人教A版选择性必修第二册第4章41第1课时数列的概念及简单表示学案

篝四章数列

4.1数列的概念

第1课时数列的概念及简洁表示

学习任务核心素养

1.理解数列的概念.（重点）1.通过数列概念及数列通项

2.把握数列的通项公式及应用.（重点）的学习，表达了数学抽象及规

3.理解数列是一种特别的函数.理解数列与函律推理素养.

数的关系.（易混点'难点）2.借助数列通项公式的应用，

4.能依据数列的前几项写出数列的一个通项公培育规律推理及数学运算素

式.（难点、易错点）养.

［情境导学•探新知］情境趣味导学预习素养感知

畲情境与问题

在生活与学习中，为了便利，我们经常用一组有规律的数记录某一活动或数

量关系.如三角形数，正方形数.古语云：“勤学如春起之苗，不见其增，日有

所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.〃假如对“春起之苗〃每日用精

密仪器度量，那么每日的高度值按日期排列在一起，就可以组成一个数列，同样，

对''磨刀之石〃用精密仪器测量，那么每日的质量按日期排起来，也可得到一个

数列等等.

你能举出几组有规律的数列吗？试想什么是数列？

学问点1数列的概念及一般形式

思考1.(1)数列的项和它的项数是否相同？

(2)数列1,2,3,4,5,数列5,3,2,4,1与｛1,2,3,4,5｝有什么区

分？

［提示］(1)数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的

某一个确定的数，是一个函数值，而项数是指该数列中的项的总数.

(2)数列1,2,3,4,5和数列5,3,2,4,1为两个不同的数列，由于二

者的元素挨次不同，而集合｛1,2,3,4,5｝与这两个数列也不相同，一方面形

式上不全都，另一方面，集合中的元素具有无序性.

学问点2数列的分类

类别含义

按项的有穷数列项数有限的数列

个数无穷数列项数无限的数列

递增数列从第2项起，每一项都大王它的前一项的数列

按项的递减数列从第2项起，每一项都小王它的前一项的数列

变化趋常数列各项都相等的数列

势从第2项起，有些项大于它的前一项,有些项小于

摇摆数列

它的前一项的数列

体验1.思索辨析(正确的画“，错误的画“X〃)

(1)数歹!］1,3,5,7,…,2〃是无穷数列.()

⑵通项公式为斯=总区的数列是递减数列.()

(3)—1,1,—1,1,…是一个摇摆数列.()

［答案］(1)X(2)X(3)V

［提示］(1)X,无穷数列末尾带有；

(2)X,在〃W5时是递减，在“三6时也是递减，但在〃©N*上不是递减；

(3)V,满意摇摆数列的定义.

学问点3数列的通项公式

假如数列｛而｝的第〃项即与它的序号"之间的对应关系可以用一个式子来表

示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.表达形式为：an=».

体验2.依据数列的前4项，写出数列的一个通项公式.

(1)2,4,6,8,…

(2)2,4,8,16,-

［解］(l)a“=2〃(〃eN*).

(2)防=2汽〃GN*).

学问点4数列与函数的关系

从函数的观点看，数列可以看作是特别的函数，关系如下表：

定义域正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,3,…，刈)

解析式数列的通项公式

自变量从1开头，依据从小到大的挨次依次取值时,对应的一

值域

列函数值构成

表示方法(1)通项公式(解析法)；(2)列表法;(3)图象法

思考2.数列的通项公式与函数解析式y=Ax)有什么异同？

［提示］

如图，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集｛1,2,〃｝)为定义

域的函数，an=fljl）当自变量依据从小到大的挨次依次取值时所对应的一列函数

值.不同之处是定义域，数列中的〃必需是从1开头且连续的正整数，函数的定

义域可以是任意非空数集.

体验3.在数列｛所｝中，an=3n-l,那么等于.

9[Van=3n~l,.."=33-1=32=9.]

[合作探究•释疑难]疑难问题解惑学科素养形成

类型1数列的概念与分类

【例1】（1）以下四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）

111

-

^--

A.zV

4?

Bn2771371

sisin1?

1l1

-

c--^----

z8

4?

