镇期末）公路上正在行驶的甲车，发现前方20m处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程s（单位：m）、速度v（单位：m/s）与时间t（单位：s）的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示.（1）当甲车减速至10m/s时，它行驶的路程是多少？（2）若乙车以9m/s的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？【变式3.2】（顺平县期末）疫情期间，学校按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测．某校统计了学生早到校情况，发现学生到校的累计人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况如图所示，当0≤x≤30时，y可看作是x的二次函数，其图象经过原点，且顶点坐标为（30，1800当30＜x≤40时，累计人数保持不变.（1）求y与x之间的函数表达式；（2）如果学生一进校就开始测量体温，校门口有2个体温检测点，每个检测点每分钟可检测20人．校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人？全部学生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在10分钟内让全部学生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【变式3.3】（泗县期末）2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x轴，过跳台终点A作水平线的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O正上方4米处的A点滑出，滑出后沿一段抛物线运动.（1）求山坡坡顶的高度；（2）当运动员运动到离A处的水平距离为2米时，离水平线的高度为7米，求抛物线C2的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围（3）在（2）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？【考点4】二次函数压轴题：动点问题【例4】（金乡县三模）如图，直线y=﹣2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A、E，点E的坐标是（5，3抛物线交x轴于另一点C（6，0）.（1）求抛物线的解析式.（2）设抛物线的顶点为D，连接BD，AD，CD，动点P在BD上以每秒2个单位长度的速度由点B向点D运动，同时动点Q在线段CA上以每秒3个单位长度的速度由点C向点A运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒，PQ交线段AD于点H.①当∠DPH=∠CAD时，求t的值；②过点H作HM⊥BD，垂足为点M，过点P作PN⊥BD交线段AB或AD于点N．在点P、Q的运动过程中，是否存在以点P，N，H，M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.【变式4.1】（沈北新区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，且OA＝OC＝3OB，连接AC.（1）求抛物线的解析式；（2）动点P和动点Q同时出发，点P从点C以每秒2个单位长度的速度沿CA运动到点A，点Q从点O以每秒1个单位长度的速度沿OC运动到点C，连接PQ，当点P到达点A时，点Q停止运动，求S△CPQ的最大值及此时点P的坐标；（3）点M是抛物线上一点，是否存在点M，使得∠ACM＝15°?若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【变式4.2】（长沙模拟）在一个三角形中，如果其中某两边的长度之和等于第三边长度的两倍，则称该三角形为“调和三角形”例如我们学过的等边三角形就是“调和三角形”.（1）已知一个“调和三角形”三条边的长度分别为4，6，m﹣1，求m的值.（2）已知Rt△ABC是“调和三角形”，它的三边长分别为a，b，c，且a＜b＜c.②若△ABC周长的数值与面积的数值相等，求a，b，c的值.（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发以每秒2个单位c长度的速度沿路线A→B→C运动，动点Q从点C出发以每秒1个单位长度的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒，设y＝PQ2.①求y关于t的函数关系式；②求y的最小值.【变式4.3】（邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0B（0，6CD＝5，抛物线y＝ax2﹣x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t.（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值.【考点s】二次函数压轴题：面积问题【例5】（钦北区期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+6与直线y＝x+2相交于A、B（4，6）两点，点P是线段AB上的动点（不与A、B两点重合过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C，点E是直线AB与x轴的交点.（1）求抛物线的解析式；（2）当点C是抛物线的顶点时，求△BCE的面积；（3）是否存在点P，使得△BCE的面积最大？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.【变式5.1】（茌平区一模）如图，已知二次函数的图象交x轴于点B(﹣8，0C（2，0交y轴点A.（1）求二次函数的表达式；（2）连接AC，AB，若点P在线段BC上运动（不与点B，C重合过点P作PD∥AC，交AB于点D，试猜想△PAD的面积有最大值还是最小值，并求出此时点P的坐标.（3）连接OD，在（2）的条件下，求出的值.【变式5.2】（官渡区二模）抛物线交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于点C，对称轴为直（1）如图1，若点C坐标为（0，2则bc=;（2）若点P为第二象限抛物线上一动点，在（1）的条件下，求四边形ABCP面积最大时，点P坐标和四边形ABCP的最大面积；（3）如图2，点D为抛物线的顶点，过点O作MN∥CD分别交抛物线于点M，N，当MN＝3CD时，求c的值.【变式5.3】（开福区校级二模）如图，抛物线yx+1x﹣a其中a＞1）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.