高中数学人教A版选修2-1课件3.1.3空间向量的数量积运算

空间向量的数量积运算课标阐释思维脉络1.理解空间两个向量夹角的定义.2.掌握空间向量数量积的定义、性质、运算律,会求空间向量的数量积.3.能够运用空间向量的数量积解决夹角与距离问题.空间向量的数量积特别提醒1.由定义知,只有两个非零空间向量才有夹角,当两个非零空间向量共线同向时,夹角为0,共线反向时,夹角为π.2.对空间任意两个非零向量a,b有:①<a,b>=<b,a>;②<-a,b>=<a,-b>=π-<a,b>;③<-a,-b>=<a,b>.A.30° B.60°

C.150°

D.120°答案D【思考】(1)若a·b=0,则一定有a⊥b吗?(2)若a·b>0,则<a,b>一定是锐角吗?答案(1)若a·b=0,则不一定有a⊥b,也可能a=0或b=0.(2)当<a,b>=0时,也有a·b>0,故当a·b>0时,<a·b>不一定是锐角.2.空间向量的数量积(1)已知两个非零向量a,b,则|a||b|cos<a,b>叫做a,b的数量积,记作a·b.(2)数量积的运算律:(λa)·b=λ(a·b);a·b=b·a(交换律);a·(b+c)=a·b+a·c(分配律).(3)数量积的运算性质:①若a,b是非零向量,则a⊥b⇔a·b=0.②若a与b同向,则a·b=|a||b|;若a与b反向,则a·b=-|a||b|.④|a·b|≤|a||b|.名师点拨1.对空间向量数量积的理解(1)两个空间向量的数量积是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)空间向量的数量积运算不满足a·b=a·c⇒b=c,(a·b)·c=a·(b·c).2.空间向量数量积的应用

(3)利用关系a⊥b⇔a·b=0可以证明空间两直线的垂直.【做一做2】

已知长方体ABCD-A1B1C1D1,下列向量的数量积一定不为0的是(

)解析当长方体ABCD-A1B1C1D1为正方体时,根据正方体的性质可知AB⊥AD1,AD1⊥B1C,BD1⊥AC,答案C【做一做3】

已知向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直.若m=8j+3k,n=-i+5j-4k,则m·n的值为(

)A.7 B.-20 C.28 D.11解析向量i,j,k是一组单位向量,且两两垂直,所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.因为m=8j+3k,n=-i+5j-4k,所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)=40-12=28.故选C.答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一求空间向量的数量积

例1

已知三棱锥O-ABC的各个侧面都是等边三角形,且边长为2,点M,N,P分别为AB,BC,CA的中点.试求:思路分析求出每个向量的模及其夹角,然后按照数量积的定义求解,必要时,对向量进行分解.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟空间向量运算的方法与步骤方法:(1)利用定义,直接利用a·b=|a||b|cos

<a,b>并结合运算律进行计算.(2)利用图形,计算两个向量的数量积,可先将各向量移到同一顶点,利用图形寻找夹角,再代入数量积公式进行运算.(3)利用向量分解,在几何体中进行向量的数量积运算时,要充分利用几何体的性质,把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算.步骤:(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的线性组合形式;(2)利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积;(3)代入a·b=|a||b|cos

<a,b>求解.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测解析如图,连接AG并延长,与BC交于点D,∵点G是底面△ABC的重心,探究一探究二探究三探究四当堂检测探究二利用数量积求夹角

思路分析求两个向量的夹角,可以把其中一个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面角的大小;也可以用两个向量的数量积定义a·b=|a||b|cos

<a,b>,求出cos

<a,b>=的值,然后确定<a,b>的大小.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角:把向量夹角转化为平面几何中的对应角,利用解三角形的知识求解;(2)利用数量积求夹角:运用公式cos<a,b>=进行求解.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练2(1)若非零空间向量a,b满足|a|=|b|,(2a+b)·b=0,则a与b的夹角为(

)A.30° B.60°

C.120°

D.150°解析(1)设a与b的夹角为θ,则由(2a+b)·b=0,得2|a||b|cos

θ+|b|2=0.又因为|a|=|b||≠0,所以cos

θ=-,所以θ=120°.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测探究三利用数量积证明垂直问题

例3

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是DD1的中点,O是底面ABCD的中心.求证:B1O⊥平面PAC.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直,然后把直线转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的线性运算以及数量积运算,证明直线所在向量的数量积等于零,即可证明线线垂直.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练3已知空间四边形OABC中,M,N,P,Q分别为BC,AC,OA,OB的中点,若AB=OC,求证:PM⊥QN.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究四利用数量积求距离或长度例4

如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD成60°角,求此时B,D间的距离.探究一探究二探究三探究四当堂检测反思感悟求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=,通过计算求出|a|,即得所求距离.探究一探究二探究三探究四当堂检测变式训练4正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是(

)答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测规范解答

利用向量的数量积求两异面直线所成角典例如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,AB=BC=1,AA1=,求异面直线BA1与AC所成角的余弦值.探究一探究二探究三探究四当堂检测探究一探究二探究三探究四当堂检测【答题模板】

第1步:确定两两垂直的向量,把待求直线看作向量,用相关向量表示.⇓第2步:计算直线BA1与AC对应向量的数量积.⇓第3步:利用数量积公式计算两个向量夹角的余弦值.⇓第4步:将两向量夹角的余弦值转化为两直线夹角的余弦值.探究一探究二探究三探究四当堂检测失误警示通过统计分析,发现造成失分的原因主要如下:(1)解题时忽视条件∠ABC=90°,从而得不出两两垂直的向量;探究一探究二探究三探究四当堂检测跟踪训练在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线BA1与直线AC所成的角为

.

答案60°探究一探究二探究三探究四当堂检测1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列各对向量夹角为45°的是(

)解析四个选项中两个向量的夹角依次是45°,135°,90°,180°,故选A.答案A探究一探究二探究三探究四当堂检测2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面A1B1C1D1的中心,则AC1与CE的位置关系是(

)A.重合 B.平行C.垂直 D.无法确定答案C探究一探究二探究三探究四当堂检测3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若AB=1,AD=2,AA1=3,∠BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为(

)答案B探究一探究二探究三探究四当堂检测4.如图,长方体AB