D.1,y[2,小，…，

⑵以下数列：

①2014,2015,2016,2017,2018,2019,2020,2021；

②1，：，…，1

-2-〃-一--19....‘

23（一1）"一

③T亍…'2〃一]，…；

,rm

④1,0,—1,…,smg,…；

⑤2,4,8,16,32,…；

⑥一1,一1,一1,-1.

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,

递减数列是,常数列是,摇摆数列是.（填序号）

（1）C（2）①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[（l）ABC为无穷数列，其

中A是递减数列，B是摇摆数列，C是递增数列，应选C.（2）①为有穷数列且

为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摇摆数列；④是摇摆数列，也是

无穷数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列.]

］.......・废思领悟••..........................

1.有穷数列和无穷数列的推断标准

推断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观看数列是有限项还是无限

项.假设数列是有限项，那么是有穷数列，否那么为无穷数列.

2.单调数列与非单调数列的推断标准

假设满意所〈如+1,那么｛出｝是递增数列;假设满意诙＞斯+1,那么｛如｝是递

减数列；假设满意外=诙+1,那么｛板｝是常数列；假设斯与z+i的大小不确定，

那么｛〃｝是摇摆数列.

［跟进训练］

1.给出以下数列：

①2014〜2021年某市一般高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,

118,132,147,163,180；

②无穷多个小构成数列小，小，小，事，…;

③一2的1次募，2次募，3次募，4次幕，…构成数列一2,4,—8,16,

~32,….

其中，有穷数列是,无穷数列是,递增数列是,

常数列是,摇摆数列是.

①②③①②③［①为有穷数列；②③是无穷数列，同时①也是递

增数列；②为常数列；③为摇摆数列.］

类型2依据数列的前几项求通项公式

【例2】数列的前几项，写出下面数列的一个通项公式.

(1)1,3,7,15,31,…；

(2)9,99,999,9999,…；

12_3_4_5

⑶一不小-16,25'一跖…；

4142

---

^一

z-7

5?1F

(5)1,2,1,2,1,2,….

［解］(1)观看发觉各项分别加上1后，数列变为2,4,8,16,32,…，新

n

数列的通项为2",故原数列的通项公式为an=2—\.

(2)各项加上1后,数列变成10,100,1000,10000,新数列的通项为

10",故原数列的通项公式为以=10"-1.

(3)数列的符号负正相间，可用(一1尸调整，分数的分子依次为自然数，而分

rj

母那么是分子加上1后的平方，故可表示为7E,所以该数列的通项公式为

n

e-D言记

444

数列的符号规律是正、负相间，使各项分子为数列变为，一

(4)4,5Z£J,o

44444

一行，…，再把各分母分别加上1,数列又变为W，一不一五，…，所以an

4X(一1严

―_3n~l--

(5)法一：可写成分段函数形式：

’1,〃为奇数，〃©N*,

12,〃为偶数，〃©N*.

(1+2)+(-1)»+1(1-2)

/Zk■Cln2

3+(-l)n+1(~l)

一2

刖3JT)"

即〃〃=]+-2—・

广.......成思领悟...........................

1.简单数列的通项公式的归纳方法

(1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等.

(2)分析这一结构中变化的局部与不变的局部，探究变化局部的规律与对应

序号间的关系.

(3)对于符号交替消失的状况，可先观看其肯定值，再用(一1»处理符号.

(4)对于周期消失的数列，考虑利用周期函数的学问解答.

2.常见数列的通项公式

(1)数列一1,1,—1,1,…的一个通项公式是。〃=(一1)",数列1,—1,1,

一1,…的一个通项公式是«»=(—l)n+1或(T)G.

(2)数列1,2,3,4,…的一个通项公式是以=儿

(3)数列1,3,5,7,…的一个通项公式是的=2〃-1.

(4)数列2,4,6,8,…的一个通项公式是丽=2〃.

(5)数列1,2,4,8,…的一个通项公式是z=2"T.

(6)数列1,4,9,16,…的一个通项公式是

(7)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是

11

列

8数--

甲

牙…的一个通项公式是

［跟进训练］

2.写出以下数列的一个通项公式.

111

---

V

5?7?