（1）直接写出∠OCA的度数和线段AB的长（用a表示（2）如图①,若a＝2，点D在抛物线的对称轴上，DB＝DC，求△BCD与△ACO的周长之比；（3）如图②,若a＝3，动点P在线段OA上，过点P作x轴的垂线分别与AC交于点M，与抛物线交于点N．试问：抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△BPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由.【考点6】二次函数压轴题：三角形存在性问题【例6】（邢台模拟）如图，直线AB和抛物线的交点是A（03B（5，9已知抛物线的顶点D的横坐标是2.（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（2）在x轴上是否存在一点C，与A，B组成等腰三角形？若存在，求出点C的坐标，若不在，请说明理由；（3）在直线AB的下方抛物线上找一点P，连接PA，PB使得△PAB的面积最大，并求出这个最大值.【变式6.1】（方正县期末）抛物线y＝ax2﹣4ax+3a交x轴于点B、C两点，交y轴于点A，点D为抛物线的顶点，连接AB、AC，已知△ABC的面积为3.（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线对称轴右侧一点，点P的横坐标为m，过点P作PQ∥AC交y轴于点Q，AQ的长度为d，求d与m的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当d＝4时，作DN⊥y轴于点N，点G为抛物线上一点，AG交线段PD于点M，连接MN，若△AMN是以MN为底的等腰三角形，求点G的坐标.【变式6.2】（蓬江区校级一模）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（4，0C(﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q.（1）求抛物线的解析式；（2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标；（3）是否存在点P，使△PAQ为直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由.【变式6.3】（大同模拟）综合与探究如图，已知直线和抛物线相交于点A(﹣1，1）和点，与x轴相交于点C.（1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标；（2）已知点D的坐标为（01判断△ACD的形状，并说明理由；（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得△ACP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【考点7】二次函数压轴题：相似问题【例7】（兴城市期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过A（4，0B(﹣1，0）两点，与y轴交于点C，D为第一象限抛物线上的动点，连接AC，BC，DA，DB，DB与AC相交于点E.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，设△ADE的面积为S1，△BCE的面积为S2，当S1＝S2+5时，求点D的坐标；（3）如图2，过点C作CF∥x轴，点M是直线CF上的一点，MN⊥CF交抛物线于点N，是否存在以C，M，N为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由.【变式7.1】（长垣市期末）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴、y轴分别交于点B（6，0）和点C（0（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，其横坐标为m，连接PB、PC，当△PBC的面积为时，求m值；（3）如图2，点M是线段OB上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线BC和抛物线交于D，E两点，是否存在以C，D，E为顶点的三角形与△BDM相似，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【变式7.2】（禹城市模拟）如图，抛物线经过A（4，0B（1，0C（02）三点.（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若抛物线上有一点D（点D位于直线AC的上方且不与点B重合）使得S△DCA＝S△ABC，直接写出点D的坐标.【变式7.3】（攸县期末）如图，已知直线y=﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D.（1）若抛物线的解析式为y=﹣2x2+2x+4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.①求点M和点N的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点Q，使|AQ﹣BQ|的值最大，请直接写出点Q的坐标；③是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由.【考点8】二次函数压轴题：线段最值定值问题【例8】（兴宁区校级模拟）如图1，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（2，0点C坐标为（0，2（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图3，过点M（1，3）作直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由.【变式8.1】（青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与y轴，x轴分别相交于A（0，2B（2，0C（4，0）三点，点D是二次函数图象的顶点.（1）求二次函数的表达式；（2）点P为抛物线上异于点B的一点，连接AC，若S△ACP＝S△ACB，求点P的坐标；（3）M是第四象限内一动点，且∠AMB＝45°,连接MD，MC，求2MD+MC的最小值.【变式8.2】（河南三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC.（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m.①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标.【变式8.3】（和平区二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线顶点A的坐标为(﹣2，4且经过坐标原点，与x轴负半轴交于点B.