⑵药，4不6a8讳,…

(3)4,44,444,4444,…

⑴⑷一'1X2'‘2X3'一3X4''4X'5'…

［解］(1)分数的分子均为1,分母为正奇数数列，所以通项公式为匕.

(2)整数局部为自然数的2倍，分数局部的分子均为1.分母是2的正整数次

幕，即2".所以通项公式为a“=2”十卷.

9

(3)各项都乘以a后变为9,99,999,9999,…再均加上1变为10〃.故该数

列的通项可写为

(4)各项符号呈负正相间，可表示为(—1)",分数的分子均为1,分母为n(n

+1).故通项公式可写成1

〃(〃十1)

类型3通项公式的应用

【例31数列｛。〃｝的通项公式为a”=3〃2—28”.

⑴写出此数列的第4项和第6项；

(2)—49是否是该数列的一项？假如是，应是哪一项？68是否是该数列的一

项呢？

尝试与发现

(1)数列是一种特别的函数，是否可考虑求函数值的方法求第n项呢？

(2)由于数列的定义域必需是N*或｛1,2,…，n｝,为此可通过解方程解n.

观看是否为正整数.

k_________________________________________________________________________)

［解］(1)04=3X42-28X4=-64,

46=3X62—28X6=—60.

7

(2)令3川一28〃=—49,解得〃=7或〃=］(舍去)，

所以一49是该数列的第7项；

34

令3〃2—28〃=68,解得〃=—2或〃=了，均不合题意，所以68不是该数列

的项.

「母题探究］

1.(变结论)假设本例中的条件不变，

(1)试写出该数列的第3项和第8项；

(2)20是不是该数列的一项？假设是，是哪一项？

［解］(1)由于斯=3层一28〃，

所以43=3X32—28X3=—57,as=3X82-28X8=-32.

2

(2)令3层一28〃=20,解得〃=10或〃=-w(舍去)，

所以20是该数列的第10项.

a2

2.(变条件，变结论)假设将例题中的“如=3层一28/变为an=n-\-2n—

5〃，试推断数列｛的｝的单调性.

［角星］an=n2~\~2n—5,

2

/•an+\—〃“=(〃+l)+2(n+1)—5—(层+2〃-5)

=n2+2n+1+2n+2—5—n2—2〃+5=2〃+3・

•・”£N*,2n+3>0,an+i>an.

・•・数列｛如｝是递增数列.

「......废思领悟................................

1.由通项公式写出数列的指定项，主要是对〃进行取值，然后代入通项公

式，相当于函数中，函数解析式和自变量的值求函数值.

2.推断一个数是否为该数列中的项，其方法是可由通项公式等于这个数求

方程的根，依据方程有无正整数根便可确定这个数是否为数列中的项.

3.在用函数的有关学问解决数列问题时，要留意它的定义域是N*（或它的

有限子集｛1，2,3,…，刈）这一约束条件，否那么，就会造成无故失分.

[当堂达标•夯基础]课堂知识检测•小结问题点评

1.以下数列既是递增数列，又是无穷数列的是（）

A.1,2,3,…，20

B.-1,一2,-3,•••,~n,

C.1,2,3,2,5,6,…

D.—L0,1,2,…，100,

D[A为有穷数列，BCD为无穷数列，而B为递减数列，C为摇摆数列，

D为递增数列，应选D.]

2.数列1,小，小，木，…,1,那么3小是它的（）

A.第22项B.第23项

C.第24项D.第28项

B[令烟=1=3小，解得“=23.所以3小是它的第23项，故应选B.]

3.（多项选择题）以下表达不正确的选项是（）

A.1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列

B.1,3,1,3,…是常数列

C.数列0,1,2,3,…的通项公式为物=〃

D.数歹U｛2〃+1｝是递增数列

ABC[A中，1,3,5,7与7,5,3,1不是相同的数列，由于数列是有

挨次排列的一列数；B中，明显不是常数列；C中，0,1,2,3,…的通项公式

为以=〃-1;D中｛2九+1｝是递增数列，故ABC错.]

4.猜测数列—I，3，一号H，一H，…的通项公式为丽=.

“2

(一1)"+1而］［各项呈正负相间，可用(―I)"1表示，分式的分子为自然数