（1）求抛物线的函数表达式并直接写出点B的坐标；（2）过点A作AC⊥x轴于点C，若点D是y轴左侧的抛物线上一个动点（点D与点A不重合过点D作DE⊥x轴于点E，连接AO，DO，当以A，O，C为顶点的三角形与以D，O，E为顶点的三角形相似时，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，当点D在第二象限时，在平面内存在一条直线，这条直线与抛物线在第二象限交于点F，在第三象限交于点G，且点A，点B，点D，到直线FG的距离都相等，请直接写出线段FG的长.【考点9】二次函数压轴题：角数量关系问题【例9】（十堰模拟）如图，抛物线y＝ax2+2x+c（a＜0）与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧与y轴交于点C，OB＝OC＝3.（1）求该抛物线的函数解析式；（2）如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD，OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF＝3：2时，求点D的坐标.（3）如图2，点E的坐标为（0在抛物线上是否存在点P，使∠OBP＝2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式9.1】（章丘区一模）如图1和图2，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过B（1，0C（0，3）两点，与x轴交于点A.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，在抛物线的对称轴直线x=﹣1上找一点M，使点M到点B的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）如图2，点Q为直线AC上方抛物线上一点，若∠CBQ＝45°,请求出点Q坐标.【变式9.2】（天桥区三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴正半轴交于点A（4，0与y轴交于点B（0，2点C在该抛物线上且在第一象限.（1）求该抛物线的表达式；（2）将该抛物线向下平移m个单位，使得点C落在线段AB上的点D处，当AD＝3BD时，求m的值；（3）连接BC，当∠CBA＝2∠BAO时，求点C的坐标.【变式9.3】（南岗区期末）如图，经过点C(﹣23）的抛物线y＝ax2+x﹣交x轴于A、B两点.（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，点D在线段OA上，过点D作x轴的垂线交AC的延长线于点E，连接CD，设点D的横坐标为t，△CDE的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围（3）在（2）的条件下，点F为BD的中点，连接BC，BE，CF，若∠AFC＝2∠CBE，求S的值.【考点10】二次函数压轴题：平行四边形问题（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点D，使S△ABD＝S△ABC？若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）P是线段AC上的一个动点，过点P作PE∥y轴交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；（4）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点G，使得以点A，C，G，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由.【变式10.1】（沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A(﹣2，0）、点B（点A在点B的左侧与y轴交于点C，且过点（2，3）.（1）求抛物线的表达式；（2）如图1，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）一动点，过点P作PD∥y轴，交BC于D，过点P作PE∥x轴，交直线BC于E，求PE+DB的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿x轴向左平移1个单位得到新抛物线y′，点M为新抛物线y′上一点，点N为原抛物线对称轴上一点，当以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形时，求点N的坐标，并写出求其中一个N点坐标的解答过程.【变式10.2】（武城县模拟）如图，直线l：y=﹣x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A.（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD∥x轴交l于点D，PE∥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；（3）设F为直线l上的点，点P仍在直线l下方的抛物线上，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由.【变式10.3】（康巴什一模）如图，抛物线y=﹣x2+6x﹣5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线为y＝x﹣5.（1）写出相应点的坐标：A，B，C；（2）点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大，并求出最大值.（3）过点A作AM⊥BC于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标.【考点11】二次函数压轴题：矩形菱形存在性问题【例11】（铁锋区三模）综合与探究已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象的顶点为D(﹣1，4与x轴交于B，A两点，与y轴交于点C（0，3点E为抛物线对称轴上的一个动点.（1）求二次函数的解析式；（2）当△ACE的周长最小时，点E的坐标为；（3）当点E在x轴上方且∠BAE=∠BDE时，试判断CE与BD的位置关系，并说明理由；（4）若点N是y轴上的一点，坐标平面内是否存在P，使以D、B、N、P为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.【变式11.1】（齐齐哈尔三模）综合与实践如图，二次函数y=﹣x2+c的图象交x轴于点A、点B，其中点B的坐标为（2，0点C的坐标为（0，2过点A、C的直线交二次函数的图象于点D.（1）求二次函数和直线AC的函数表达式；（2）连接DB，则△DAB的面积为；（3）在y轴上确定点Q，使得∠AQB＝135°,点Q的坐标为；（4）点M是抛物线上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点N，使得以点A、点D、点M、点N为顶点的四边形是以AD为